Theorem ioopos 10025

Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioopos	|- ( 0 (,) +oo ) = { x e. RR | 0 < x }

Proof of Theorem ioopos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8073	. . 3 |- 0 e. RR*
2		pnfxr 8079	. . 3 |- +oo e. RR*
3		iooval2 9990	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 (,) +oo ) = { x e. RR | ( 0 < x /\ x < +oo ) } )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- ( 0 (,) +oo ) = { x e. RR | ( 0 < x /\ x < +oo ) }
5		ltpnf 9855	. . . 4 |- ( x e. RR -> x < +oo )
6	5	biantrud 304	. . 3 |- ( x e. RR -> ( 0 < x <-> ( 0 < x /\ x < +oo ) ) )
7	6	rabbiia 2748	. 2 |- { x e. RR | 0 < x } = { x e. RR | ( 0 < x /\ x < +oo ) }
8	4, 7	eqtr4i 2220	1 |- ( 0 (,) +oo ) = { x e. RR | 0 < x }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   +oocpnf 8058   RR*cxr 8060   < clt 8061   (,)cioo 9963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-ioo 9967

This theorem is referenced by:  ioorp  10026  repos  10045