Theorem iseqf1olemqval 10436

Description: Lemma for seq3f1o 10453. Value of the function Q. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.a	|- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqval.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqval	|- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, J   u, K   u, M   u, N

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)

Proof of Theorem iseqf1olemqval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqcl.a	. 2 |- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
2		iseqf1olemqcl.k	. . 3 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
3		iseqf1olemqcl.j	. . 3 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4	2, 3, 1	iseqf1olemqcl 10435	. 2 |- ( ph -> if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) e. ( M ... N ) )
5		eleq1 2233	. . . 4 |- ( u = A -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
6		eqeq1 2177	. . . . 5 |- ( u = A -> ( u = K <-> A = K ) )
7		oveq1 5858	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( u - 1 ) = ( A - 1 ) )
8	7	fveq2d 5498	. . . . 5 |- ( u = A -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( A - 1 ) ) )
9	6, 8	ifbieq2d 3549	. . . 4 |- ( u = A -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
10		fveq2 5494	. . . 4 |- ( u = A -> ( J ` u ) = ( J ` A ) )
11	5, 9, 10	ifbieq12d 3551	. . 3 |- ( u = A -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )
12		iseqf1olemqval.q	. . 3 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
13	11, 12	fvmptg 5570	. 2 |- ( ( A e. ( M ... N ) /\ if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) e. ( M ... N ) ) -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )
14	1, 4, 13	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   ifcif 3525   |-> cmpt 4048   `'ccnv 4608   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   1c1 7768   - cmin 8083   ...cfz 9958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959

This theorem is referenced by:  iseqf1olemnab  10437  iseqf1olemab  10438  iseqf1olemnanb  10439  iseqf1olemqk  10443  seq3f1olemqsumkj  10447  seq3f1olemqsumk  10448