Theorem ioomax 10144

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	|- ( -oo (,) +oo ) = RR

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8203	. . 3 |- -oo e. RR*
2		pnfxr 8199	. . 3 |- +oo e. RR*
3		iooval2 10111	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
5		rabid2 2708	. . 3 |- ( RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } <-> A. x e. RR ( -oo < x /\ x < +oo ) )
6		mnflt 9979	. . . 4 |- ( x e. RR -> -oo < x )
7		ltpnf 9976	. . . 4 |- ( x e. RR -> x < +oo )
8	6, 7	jca 306	. . 3 |- ( x e. RR -> ( -oo < x /\ x < +oo ) )
9	5, 8	mprgbir 2588	. 2 |- RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
10	4, 9	eqtr4i 2253	1 |- ( -oo (,) +oo ) = RR

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   +oocpnf 8178   -oocmnf 8179   RR*cxr 8180   < clt 8181   (,)cioo 10084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-ioo 10088

This theorem is referenced by:  unirnioo  10169  blssioo  15227