Theorem iseqf1olemqval 10571

Description: Lemma for seq3f1o 10588. Value of the function Q. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.a	|- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqval.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqval	|- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, J   u, K   u, M   u, N

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)

Proof of Theorem iseqf1olemqval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqcl.a	. 2 |- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
2		iseqf1olemqcl.k	. . 3 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
3		iseqf1olemqcl.j	. . 3 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4	2, 3, 1	iseqf1olemqcl 10570	. 2 |- ( ph -> if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) e. ( M ... N ) )
5		eleq1 2256	. . . 4 |- ( u = A -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
6		eqeq1 2200	. . . . 5 |- ( u = A -> ( u = K <-> A = K ) )
7		oveq1 5925	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( u - 1 ) = ( A - 1 ) )
8	7	fveq2d 5558	. . . . 5 |- ( u = A -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( A - 1 ) ) )
9	6, 8	ifbieq2d 3581	. . . 4 |- ( u = A -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
10		fveq2 5554	. . . 4 |- ( u = A -> ( J ` u ) = ( J ` A ) )
11	5, 9, 10	ifbieq12d 3583	. . 3 |- ( u = A -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )
12		iseqf1olemqval.q	. . 3 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
13	11, 12	fvmptg 5633	. 2 |- ( ( A e. ( M ... N ) /\ if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) e. ( M ... N ) ) -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )
14	1, 4, 13	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ifcif 3557   |-> cmpt 4090   `'ccnv 4658   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1c1 7873   - cmin 8190   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  iseqf1olemnab  10572  iseqf1olemab  10573  iseqf1olemnanb  10574  iseqf1olemqk  10578  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsumk  10583