Theorem ennnfonelemjn 13022

Description: Lemma for ennnfone 13045. Non-initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemjn	|- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, N   x, f, y   x, j, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, j, k, n)   A( f, j, k, n)   F( f, j, k, n)   G( x, y, f, j, k, n)   H( x, y, f, j, k, n)   J( x, y, f, j, k, n)   N( y, f, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemjn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9791	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		0p1e1 9256	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
3	2	fveq2i 5642	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 )
4	1, 3	eqtr4i 2255	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
5	4	eleq2i 2298	. 2 |- ( f e. NN <-> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		eqeq1 2238	. . . . 5 |- ( x = f -> ( x = 0 <-> f = 0 ) )
8		fvoveq1 6040	. . . . 5 |- ( x = f -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
9	7, 8	ifbieq2d 3630	. . . 4 |- ( x = f -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) )
10		nnnn0 9408	. . . . 5 |- ( f e. NN -> f e. NN0 )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> f e. NN0 )
12		nnne0 9170	. . . . . . . 8 |- ( f e. NN -> f =/= 0 )
13	12	neneqd 2423	. . . . . . 7 |- ( f e. NN -> -. f = 0 )
14	13	iffalsed 3615	. . . . . 6 |- ( f e. NN -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
16		0zd 9490	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> 0 e. ZZ )
17		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
18	16, 17	frec2uzf1od 10667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19		f1ocnv 5596	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om )
20		f1of 5583	. . . . . . 7 |- ( `' N : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
22		0z 9489	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
23	5	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( f e. NN -> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
25		eluzp1m1 9779	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( f - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
26	22, 24, 25	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( f - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
27	21, 26	ffvelcdmd 5783	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( `' N ` ( f - 1 ) ) e. om )
28	15, 27	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) e. om )
29	6, 9, 11, 28	fvmptd3 5740	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( J ` f ) = if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) )
30	29, 28	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( J ` f ) e. om )
31	5, 30	sylan2br 288	1 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E.wrex 2511   u. cun 3198   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   "cima 4728   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019  freccfrec 6555   ^pm cpm 6817   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   - cmin 8349   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  13024  ennnfonelem0  13025  ennnfonelemp1  13026  ennnfonelemom  13028