Theorem iccmax 9906

Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccmax	⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*

Proof of Theorem iccmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 7976	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		pnfxr 7972	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iccval 9877	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 424	. 2 ⊢ (-∞[,]+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)}
5		rabid2 2646	. . 3 ⊢ (ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
6		mnfle 9749	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
7		pnfge 9746	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ +∞)
8	6, 7	jca 304	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞))
9	5, 8	mprgbir 2528	. 2 ⊢ ℝ* = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)}
10	4, 9	eqtr4i 2194	1 ⊢ (-∞[,]+∞) = ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  +∞cpnf 7951  -∞cmnf 7952  ℝ^*cxr 7953   ≤ cle 7955  [,]cicc 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-icc 9852

This theorem is referenced by: (None)