Theorem iseqf1olemqval 10482

Description: Lemma for seq3f1o 10499. Value of the function Q. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.a	|- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqval.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqval	|- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, J   u, K   u, M   u, N

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)

Proof of Theorem iseqf1olemqval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqcl.a	. 2 |- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
2		iseqf1olemqcl.k	. . 3 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
3		iseqf1olemqcl.j	. . 3 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4	2, 3, 1	iseqf1olemqcl 10481	. 2 |- ( ph -> if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) e. ( M ... N ) )
5		eleq1 2240	. . . 4 |- ( u = A -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
6		eqeq1 2184	. . . . 5 |- ( u = A -> ( u = K <-> A = K ) )
7		oveq1 5879	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( u - 1 ) = ( A - 1 ) )
8	7	fveq2d 5518	. . . . 5 |- ( u = A -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( A - 1 ) ) )
9	6, 8	ifbieq2d 3558	. . . 4 |- ( u = A -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
10		fveq2 5514	. . . 4 |- ( u = A -> ( J ` u ) = ( J ` A ) )
11	5, 9, 10	ifbieq12d 3560	. . 3 |- ( u = A -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )
12		iseqf1olemqval.q	. . 3 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
13	11, 12	fvmptg 5591	. 2 |- ( ( A e. ( M ... N ) /\ if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) e. ( M ... N ) ) -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )
14	1, 4, 13	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ifcif 3534   |-> cmpt 4063   `'ccnv 4624   -1-1-onto->wf1o 5214   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   1c1 7809   - cmin 8124   ...cfz 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005

This theorem is referenced by:  iseqf1olemnab  10483  iseqf1olemab  10484  iseqf1olemnanb  10485  iseqf1olemqk  10489  seq3f1olemqsumkj  10493  seq3f1olemqsumk  10494