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Theorem lgsval 14566
Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   n, N
Allowed substitution hint:   F( n)
Proof of Theorem lgsval
Dummy variables a m k v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9283 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
2 0zd 9268 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 0 e. ZZ )
3 zsqcl 10594 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
43ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
5 zdceq 9331 . . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
64, 1, 5syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
71, 2, 6ifcldcd 3572 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. ZZ )
8 neg1z 9288 . . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
98a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -u 1 e. ZZ )
10 1zzd 9283 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
11 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12 0zd 9268 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 0 e. ZZ )
13 zdclt 9333 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
1411, 12, 13syl2an2r 595 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID N < 0 )
15 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. ZZ )
16 zdclt 9333 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
1715, 12, 16syl2an2r 595 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID A < 0 )
18 dcan2 934 . . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
1914, 17, 18sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
209, 10, 19ifcldcd 3572 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ )
21 nnuz 9566 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22 lgsval.1 . . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
23 eleq1w 2238 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n e. Prime <-> k e. Prime ) )
24 eqeq1 2184 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( n = 2 <-> k = 2 ) )
25 oveq1 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( n - 1 ) = ( k - 1 ) )
2625oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ( n - 1 ) / 2 ) = ( ( k - 1 ) / 2 ) )
2726oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) )
2827oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> n = k )
3028, 29oveq12d 5896 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) )
3130oveq1d 5893 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) )
3224, 31ifbieq2d 3560 . . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) = if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) )
33 oveq1 5885 . . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n pCnt N ) = ( k pCnt N ) )
3432, 33oveq12d 5896 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) )
3523, 34ifbieq1d 3558 . . . . . . . 8 |- ( n = k -> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
36 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
37 0zd 9268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 0 e. ZZ )
38 1zzd 9283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 1 e. ZZ )
3938znegcld 9380 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> -u 1 e. ZZ )
40 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
41 8nn 9089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 8 e. NN
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
4340, 42zmodcld 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
4443nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
45 1zzd 9283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
46 zdceq 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
4744, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
48 7nn 9088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 7 e. NN
4948nnzi 9277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 7 e. ZZ
50 zdceq 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
5144, 49, 50sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
52 dcor 935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5347, 51, 52sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
54 elprg 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5543, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5655dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5753, 56mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
5857ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
5938, 39, 58ifcldcd 3572 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ )
60 2nn 9083 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 2 e. NN )
62 simp-5l 543 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> A e. ZZ )
63 dvdsdc 11808 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> DECID 2 || A )
6537, 59, 64ifcldcd 3572 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
66 simp-5l 543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> A e. ZZ )
67 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> -. k = 2 )
68 prm2orodd 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Prime -> ( k = 2 \/ -. 2 || k ) )
6968orcomd 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. Prime -> ( -. 2 || k \/ k = 2 ) )
7069ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( -. 2 || k \/ k = 2 ) )
7167, 70ecased 1349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> -. 2 || k )
72 prmnn 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Prime -> k e. NN )
7372nnnn0d 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. Prime -> k e. NN0 )
74 nn0oddm1d2 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Prime -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7675ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7771, 76mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
78 zexpcl 10538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
7966, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
8079peano2zd 9381 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
8136ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> k e. NN )
8280, 81zmodcld 10348 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) e. NN0 )
8382nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) e. ZZ )
84 1zzd 9283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> 1 e. ZZ )
8583, 84zsubcld 9383 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) e. ZZ )
86 nnz 9275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
8786ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
88 2z 9284 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
89 zdceq 9331 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID k = 2 )
9087, 88, 89sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> DECID k = 2 )
9165, 85, 90ifcldadc 3565 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) e. ZZ )
92 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
93 simp-4r 542 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N e. ZZ )
94 neqne 2355 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
9594ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N =/= 0 )
96 pczcl 12301 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
9792, 93, 95, 96syl12anc 1236 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
98 zexpcl 10538 . . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) e. ZZ /\ ( k pCnt N ) e. NN0 ) -> ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
9991, 97, 98syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
100 1zzd 9283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
101 prmdc 12133 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> DECID k e. Prime )
102101adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> DECID k e. Prime )
10399, 100, 102ifcldadc 3565 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) e. ZZ )
10422, 35, 36, 103fvmptd3 5612 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
105104, 103eqeltrd 2254 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
106 zmulcl 9309 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
107106adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
10821, 10, 105, 107seqf 10464 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
109 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
11094adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
111 nnabscl 11112 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
112109, 110, 111syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
113108, 112ffvelcdmd 5655 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. ZZ )
11420, 113zmulcld 9384 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. ZZ )
115 0zd 9268 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
116 zdceq 9331 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
11711, 115, 116syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
1187, 114, 117ifcldadc 3565 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. ZZ )
119 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> m = N )
120119eqeq1d 2186 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( m = 0 <-> N = 0 ) )
121 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> a = A )
122121oveq1d 5893 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
123122eqeq1d 2186 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a ^ 2 ) = 1 <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
124123ifbid 3557 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
125119breq1d 4015 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( m < 0 <-> N < 0 ) )
126121breq1d 4015 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a < 0 <-> A < 0 ) )
127125, 126anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( m < 0 /\ a < 0 ) <-> ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
128127ifbid 3557 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) = if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) )
129121breq2d 4017 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( 2 || a <-> 2 || A ) )
130121oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a mod 8 ) = ( A mod 8 ) )
131130eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
132131ifbid 3557 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
133129, 132ifbieq2d 3560 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
134121oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) )
135134oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
136135oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
137136oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
138133, 137ifeq12d 3555 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) = if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) )
139119oveq2d 5894 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n pCnt m ) = ( n pCnt N ) )
140138, 139oveq12d 5896 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) = ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) )
141140ifeq1d 3553 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) = if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
142141mpteq2dv 4096 . . . . . . . 8 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
143142, 22eqtr4di 2228 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) = F )
144143seqeq3d 10456 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , F ) )
145119fveq2d 5521 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( abs ` m ) = ( abs ` N ) )
146144, 145fveq12d 5524 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) )
147128, 146oveq12d 5896 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
148120, 124, 147ifbieq12d 3562 . . 3 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( m = 0 , if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
149 df-lgs 14560 . . 3 |- /L = ( a e. ZZ , m e. ZZ |-> if ( m = 0 , if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) ) )
150148, 149ovmpoga 6007 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
151118, 150mpd3an3 1338 1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   ifcif 3536   {cpr 3595   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   0cc0 7814   1c1 7815   + caddc 7817   x. cmul 7819   < clt 7995   - cmin 8131   -ucneg 8132   / cdiv 8632   NNcn 8922   2c2 8973   7c7 8978   8c8 8979   NN0cn0 9179   ZZcz 9256   mod cmo 10325   seqcseq 10448   ^cexp 10522   abscabs 11009   || cdvds 11797   Primecprime 12110   pCnt cpc 12287   /Lclgs 14559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-gcd 11947  df-prm 12111  df-pc 12288  df-lgs 14560
This theorem is referenced by:  lgscllem  14569  lgsval2lem  14572  lgs0  14575  lgsval4  14582
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