ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioopos Unicode version

Theorem ioopos 9701
Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioopos  |-  ( 0 (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  0  <  x }

Proof of Theorem ioopos
StepHypRef Expression
1 0xr 7780 . . 3  |-  0  e.  RR*
2 pnfxr 7786 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 iooval2 9666 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  ( 0  < 
x  /\  x  < +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 422 . 2  |-  ( 0 (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  ( 0  < 
x  /\  x  < +oo ) }
5 ltpnf 9535 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
65biantrud 302 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  <->  ( 0  <  x  /\  x  < +oo ) ) )
76rabbiia 2645 . 2  |-  { x  e.  RR  |  0  < 
x }  =  {
x  e.  RR  | 
( 0  <  x  /\  x  < +oo ) }
84, 7eqtr4i 2141 1  |-  ( 0 (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  0  <  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   {crab 2397   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588   +oocpnf 7765   RR*cxr 7767    < clt 7768   (,)cioo 9639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-ioo 9643
This theorem is referenced by:  ioorp  9702  repos  9721
  Copyright terms: Public domain W3C validator