ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccmax GIF version

Theorem iccmax 9672
Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmax (-∞[,]+∞) = ℝ*

Proof of Theorem iccmax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 7786 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 pnfxr 7782 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 iccval 9643 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)})
41, 2, 3mp2an 420 . 2 (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)}
5 rabid2 2582 . . 3 (ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞))
6 mnfle 9518 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
7 pnfge 9515 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ +∞)
86, 7jca 302 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞))
95, 8mprgbir 2465 . 2 * = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ +∞)}
104, 9eqtr4i 2139 1 (-∞[,]+∞) = ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  {crab 2395   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  +∞cpnf 7761  -∞cmnf 7762  *cxr 7763  cle 7765  [,]cicc 9614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-icc 9618
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator