Theorem ennnfonelem0 12117

Description: Lemma for ennnfone 12137. Initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem0	|- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, J   x, N   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( x, y, j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( y, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelem0

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.h	. . . 4 |- H = seq 0 ( G , J )
2	1	fveq1i 5468	. . 3 |- ( H ` 0 ) = ( seq 0 ( G , J ) ` 0 )
3		ennnfonelemh.dceq	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		ennnfonelemh.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
5		ennnfonelemh.ne	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
6		ennnfonelemh.g	. . . . 5 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
7		ennnfonelemh.n	. . . . 5 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
8		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
9	3, 4, 5, 6, 7, 8, 1	ennnfonelemj0 12113	. . . 4 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 1	ennnfonelemg 12115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
11		0zd 9173	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 1	ennnfonelemjn 12114	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
13	9, 10, 11, 12	seq1cd 10357	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( G , J ) ` 0 ) = ( J ` 0 ) )
14	2, 13	syl5eq 2202	. 2 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = ( J ` 0 ) )
15		0nn0 9099	. . . 4 |- 0 e. NN0
16		eqid 2157	. . . . . 6 |- 0 = 0
17	16	iftruei 3511	. . . . 5 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) = (/)
18		0ex 4091	. . . . 5 |- (/) e. _V
19	17, 18	eqeltri 2230	. . . 4 |- if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V
20		eqeq1 2164	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x = 0 <-> 0 = 0 ) )
21		fvoveq1 5844	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
22	20, 21	ifbieq2d 3529	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
23	22, 8	fvmptg 5543	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) e. _V ) -> ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) ) )
24	15, 19, 23	mp2an 423	. . 3 |- ( J ` 0 ) = if ( 0 = 0 , (/) , ( `' N ` ( 0 - 1 ) ) )
25	24, 17	eqtri 2178	. 2 |- ( J ` 0 ) = (/)
26	14, 25	eqtrdi 2206	1 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439   _Vcvv 2712   u. cun 3100   (/)c0 3394   ifcif 3505   {csn 3560   <.cop 3563   |-> cmpt 4025   suc csuc 4325   omcom 4548   `'ccnv 4584   dom cdm 4585   "cima 4588   -onto->wfo 5167   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   e. cmpo 5823  freccfrec 6334   ^pm cpm 6591   0cc0 7726   1c1 7727   + caddc 7729   - cmin 8040   NN0cn0 9084   ZZcz 9161   seqcseq 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pm 6593  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-seqfrec 10338

This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  12119  ennnfonelemkh  12124  ennnfonelemhf1o  12125