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Theorem lgsval 13620
Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsval
Dummy variables  a  m  k  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9226 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  1  e.  ZZ )
2 0zd 9211 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  0  e.  ZZ )
3 zsqcl 10533 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
43ad2antrr 485 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
5 zdceq 9274 . . . . 5  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( A ^ 2 )  =  1 )
64, 1, 5syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  -> DECID  ( A ^ 2 )  =  1 )
71, 2, 6ifcldcd 3560 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  if (
( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  e.  ZZ )
8 neg1z 9231 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
98a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  -u 1  e.  ZZ )
10 1zzd 9226 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  1  e.  ZZ )
11 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 0zd 9211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  0  e.  ZZ )
13 zdclt 9276 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  <  0 )
1411, 12, 13syl2an2r 590 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  -> DECID  N  <  0
)
15 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
16 zdclt 9276 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  0 )
1715, 12, 16syl2an2r 590 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  -> DECID  A  <  0
)
18 dcan2 929 . . . . . 6  |-  (DECID  N  <  0  ->  (DECID  A  <  0  -> DECID 
( N  <  0  /\  A  <  0
) ) )
1914, 17, 18sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  -> DECID  ( N  <  0  /\  A  <  0
) )
209, 10, 19ifcldcd 3560 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  ZZ )
21 nnuz 9509 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
22 lgsval.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
23 eleq1w 2231 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  Prime  <->  k  e.  Prime ) )
24 eqeq1 2177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  =  2  <->  k  =  2 ) )
25 oveq1 5857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
2625oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  =  ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )
2726oveq2d 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) ) )
2827oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
3028, 29oveq12d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k ) )
3130oveq1d 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 ) )
3224, 31ifbieq2d 3549 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )  =  if ( k  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 ) ) )
33 oveq1 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
n  pCnt  N )  =  ( k  pCnt  N ) )
3432, 33oveq12d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  k
)  -  1 ) ) ^ ( k 
pCnt  N ) ) )
3523, 34ifbieq1d 3547 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 )  =  if ( k  e.  Prime ,  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 ) ) ^
( k  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
36 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
37 0zd 9211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> 
0  e.  ZZ )
38 1zzd 9226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> 
1  e.  ZZ )
3938znegcld 9323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  ->  -u 1  e.  ZZ )
40 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ZZ )
41 8nn 9032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  8  e.  NN
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  8  e.  NN )
4340, 42zmodcld 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  mod  8 )  e. 
NN0 )
4443nn0zd 9319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  mod  8 )  e.  ZZ )
45 1zzd 9226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ )
46 zdceq 9274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  mod  8
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( A  mod  8 )  =  1 )
4744, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  =  1 )
48 7nn 9031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  7  e.  NN
4948nnzi 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  7  e.  ZZ
50 zdceq 9274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  mod  8
)  e.  ZZ  /\  7  e.  ZZ )  -> DECID  ( A  mod  8 )  =  7 )
5144, 49, 50sylancl 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  =  7 )
52 dcor 930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (DECID  ( A  mod  8 )  =  1  ->  (DECID  ( A  mod  8 )  =  7  -> DECID 
( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
5347, 51, 52sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) )
54 elprg 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  NN0  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
5543, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
5655dcbid 833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (DECID  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  <-> DECID  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
5753, 56mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
5857ad5antr 493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> DECID  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )
5938, 39, 58ifcldcd 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  e.  ZZ )
60 2nn 9026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> 
2  e.  NN )
62 simp-5l 538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
63 dvdsdc 11747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  ZZ )  -> DECID  2 
||  A )
6461, 62, 63syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> DECID  2  ||  A )
6537, 59, 64ifcldcd 3560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  e.  ZZ )
66 simp-5l 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
67 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  -.  k  = 
2 )
68 prm2orodd 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Prime  ->  ( k  =  2  \/  -.  2  ||  k ) )
6968orcomd 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Prime  ->  ( -.  2  ||  k  \/  k  =  2 ) )
7069ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( -.  2  ||  k  \/  k  =  2 ) )
7167, 70ecased 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  -.  2  ||  k )
72 prmnn 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Prime  ->  k  e.  NN )
7372nnnn0d 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Prime  ->  k  e. 
NN0 )
74 nn0oddm1d2 11855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  k  <->  ( (
k  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Prime  ->  ( -.  2  ||  k  <->  ( (
k  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 ) )
7675ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( -.  2  ||  k  <->  ( ( k  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )
7771, 76mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( k  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
78 zexpcl 10478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( k  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7966, 77, 78syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( A ^
( ( k  - 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
8079peano2zd 9324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )
8136ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  k  e.  NN )
8280, 81zmodcld 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  e.  NN0 )
8382nn0zd 9319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  e.  ZZ )
84 1zzd 9226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  1  e.  ZZ )
8583, 84zsubcld 9326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 )  e.  ZZ )
86 nnz 9218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
8786ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  ZZ )
88 2z 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
89 zdceq 9274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  -> DECID  k  =  2 )
9087, 88, 89sylancl 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  -> DECID 
k  =  2 )
9165, 85, 90ifcldadc 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  -  1 ) )  e.  ZZ )
92 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  Prime )
93 simp-4r 537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
94 neqne 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  =  0  ->  N  =/=  0 )
9594ad3antlr 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  =/=  0
)
96 pczcl 12239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( k  pCnt  N
)  e.  NN0 )
9792, 93, 95, 96syl12anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( k  pCnt  N )  e.  NN0 )
98 zexpcl 10478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  k
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( k  pCnt  N
)  e.  NN0 )  ->  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  -  1 ) ) ^ (
k  pCnt  N )
)  e.  ZZ )
9991, 97, 98syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  -  1 ) ) ^ (
k  pCnt  N )
)  e.  ZZ )
100 1zzd 9226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  k  e. 
Prime )  ->  1  e.  ZZ )
101 prmdc 12071 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  -> DECID  k  e.  Prime )
102101adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  -> DECID 
k  e.  Prime )
10399, 100, 102ifcldadc 3554 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 ) ) ^
( k  pCnt  N
) ) ,  1 )  e.  ZZ )
10422, 35, 36, 103fvmptd3 5587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  Prime ,  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  -  1 ) ) ^ (
k  pCnt  N )
) ,  1 ) )
105104, 103eqeltrd 2247 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
106 zmulcl 9252 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  v
)  e.  ZZ )
107106adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  v
)  e.  ZZ )
10821, 10, 105, 107seqf 10404 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> ZZ )
109 simplr 525 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  ZZ )
11094adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  =/=  0 )
111 nnabscl 11051 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
112109, 110, 111syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
113108, 112ffvelrnd 5629 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  e.  ZZ )
11420, 113zmulcld 9327 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) )  e.  ZZ )
115 0zd 9211 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
116 zdceq 9274 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
11711, 115, 116syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
1187, 114, 117ifcldadc 3554 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) )  e.  ZZ )
119 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  m  =  N )
120119eqeq1d 2179 . . . 4  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( m  =  0  <-> 
N  =  0 ) )
121 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  a  =  A )
122121oveq1d 5865 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( a ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
123122eqeq1d 2179 . . . . 5  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( a ^
2 )  =  1  <-> 
( A ^ 2 )  =  1 ) )
124123ifbid 3546 . . . 4  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( ( a ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
125119breq1d 3997 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( m  <  0  <->  N  <  0 ) )
126121breq1d 3997 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( a  <  0  <->  A  <  0 ) )
127125, 126anbi12d 470 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( m  <  0  /\  a  <  0 )  <->  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ) )
128127ifbid 3546 . . . . 5  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( ( m  <  0  /\  a  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 ) )
129121breq2d 3999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( 2  ||  a  <->  2 
||  A ) )
130121oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( a  mod  8
)  =  ( A  mod  8 ) )
131130eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  <-> 
( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )
132131ifbid 3546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( ( a  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 )  =  if ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
133129, 132ifbieq2d 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
134121oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( a ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )
135134oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( a ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  =  ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )
136135oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  =  ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
137136oveq1d 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
138133, 137ifeq12d 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) )  =  if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) )
139119oveq2d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( n  pCnt  m
)  =  ( n 
pCnt  N ) )
140138, 139oveq12d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
)  =  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  N
) ) )
141140ifeq1d 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
142141mpteq2dv 4078 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) )
143142, 22eqtr4di 2221 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 ) )  =  F )
144143seqeq3d 10396 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  m
) ) ,  1 ) ) )  =  seq 1 (  x.  ,  F ) )
145119fveq2d 5498 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( abs `  m
)  =  ( abs `  N ) )
146144, 145fveq12d 5501 . . . . 5  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  m ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  m
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )
147128, 146oveq12d 5868 . . . 4  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( if ( ( m  <  0  /\  a  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  m ) ) )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
148120, 124, 147ifbieq12d 3551 . . 3  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( m  =  0 ,  if ( ( a ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( m  <  0  /\  a  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  m ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  m
) ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
149 df-lgs 13614 . . 3  |-  /L 
=  ( a  e.  ZZ ,  m  e.  ZZ  |->  if ( m  =  0 ,  if ( ( a ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( m  <  0  /\  a  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  m ) ) ) ) )
150148, 149ovmpoga 5979 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A  /L N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) ) )
151118, 150mpd3an3 1333 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   ifcif 3525   {cpr 3582   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   0cc0 7761   1c1 7762    + caddc 7764    x. cmul 7766    < clt 7941    - cmin 8077   -ucneg 8078    / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   7c7 8921   8c8 8922   NN0cn0 9122   ZZcz 9199    mod cmo 10265    seqcseq 10388   ^cexp 10462   abscabs 10948    || cdvds 11736   Primecprime 12048    pCnt cpc 12225    /Lclgs 13613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-en 6715  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-gcd 11885  df-prm 12049  df-pc 12226  df-lgs 13614
This theorem is referenced by:  lgscllem  13623  lgsval2lem  13626  lgs0  13629  lgsval4  13636
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