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Theorem lgsval 15723
Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   n, N
Allowed substitution hint:   F( n)
Proof of Theorem lgsval
Dummy variables a m k v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9496 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
2 0zd 9481 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 0 e. ZZ )
3 zsqcl 10862 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
43ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
5 zdceq 9545 . . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
64, 1, 5syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
71, 2, 6ifcldcd 3641 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. ZZ )
8 neg1z 9501 . . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
98a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -u 1 e. ZZ )
10 1zzd 9496 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
11 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12 0zd 9481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 0 e. ZZ )
13 zdclt 9547 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
1411, 12, 13syl2an2r 597 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID N < 0 )
15 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. ZZ )
16 zdclt 9547 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
1715, 12, 16syl2an2r 597 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID A < 0 )
18 dcan2 940 . . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
1914, 17, 18sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
209, 10, 19ifcldcd 3641 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ )
21 nnuz 9782 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22 lgsval.1 . . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
23 eleq1w 2290 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n e. Prime <-> k e. Prime ) )
24 eqeq1 2236 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( n = 2 <-> k = 2 ) )
25 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( n - 1 ) = ( k - 1 ) )
2625oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ( n - 1 ) / 2 ) = ( ( k - 1 ) / 2 ) )
2726oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) )
2827oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> n = k )
3028, 29oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) )
3130oveq1d 6028 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) )
3224, 31ifbieq2d 3628 . . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) = if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) )
33 oveq1 6020 . . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n pCnt N ) = ( k pCnt N ) )
3432, 33oveq12d 6031 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) )
3523, 34ifbieq1d 3626 . . . . . . . 8 |- ( n = k -> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
36 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
37 0zd 9481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 0 e. ZZ )
38 1zzd 9496 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 1 e. ZZ )
3938znegcld 9594 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> -u 1 e. ZZ )
40 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
41 8nn 9301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 8 e. NN
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
4340, 42zmodcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
4443nn0zd 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
45 1zzd 9496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
46 zdceq 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
4744, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
48 7nn 9300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 7 e. NN
4948nnzi 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 7 e. ZZ
50 zdceq 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
5144, 49, 50sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
52 dcor 941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5347, 51, 52sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
54 elprg 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5543, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5655dcbid 843 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5753, 56mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
5857ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
5938, 39, 58ifcldcd 3641 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ )
60 2nn 9295 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 2 e. NN )
62 simp-5l 543 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> A e. ZZ )
63 dvdsdc 12349 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> DECID 2 || A )
6537, 59, 64ifcldcd 3641 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
66 simp-5l 543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> A e. ZZ )
67 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> -. k = 2 )
68 prm2orodd 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Prime -> ( k = 2 \/ -. 2 || k ) )
6968orcomd 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. Prime -> ( -. 2 || k \/ k = 2 ) )
7069ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( -. 2 || k \/ k = 2 ) )
7167, 70ecased 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> -. 2 || k )
72 prmnn 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Prime -> k e. NN )
7372nnnn0d 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. Prime -> k e. NN0 )
74 nn0oddm1d2 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Prime -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7675ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7771, 76mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
78 zexpcl 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
7966, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
8079peano2zd 9595 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
8136ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> k e. NN )
8280, 81zmodcld 10597 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) e. NN0 )
8382nn0zd 9590 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) e. ZZ )
84 1zzd 9496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> 1 e. ZZ )
8583, 84zsubcld 9597 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) e. ZZ )
86 nnz 9488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
8786ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
88 2z 9497 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
89 zdceq 9545 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID k = 2 )
9087, 88, 89sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> DECID k = 2 )
9165, 85, 90ifcldadc 3633 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) e. ZZ )
92 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
93 simp-4r 542 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N e. ZZ )
94 neqne 2408 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
9594ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N =/= 0 )
96 pczcl 12861 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
9792, 93, 95, 96syl12anc 1269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
98 zexpcl 10806 . . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) e. ZZ /\ ( k pCnt N ) e. NN0 ) -> ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
9991, 97, 98syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
100 1zzd 9496 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
101 prmdc 12692 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> DECID k e. Prime )
102101adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> DECID k e. Prime )
10399, 100, 102ifcldadc 3633 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) e. ZZ )
10422, 35, 36, 103fvmptd3 5736 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
105104, 103eqeltrd 2306 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
106 zmulcl 9523 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
107106adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
10821, 10, 105, 107seqf 10716 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
109 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
11094adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
111 nnabscl 11651 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
112109, 110, 111syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
113108, 112ffvelcdmd 5779 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. ZZ )
11420, 113zmulcld 9598 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. ZZ )
115 0zd 9481 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
116 zdceq 9545 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
11711, 115, 116syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
1187, 114, 117ifcldadc 3633 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. ZZ )
119 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> m = N )
120119eqeq1d 2238 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( m = 0 <-> N = 0 ) )
121 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> a = A )
122121oveq1d 6028 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
123122eqeq1d 2238 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a ^ 2 ) = 1 <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
124123ifbid 3625 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
125119breq1d 4096 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( m < 0 <-> N < 0 ) )
126121breq1d 4096 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a < 0 <-> A < 0 ) )
127125, 126anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( m < 0 /\ a < 0 ) <-> ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
128127ifbid 3625 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) = if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) )
129121breq2d 4098 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( 2 || a <-> 2 || A ) )
130121oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a mod 8 ) = ( A mod 8 ) )
131130eleq1d 2298 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
132131ifbid 3625 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
133129, 132ifbieq2d 3628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
134121oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) )
135134oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
136135oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
137136oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
138133, 137ifeq12d 3623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) = if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) )
139119oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n pCnt m ) = ( n pCnt N ) )
140138, 139oveq12d 6031 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) = ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) )
141140ifeq1d 3621 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) = if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
142141mpteq2dv 4178 . . . . . . . 8 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
143142, 22eqtr4di 2280 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) = F )
144143seqeq3d 10707 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , F ) )
145119fveq2d 5639 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( abs ` m ) = ( abs ` N ) )
146144, 145fveq12d 5642 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) )
147128, 146oveq12d 6031 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
148120, 124, 147ifbieq12d 3630 . . 3 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( m = 0 , if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
149 df-lgs 15717 . . 3 |- /L = ( a e. ZZ , m e. ZZ |-> if ( m = 0 , if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) ) )
150148, 149ovmpoga 6146 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
151118, 150mpd3an3 1372 1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   ifcif 3603   {cpr 3668   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   - cmin 8340   -ucneg 8341   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   7c7 9189   8c8 9190   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   mod cmo 10574   seqcseq 10699   ^cexp 10790   abscabs 11548   || cdvds 12338   Primecprime 12669   pCnt cpc 12847   /Lclgs 15716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-pc 12848  df-lgs 15717
This theorem is referenced by:  lgscllem  15726  lgsval2lem  15729  lgs0  15732  lgsval4  15739
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