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Theorem lgsval 14701
Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsval
Dummy variables  a  m  k  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9294 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  1  e.  ZZ )
2 0zd 9279 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  0  e.  ZZ )
3 zsqcl 10605 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
43ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
5 zdceq 9342 . . . . 5  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( A ^ 2 )  =  1 )
64, 1, 5syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  -> DECID  ( A ^ 2 )  =  1 )
71, 2, 6ifcldcd 3582 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  if (
( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  e.  ZZ )
8 neg1z 9299 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
98a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  -u 1  e.  ZZ )
10 1zzd 9294 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  1  e.  ZZ )
11 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 0zd 9279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  0  e.  ZZ )
13 zdclt 9344 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  <  0 )
1411, 12, 13syl2an2r 595 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  -> DECID  N  <  0
)
15 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
16 zdclt 9344 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  0 )
1715, 12, 16syl2an2r 595 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  -> DECID  A  <  0
)
18 dcan2 935 . . . . . 6  |-  (DECID  N  <  0  ->  (DECID  A  <  0  -> DECID 
( N  <  0  /\  A  <  0
) ) )
1914, 17, 18sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  -> DECID  ( N  <  0  /\  A  <  0
) )
209, 10, 19ifcldcd 3582 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  ZZ )
21 nnuz 9577 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
22 lgsval.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
23 eleq1w 2248 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  Prime  <->  k  e.  Prime ) )
24 eqeq1 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  =  2  <->  k  =  2 ) )
25 oveq1 5895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
2625oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  =  ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )
2726oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) ) )
2827oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
3028, 29oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k ) )
3130oveq1d 5903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 ) )
3224, 31ifbieq2d 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )  =  if ( k  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 ) ) )
33 oveq1 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
n  pCnt  N )  =  ( k  pCnt  N ) )
3432, 33oveq12d 5906 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  k
)  -  1 ) ) ^ ( k 
pCnt  N ) ) )
3523, 34ifbieq1d 3568 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 )  =  if ( k  e.  Prime ,  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 ) ) ^
( k  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
36 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
37 0zd 9279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> 
0  e.  ZZ )
38 1zzd 9294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> 
1  e.  ZZ )
3938znegcld 9391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  ->  -u 1  e.  ZZ )
40 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ZZ )
41 8nn 9100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  8  e.  NN
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  8  e.  NN )
4340, 42zmodcld 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  mod  8 )  e. 
NN0 )
4443nn0zd 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  mod  8 )  e.  ZZ )
45 1zzd 9294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ )
46 zdceq 9342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  mod  8
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( A  mod  8 )  =  1 )
4744, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  =  1 )
48 7nn 9099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  7  e.  NN
4948nnzi 9288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  7  e.  ZZ
50 zdceq 9342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  mod  8
)  e.  ZZ  /\  7  e.  ZZ )  -> DECID  ( A  mod  8 )  =  7 )
5144, 49, 50sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  =  7 )
52 dcor 936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (DECID  ( A  mod  8 )  =  1  ->  (DECID  ( A  mod  8 )  =  7  -> DECID 
( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
5347, 51, 52sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) )
54 elprg 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  NN0  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
5543, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
5655dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (DECID  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  <-> DECID  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
5753, 56mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
5857ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> DECID  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )
5938, 39, 58ifcldcd 3582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  e.  ZZ )
60 2nn 9094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> 
2  e.  NN )
62 simp-5l 543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
63 dvdsdc 11819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  ZZ )  -> DECID  2 
||  A )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  -> DECID  2  ||  A )
6537, 59, 64ifcldcd 3582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  =  2 )  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  e.  ZZ )
66 simp-5l 543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
67 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  -.  k  = 
2 )
68 prm2orodd 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Prime  ->  ( k  =  2  \/  -.  2  ||  k ) )
6968orcomd 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Prime  ->  ( -.  2  ||  k  \/  k  =  2 ) )
7069ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( -.  2  ||  k  \/  k  =  2 ) )
7167, 70ecased 1359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  -.  2  ||  k )
72 prmnn 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Prime  ->  k  e.  NN )
7372nnnn0d 9243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Prime  ->  k  e. 
NN0 )
74 nn0oddm1d2 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  k  <->  ( (
k  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 ) )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Prime  ->  ( -.  2  ||  k  <->  ( (
k  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 ) )
7675ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( -.  2  ||  k  <->  ( ( k  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )
7771, 76mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( k  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
78 zexpcl 10549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( k  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7966, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( A ^
( ( k  - 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
8079peano2zd 9392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )
8136ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  k  e.  NN )
8280, 81zmodcld 10359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  e.  NN0 )
8382nn0zd 9387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  e.  ZZ )
84 1zzd 9294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  1  e.  ZZ )
8583, 84zsubcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  =  2 )  ->  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 )  e.  ZZ )
86 nnz 9286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
8786ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  ZZ )
88 2z 9295 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
89 zdceq 9342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  -> DECID  k  =  2 )
9087, 88, 89sylancl 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  -> DECID 
k  =  2 )
9165, 85, 90ifcldadc 3575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  -  1 ) )  e.  ZZ )
92 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  Prime )
93 simp-4r 542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
94 neqne 2365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  =  0  ->  N  =/=  0 )
9594ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  =/=  0
)
96 pczcl 12312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( k  pCnt  N
)  e.  NN0 )
9792, 93, 95, 96syl12anc 1246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( k  pCnt  N )  e.  NN0 )
98 zexpcl 10549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  k
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( k  pCnt  N
)  e.  NN0 )  ->  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  -  1 ) ) ^ (
k  pCnt  N )
)  e.  ZZ )
9991, 97, 98syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  -  1 ) ) ^ (
k  pCnt  N )
)  e.  ZZ )
100 1zzd 9294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  k  e. 
Prime )  ->  1  e.  ZZ )
101 prmdc 12144 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  -> DECID  k  e.  Prime )
102101adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  -> DECID 
k  e.  Prime )
10399, 100, 102ifcldadc 3575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  - 
1 ) ) ^
( k  pCnt  N
) ) ,  1 )  e.  ZZ )
10422, 35, 36, 103fvmptd3 5622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  Prime ,  ( if ( k  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  k )  -  1 ) ) ^ (
k  pCnt  N )
) ,  1 ) )
105104, 103eqeltrd 2264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
106 zmulcl 9320 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  v
)  e.  ZZ )
107106adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  v
)  e.  ZZ )
10821, 10, 105, 107seqf 10475 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> ZZ )
109 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  ZZ )
11094adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  =/=  0 )
111 nnabscl 11123 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
112109, 110, 111syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
113108, 112ffvelcdmd 5665 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  e.  ZZ )
11420, 113zmulcld 9395 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) )  e.  ZZ )
115 0zd 9279 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
116 zdceq 9342 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
11711, 115, 116syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
1187, 114, 117ifcldadc 3575 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) )  e.  ZZ )
119 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  m  =  N )
120119eqeq1d 2196 . . . 4  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( m  =  0  <-> 
N  =  0 ) )
121 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  a  =  A )
122121oveq1d 5903 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( a ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
123122eqeq1d 2196 . . . . 5  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( a ^
2 )  =  1  <-> 
( A ^ 2 )  =  1 ) )
124123ifbid 3567 . . . 4  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( ( a ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
125119breq1d 4025 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( m  <  0  <->  N  <  0 ) )
126121breq1d 4025 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( a  <  0  <->  A  <  0 ) )
127125, 126anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( m  <  0  /\  a  <  0 )  <->  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ) )
128127ifbid 3567 . . . . 5  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( ( m  <  0  /\  a  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 ) )
129121breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( 2  ||  a  <->  2 
||  A ) )
130121oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( a  mod  8
)  =  ( A  mod  8 ) )
131130eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  <-> 
( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )
132131ifbid 3567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( ( a  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 )  =  if ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
133129, 132ifbieq2d 3570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
134121oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( a ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  =  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) ) )
135134oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( a ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  =  ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )
136135oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  =  ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
137136oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
138133, 137ifeq12d 3565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) )  =  if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) )
139119oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( n  pCnt  m
)  =  ( n 
pCnt  N ) )
140138, 139oveq12d 5906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
)  =  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  N
) ) )
141140ifeq1d 3563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
142141mpteq2dv 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) )
143142, 22eqtr4di 2238 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 ) )  =  F )
144143seqeq3d 10467 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  m
) ) ,  1 ) ) )  =  seq 1 (  x.  ,  F ) )
145119fveq2d 5531 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( abs `  m
)  =  ( abs `  N ) )
146144, 145fveq12d 5534 . . . . 5  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  m ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  m
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )
147128, 146oveq12d 5906 . . . 4  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  ( if ( ( m  <  0  /\  a  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  m ) ) )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
148120, 124, 147ifbieq12d 3572 . . 3  |-  ( ( a  =  A  /\  m  =  N )  ->  if ( m  =  0 ,  if ( ( a ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( m  <  0  /\  a  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  m ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  m
) ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
149 df-lgs 14695 . . 3  |-  /L 
=  ( a  e.  ZZ ,  m  e.  ZZ  |->  if ( m  =  0 ,  if ( ( a ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( m  <  0  /\  a  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  a ,  0 ,  if ( ( a  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( a ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  m )
) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  m ) ) ) ) )
150148, 149ovmpoga 6018 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A  /L N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) ) )
151118, 150mpd3an3 1348 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1363    e. wcel 2158    =/= wne 2357   ifcif 3546   {cpr 3605   class class class wbr 4015    |-> cmpt 4076   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   0cc0 7825   1c1 7826    + caddc 7828    x. cmul 7830    < clt 8006    - cmin 8142   -ucneg 8143    / cdiv 8643   NNcn 8933   2c2 8984   7c7 8989   8c8 8990   NN0cn0 9190   ZZcz 9267    mod cmo 10336    seqcseq 10459   ^cexp 10533   abscabs 11020    || cdvds 11808   Primecprime 12121    pCnt cpc 12298    /Lclgs 14694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-er 6549  df-en 6755  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122  df-pc 12299  df-lgs 14695
This theorem is referenced by:  lgscllem  14704  lgsval2lem  14707  lgs0  14710  lgsval4  14717
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