Theorem ioomax 9978

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	|- ( -oo (,) +oo ) = RR

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8044	. . 3 |- -oo e. RR*
2		pnfxr 8040	. . 3 |- +oo e. RR*
3		iooval2 9945	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
5		rabid2 2667	. . 3 |- ( RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } <-> A. x e. RR ( -oo < x /\ x < +oo ) )
6		mnflt 9813	. . . 4 |- ( x e. RR -> -oo < x )
7		ltpnf 9810	. . . 4 |- ( x e. RR -> x < +oo )
8	6, 7	jca 306	. . 3 |- ( x e. RR -> ( -oo < x /\ x < +oo ) )
9	5, 8	mprgbir 2548	. 2 |- RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
10	4, 9	eqtr4i 2213	1 |- ( -oo (,) +oo ) = RR

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {crab 2472   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   RRcr 7840   +oocpnf 8019   -oocmnf 8020   RR*cxr 8021   < clt 8022   (,)cioo 9918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-ioo 9922

This theorem is referenced by:  unirnioo  10003  blssioo  14502