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Theorem lgsval 15677
Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   n, N
Allowed substitution hint:   F( n)
Proof of Theorem lgsval
Dummy variables a m k v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9469 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
2 0zd 9454 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 0 e. ZZ )
3 zsqcl 10827 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
43ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
5 zdceq 9518 . . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
64, 1, 5syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
71, 2, 6ifcldcd 3640 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. ZZ )
8 neg1z 9474 . . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
98a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -u 1 e. ZZ )
10 1zzd 9469 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
11 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12 0zd 9454 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 0 e. ZZ )
13 zdclt 9520 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
1411, 12, 13syl2an2r 597 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID N < 0 )
15 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. ZZ )
16 zdclt 9520 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
1715, 12, 16syl2an2r 597 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID A < 0 )
18 dcan2 940 . . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
1914, 17, 18sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
209, 10, 19ifcldcd 3640 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ )
21 nnuz 9754 . . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22 lgsval.1 . . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
23 eleq1w 2290 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n e. Prime <-> k e. Prime ) )
24 eqeq1 2236 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( n = 2 <-> k = 2 ) )
25 oveq1 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> ( n - 1 ) = ( k - 1 ) )
2625oveq1d 6015 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ( n - 1 ) / 2 ) = ( ( k - 1 ) / 2 ) )
2726oveq2d 6016 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) )
2827oveq1d 6015 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> n = k )
3028, 29oveq12d 6018 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) )
3130oveq1d 6015 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) )
3224, 31ifbieq2d 3627 . . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) = if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) )
33 oveq1 6007 . . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( n pCnt N ) = ( k pCnt N ) )
3432, 33oveq12d 6018 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) )
3523, 34ifbieq1d 3625 . . . . . . . 8 |- ( n = k -> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
36 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
37 0zd 9454 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 0 e. ZZ )
38 1zzd 9469 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 1 e. ZZ )
3938znegcld 9567 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> -u 1 e. ZZ )
40 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
41 8nn 9274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 8 e. NN
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
4340, 42zmodcld 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
4443nn0zd 9563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
45 1zzd 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
46 zdceq 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
4744, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
48 7nn 9273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 7 e. NN
4948nnzi 9463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 7 e. ZZ
50 zdceq 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
5144, 49, 50sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
52 dcor 941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5347, 51, 52sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
54 elprg 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5543, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5655dcbid 843 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
5753, 56mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
5857ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
5938, 39, 58ifcldcd 3640 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ )
60 2nn 9268 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> 2 e. NN )
62 simp-5l 543 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> A e. ZZ )
63 dvdsdc 12304 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> DECID 2 || A )
6537, 59, 64ifcldcd 3640 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ k = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
66 simp-5l 543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> A e. ZZ )
67 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> -. k = 2 )
68 prm2orodd 12643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Prime -> ( k = 2 \/ -. 2 || k ) )
6968orcomd 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. Prime -> ( -. 2 || k \/ k = 2 ) )
7069ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( -. 2 || k \/ k = 2 ) )
7167, 70ecased 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> -. 2 || k )
72 prmnn 12627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Prime -> k e. NN )
7372nnnn0d 9418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. Prime -> k e. NN0 )
74 nn0oddm1d2 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Prime -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7675ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( -. 2 || k <-> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
7771, 76mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
78 zexpcl 10771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
7966, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
8079peano2zd 9568 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
8136ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> k e. NN )
8280, 81zmodcld 10562 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) e. NN0 )
8382nn0zd 9563 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) e. ZZ )
84 1zzd 9469 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> 1 e. ZZ )
8583, 84zsubcld 9570 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) /\ -. k = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) e. ZZ )
86 nnz 9461 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
8786ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
88 2z 9470 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
89 zdceq 9518 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID k = 2 )
9087, 88, 89sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> DECID k = 2 )
9165, 85, 90ifcldadc 3632 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) e. ZZ )
92 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
93 simp-4r 542 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N e. ZZ )
94 neqne 2408 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
9594ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N =/= 0 )
96 pczcl 12816 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
9792, 93, 95, 96syl12anc 1269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
98 zexpcl 10771 . . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) e. ZZ /\ ( k pCnt N ) e. NN0 ) -> ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
9991, 97, 98syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
100 1zzd 9469 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
101 prmdc 12647 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> DECID k e. Prime )
102101adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> DECID k e. Prime )
10399, 100, 102ifcldadc 3632 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) e. ZZ )
10422, 35, 36, 103fvmptd3 5727 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Prime , ( if ( k = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod k ) - 1 ) ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
105104, 103eqeltrd 2306 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
106 zmulcl 9496 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
107106adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
10821, 10, 105, 107seqf 10681 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
109 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
11094adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
111 nnabscl 11606 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
112109, 110, 111syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
113108, 112ffvelcdmd 5770 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. ZZ )
11420, 113zmulcld 9571 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. ZZ )
115 0zd 9454 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
116 zdceq 9518 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
11711, 115, 116syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
1187, 114, 117ifcldadc 3632 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. ZZ )
119 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> m = N )
120119eqeq1d 2238 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( m = 0 <-> N = 0 ) )
121 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> a = A )
122121oveq1d 6015 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
123122eqeq1d 2238 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a ^ 2 ) = 1 <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
124123ifbid 3624 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
125119breq1d 4092 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( m < 0 <-> N < 0 ) )
126121breq1d 4092 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a < 0 <-> A < 0 ) )
127125, 126anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( m < 0 /\ a < 0 ) <-> ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
128127ifbid 3624 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) = if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) )
129121breq2d 4094 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( 2 || a <-> 2 || A ) )
130121oveq1d 6015 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a mod 8 ) = ( A mod 8 ) )
131130eleq1d 2298 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
132131ifbid 3624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
133129, 132ifbieq2d 3627 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
134121oveq1d 6015 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) )
135134oveq1d 6015 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
136135oveq1d 6015 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
137136oveq1d 6015 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
138133, 137ifeq12d 3622 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) = if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) )
139119oveq2d 6016 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n pCnt m ) = ( n pCnt N ) )
140138, 139oveq12d 6018 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) = ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) )
141140ifeq1d 3620 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) = if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
142141mpteq2dv 4174 . . . . . . . 8 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
143142, 22eqtr4di 2280 . . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) = F )
144143seqeq3d 10672 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , F ) )
145119fveq2d 5630 . . . . . 6 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( abs ` m ) = ( abs ` N ) )
146144, 145fveq12d 5633 . . . . 5 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) )
147128, 146oveq12d 6018 . . . 4 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
148120, 124, 147ifbieq12d 3629 . . 3 |- ( ( a = A /\ m = N ) -> if ( m = 0 , if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
149 df-lgs 15671 . . 3 |- /L = ( a e. ZZ , m e. ZZ |-> if ( m = 0 , if ( ( a ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( m < 0 /\ a < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || a , 0 , if ( ( a mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( a ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt m ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` m ) ) ) ) )
150148, 149ovmpoga 6133 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
151118, 150mpd3an3 1372 1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   ifcif 3602   {cpr 3667   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   < clt 8177   - cmin 8313   -ucneg 8314   / cdiv 8815   NNcn 9106   2c2 9157   7c7 9162   8c8 9163   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   mod cmo 10539   seqcseq 10664   ^cexp 10755   abscabs 11503   || cdvds 12293   Primecprime 12624   pCnt cpc 12802   /Lclgs 15670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-dvds 12294  df-gcd 12470  df-prm 12625  df-pc 12803  df-lgs 15671
This theorem is referenced by:  lgscllem  15680  lgsval2lem  15683  lgs0  15686  lgsval4  15693
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