Theorem mnfle 9468

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	|- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 9464	. 2 |- ( A e. RR* -> -. A < -oo )
2		mnfxr 7743	. . 3 |- -oo e. RR*
3		xrlenlt 7750	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
4	2, 3	mpan 418	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
5	1, 4	mpbird 166	1 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1463   class class class wbr 3895   -oocmnf 7719   RR*cxr 7720   < clt 7721   <_ cle 7722

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-cnv 4507  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727

This theorem is referenced by:  xrre2  9494  xleadd1a  9546  xltadd1  9549  xlt2add  9553  xsubge0  9554  xlesubadd  9556  xleaddadd  9560  elioc2  9609  iccmax  9622  xrmaxifle  10904  xrmaxltsup  10916  xrmaxadd  10919  tgioo  12529