Theorem ioomax 9427

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	|- ( -oo (,) +oo ) = RR

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 7605	. . 3 |- -oo e. RR*
2		pnfxr 7601	. . 3 |- +oo e. RR*
3		iooval2 9394	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } )
4	1, 2, 3	mp2an 418	. 2 |- ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
5		rabid2 2544	. . 3 |- ( RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } <-> A. x e. RR ( -oo < x /\ x < +oo ) )
6		mnflt 9314	. . . 4 |- ( x e. RR -> -oo < x )
7		ltpnf 9312	. . . 4 |- ( x e. RR -> x < +oo )
8	6, 7	jca 301	. . 3 |- ( x e. RR -> ( -oo < x /\ x < +oo ) )
9	5, 8	mprgbir 2434	. 2 |- RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
10	4, 9	eqtr4i 2112	1 |- ( -oo (,) +oo ) = RR

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   {crab 2364   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7410   +oocpnf 7580   -oocmnf 7581   RR*cxr 7582   < clt 7583   (,)cioo 9367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-ioo 9371

This theorem is referenced by:  unirnioo  9452