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Theorem lgsval 13505
Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   n, N
Allowed substitution hint:   F( n)
Proof of Theorem lgsval
Dummy variables a m k v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9214 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
2 0zd 9199 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 0 e. ZZ )
3 zsqcl 10521 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
43ad2antrr 480 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
5 zdceq 9262 . . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
64, 1, 5syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
71, 2, 6ifcldcd 3554 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. ZZ )
8 neg1z 9219 . . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
98a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -u 1 e. ZZ )
10 1zzd 9214 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
11 simpr 109 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12 0zd 9199 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 0 e. ZZ )
13 zdclt 9264 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
1411, 12, 13syl2an2r 585 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID N < 0 )
15 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. ZZ )
16 zdclt 9264 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
1715, 12, 16syl2an2r 585 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID A < 0 )
18 dcan2 924 . . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
1914, 17, 18sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
209, 10, 19ifcldcd 3554 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ )
21 nnuz 9497 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22 lgsval.1 . . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
23 eleq1w 2226 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n e. Prime <-> k e. Prime ) )
24 eqeq1 2172 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( n = 2 <-> k = 2 ) )
25 oveq1 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( n - 1 ) = ( k - 1 ) )
2625oveq1d 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ( n - 1 ) / 2 ) = ( ( k - 1 ) / 2 ) )
2726oveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) )
2827oveq1d 5856 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> n = k )
3028, 29oveq12d 5859 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) )
3130oveq1d 5856 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) )
3224, 31ifbieq2d 3543 . . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) = if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) )
33 oveq1 5848 . . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n pCnt N ) = ( k pCnt N ) )
3432, 33oveq12d 5859 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) )
3523, 34ifbieq1d 3541 . . . . . . . 8 |- ( n = k -> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
36 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
37 0zd 9199 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 0 e. ZZ )
38 1zzd 9214 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 1 e. ZZ )
3938znegcld 9311 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> -u 1 e. ZZ )
40 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
41 8nn 9020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 8 e. NN
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
4340, 42zmodcld 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
4443nn0zd 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
45 1zzd 9214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
46 zdceq 9262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
4744, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
48 7nn 9019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 7 e. NN
4948nnzi 9208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 7 e. ZZ
50 zdceq 9262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
5144, 49, 50sylancl 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
52 dcor 925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5347, 51, 52sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
54 elprg 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5543, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5655dcbid 828 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5753, 56mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
5857ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
5938, 39, 58ifcldcd 3554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ )
60 2nn 9014 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 2 e. NN )
62 simp-5l 533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> A e. ZZ )
63 dvdsdc 11734 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
6461, 62, 63syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> DECID 2 || A )
6537, 59, 64ifcldcd 3554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
66 simp-5l 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> A e. ZZ )
67 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> -. k = 2 )
68 prm2orodd 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Prime -> ( k = 2 \/ -. 2 || k ) )
6968orcomd 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. Prime -> ( -. 2 || k \/ k = 2 ) )
7069ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( -. 2 || k \/ k = 2 ) )
7167, 70ecased 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> -. 2 || k )
72 prmnn 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Prime -> k e. NN )
7372nnnn0d 9163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. Prime -> k e. NN0 )
74 nn0oddm1d2 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Prime -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7675ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7771, 76mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
78 zexpcl 10466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
7966, 77, 78syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
8079peano2zd 9312 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
8136ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> k e. NN )
8280, 81zmodcld 10276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) e. NN0 )
8382nn0zd 9307 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) e. ZZ )
84 1zzd 9214 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> 1 e. ZZ )
8583, 84zsubcld 9314 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) e. ZZ )
86 nnz 9206 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
8786ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
88 2z 9215 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
89 zdceq 9262 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID k = 2 )
9087, 88, 89sylancl 410 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> DECID k = 2 )
9165, 85, 90ifcldadc 3548 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) e. ZZ )
92 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
93 simp-4r 532 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N e. ZZ )
94 neqne 2343 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
9594ad3antlr 485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N =/= 0 )
96 pczcl 12226 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
9792, 93, 95, 96syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
98 zexpcl 10466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) e. ZZ /\ ( k pCnt N ) e. NN0 ) -> ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
9991, 97, 98syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
100 1zzd 9214 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
101 prmdc 12058 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> DECID k e. Prime )
102101adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> DECID k e. Prime )
10399, 100, 102ifcldadc 3548 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) e. ZZ )
10422, 35, 36, 103fvmptd3 5578 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
105104, 103eqeltrd 2242 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
106 zmulcl 9240 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
107106adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
10821, 10, 105, 107seqf 10392 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
109 simplr 520 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
11094adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
111 nnabscl 11038 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
112109, 110, 111syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
113108, 112ffvelrnd 5620 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. ZZ )
11420, 113zmulcld 9315 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. ZZ )
115 0zd 9199 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
116 zdceq 9262 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
11711, 115, 116syl2anc 409 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
1187, 114, 117ifcldadc 3548 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. ZZ )
119 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> m = N )
120119eqeq1d 2174 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( m = 0 <-> N = 0 ) )
121 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> a = A )
122121oveq1d 5856 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
123122eqeq1d 2174 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a ^ 2 ) = 1 <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
124123ifbid 3540 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
125119breq1d 3991 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( m < 0 <-> N < 0 ) )
126121breq1d 3991 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a < 0 <-> A < 0 ) )
127125, 126anbi12d 465 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( m < 0 /\ a < 0 ) <-> ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
128127ifbid 3540 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) = if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) )
129121breq2d 3993 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( 2 || a <-> 2 || A ) )
130121oveq1d 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a mod 8 ) = ( A mod 8 ) )
131130eleq1d 2234 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
132131ifbid 3540 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
133129, 132ifbieq2d 3543 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
134121oveq1d 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) )
135134oveq1d 5856 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
136135oveq1d 5856 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
137136oveq1d 5856 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
138133, 137ifeq12d 3538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) = if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) )
139119oveq2d 5857 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n pCnt m ) = ( n pCnt N ) )
140138, 139oveq12d 5859 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) = ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) )
141140ifeq1d 3536 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) = if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
142141mpteq2dv 4072 . . . . . . . 8 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
143142, 22eqtr4di 2216 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) = F )
144143seqeq3d 10384 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , F ) )
145119fveq2d 5489 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( abs ` m ) = ( abs ` N ) )
146144, 145fveq12d 5492 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) )
147128, 146oveq12d 5859 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
148120, 124, 147ifbieq12d 3545 . . 3 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( m = 0 , if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
149 df-lgs 13499 . . 3 |- /L = ( a e. ZZ , m e. ZZ |-> if ( m = 0 , if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) ) )
150148, 149ovmpoga 5967 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
151118, 150mpd3an3 1328 1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   ifcif 3519   {cpr 3576   class class class wbr 3981   |-> cmpt 4042   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   x. cmul 7754   < clt 7929   - cmin 8065   -ucneg 8066   / cdiv 8564   NNcn 8853   2c2 8904   7c7 8909   8c8 8910   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   mod cmo 10253   seqcseq 10376   ^cexp 10450   abscabs 10935   || cdvds 11723   Primecprime 12035   pCnt cpc 12212   /Lclgs 13498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-er 6497  df-en 6703  df-fin 6705  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036  df-pc 12213  df-lgs 13499
This theorem is referenced by:  lgscllem  13508  lgsval2lem  13511  lgs0  13514  lgsval4  13521
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