ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfle Unicode version

Theorem mnfle 9766
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 9762 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  A  < -oo )
2 mnfxr 7991 . . 3  |- -oo  e.  RR*
3 xrlenlt 7999 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo  <_  A  <->  -.  A  < -oo ) )
42, 3mpan 424 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  A  <->  -.  A  < -oo ) )
51, 4mpbird 167 1  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 105    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   -oocmnf 7967   RR*cxr 7968    < clt 7969    <_ cle 7970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-cnv 4630  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975
This theorem is referenced by:  xrre2  9795  xleadd1a  9847  xltadd1  9850  xlt2add  9854  xsubge0  9855  xlesubadd  9857  xleaddadd  9861  elioc2  9910  iccmax  9923  xrmaxifle  11225  xrmaxltsup  11237  xrmaxadd  11240  tgioo  13679
  Copyright terms: Public domain W3C validator