Theorem mnfle 10124

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	|- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 10120	. 2 |- ( A e. RR* -> -. A < -oo )
2		mnfxr 8329	. . 3 |- -oo e. RR*
3		xrlenlt 8337	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   -oocmnf 8305   RR*cxr 8306   < clt 8307   <_ cle 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313

This theorem is referenced by:  xrre2  10153  xleadd1a  10205  xltadd1  10208  xlt2add  10212  xsubge0  10213  xlesubadd  10215  xleaddadd  10219  elioc2  10268  iccmax  10281  xrmaxifle  11927  xrmaxltsup  11939  xrmaxadd  11942  tgioo  15411