Theorem mnfle 9858

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	|- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 9854	. 2 |- ( A e. RR* -> -. A < -oo )
2		mnfxr 8076	. . 3 |- -oo e. RR*
3		xrlenlt 8084	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   -oocmnf 8052   RR*cxr 8053   < clt 8054   <_ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  xrre2  9887  xleadd1a  9939  xltadd1  9942  xlt2add  9946  xsubge0  9947  xlesubadd  9949  xleaddadd  9953  elioc2  10002  iccmax  10015  xrmaxifle  11389  xrmaxltsup  11401  xrmaxadd  11404  tgioo  14714