ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccmax GIF version

Theorem iccmax 9854
Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmax (-∞[,]+∞) = ℝ*

Proof of Theorem iccmax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 7935 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 pnfxr 7931 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 iccval 9825 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)})
41, 2, 3mp2an 423 . 2 (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)}
5 rabid2 2633 . . 3 (ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞))
6 mnfle 9700 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
7 pnfge 9697 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ +∞)
86, 7jca 304 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞))
95, 8mprgbir 2515 . 2 * = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)}
104, 9eqtr4i 2181 1 (-∞[,]+∞) = ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  {crab 2439   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825  +∞cpnf 7910  -∞cmnf 7911  *cxr 7912  cle 7914  [,]cicc 9796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-icc 9800
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator