ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelem0 Unicode version

Theorem ennnfonelem0 12398
Description: Lemma for ennnfone 12418. Initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelem0  |-  ( ph  ->  ( H `  0
)  =  (/) )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    x, F, y   
j, G    j, J    x, N    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    F( j, k, n)    G( x, y, k, n)    H( x, y, j, k, n)    J( x, y, k, n)    N( y,
j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelem0
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.h . . . 4  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
21fveq1i 5515 . . 3  |-  ( H `
 0 )  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 0 )
3 ennnfonelemh.dceq . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
4 ennnfonelemh.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
5 ennnfonelemh.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
6 ennnfonelemh.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
7 ennnfonelemh.n . . . . 5  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
8 ennnfonelemh.j . . . . 5  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
93, 4, 5, 6, 7, 8, 1ennnfonelemj0 12394 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  0
)  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 1ennnfonelemg 12396 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  (
f G j )  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
11 0zd 9261 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
123, 4, 5, 6, 7, 8, 1ennnfonelemjn 12395 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( J `  f )  e.  om )
139, 10, 11, 12seq1cd 10460 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 0 )  =  ( J `  0
) )
142, 13eqtrid 2222 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  0
)  =  ( J `
 0 ) )
15 0nn0 9187 . . . 4  |-  0  e.  NN0
16 eqid 2177 . . . . . 6  |-  0  =  0
1716iftruei 3540 . . . . 5  |-  if ( 0  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( 0  -  1 ) ) )  =  (/)
18 0ex 4129 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
1917, 18eqeltri 2250 . . . 4  |-  if ( 0  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( 0  -  1 ) ) )  e. 
_V
20 eqeq1 2184 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
x  =  0  <->  0  =  0 ) )
21 fvoveq1 5895 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( `' N `  ( x  -  1 ) )  =  ( `' N `  ( 0  -  1 ) ) )
2220, 21ifbieq2d 3558 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) )  =  if ( 0  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( 0  -  1 ) ) ) )
2322, 8fvmptg 5591 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  if ( 0  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( 0  -  1 ) ) )  e.  _V )  ->  ( J `  0
)  =  if ( 0  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( 0  -  1 ) ) ) )
2415, 19, 23mp2an 426 . . 3  |-  ( J `
 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( 0  -  1 ) ) )
2524, 17eqtri 2198 . 2  |-  ( J `
 0 )  =  (/)
2614, 25eqtrdi 2226 1  |-  ( ph  ->  ( H `  0
)  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   _Vcvv 2737    u. cun 3127   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3592   <.cop 3595    |-> cmpt 4063   suc csuc 4364   omcom 4588   `'ccnv 4624   dom cdm 4625   "cima 4628   -onto->wfo 5213   ` cfv 5215  (class class class)co 5872    e. cmpo 5874  freccfrec 6388    ^pm cpm 6646   0cc0 7808   1c1 7809    + caddc 7811    - cmin 8124   NN0cn0 9172   ZZcz 9249    seqcseq 10440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pm 6648  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-seqfrec 10441
This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  12400  ennnfonelemkh  12405  ennnfonelemhf1o  12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator