Theorem mnfle 9984

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	|- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 9980	. 2 |- ( A e. RR* -> -. A < -oo )
2		mnfxr 8199	. . 3 |- -oo e. RR*
3		xrlenlt 8207	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   -oocmnf 8175   RR*cxr 8176   < clt 8177   <_ cle 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183

This theorem is referenced by:  xrre2  10013  xleadd1a  10065  xltadd1  10068  xlt2add  10072  xsubge0  10073  xlesubadd  10075  xleaddadd  10079  elioc2  10128  iccmax  10141  xrmaxifle  11752  xrmaxltsup  11764  xrmaxadd  11767  tgioo  15222