ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioomax Unicode version

Theorem ioomax 9892
Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioomax  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR

Proof of Theorem ioomax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 7963 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 pnfxr 7959 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 iooval2 9859 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo (,) +oo )  =  { x  e.  RR  |  ( -oo  <  x  /\  x  < +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 424 . 2  |-  ( -oo (,) +oo )  =  {
x  e.  RR  | 
( -oo  <  x  /\  x  < +oo ) }
5 rabid2 2646 . . 3  |-  ( RR  =  { x  e.  RR  |  ( -oo  <  x  /\  x  < +oo ) }  <->  A. x  e.  RR  ( -oo  <  x  /\  x  < +oo ) )
6 mnflt 9727 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
7 ltpnf 9724 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
86, 7jca 304 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -oo  <  x  /\  x  < +oo ) )
95, 8mprgbir 2528 . 2  |-  RR  =  { x  e.  RR  |  ( -oo  <  x  /\  x  < +oo ) }
104, 9eqtr4i 2194 1  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   RRcr 7760   +oocpnf 7938   -oocmnf 7939   RR*cxr 7940    < clt 7941   (,)cioo 9832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-ioo 9836
This theorem is referenced by:  unirnioo  9917  blssioo  13298
  Copyright terms: Public domain W3C validator