Theorem ifbieq2d 3665

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq2d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq2d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq2d	|- ( ph -> if ( ps , C , A ) = if ( ch , C , B ) )

Proof of Theorem ifbieq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq2d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3662	. 2 |- ( ph -> if ( ps , C , A ) = if ( ch , C , A ) )
3		ifbieq2d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq2d 3659	. 2 |- ( ph -> if ( ch , C , A ) = if ( ch , C , B ) )
5	2, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> if ( ps , C , A ) = if ( ch , C , B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is used by:  difinfsnlem  7439  ctmlemr  7448  xnegeq  10229  xaddval  10247  iseqf1olemqval  10937  iseqf1olemqk  10944  seq3f1olemqsum  10950  exp3val  10978  gcdval  12736  gcdass  12792  lcmval  12841  lcmass  12863  pcval  13075  ennnfonelemj0  13292  ennnfonelemjn  13293  ennnfonelem0  13296  ennnfonelemp1  13297  ennnfonelemnn0  13313  mulgval  13925  znval  14971  lgsval  16123  lgsfvalg  16124  lgsval2lem  16129  eupth2lem3lem3fi  16711  eupth2fi  16720  depindlem1  16747  nnsf  17048  peano4nninf  17049  peano3nninf  17050  exmidsbthr  17068