Theorem ennnfonelemjn 12806

Description: Lemma for ennnfone 12829. Non-initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemjn	|- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, N   x, f, y   x, j, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, j, k, n)   A( f, j, k, n)   F( f, j, k, n)   G( x, y, f, j, k, n)   H( x, y, f, j, k, n)   J( x, y, f, j, k, n)   N( y, f, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemjn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9686	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		0p1e1 9152	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
3	2	fveq2i 5581	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 )
4	1, 3	eqtr4i 2229	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
5	4	eleq2i 2272	. 2 |- ( f e. NN <-> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		eqeq1 2212	. . . . 5 |- ( x = f -> ( x = 0 <-> f = 0 ) )
8		fvoveq1 5969	. . . . 5 |- ( x = f -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
9	7, 8	ifbieq2d 3595	. . . 4 |- ( x = f -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) )
10		nnnn0 9304	. . . . 5 |- ( f e. NN -> f e. NN0 )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> f e. NN0 )
12		nnne0 9066	. . . . . . . 8 |- ( f e. NN -> f =/= 0 )
13	12	neneqd 2397	. . . . . . 7 |- ( f e. NN -> -. f = 0 )
14	13	iffalsed 3581	. . . . . 6 |- ( f e. NN -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
16		0zd 9386	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> 0 e. ZZ )
17		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
18	16, 17	frec2uzf1od 10553	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19		f1ocnv 5537	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om )
20		f1of 5524	. . . . . . 7 |- ( `' N : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
22		0z 9385	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
23	5	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( f e. NN -> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
25		eluzp1m1 9674	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( f - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
26	22, 24, 25	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( f - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
27	21, 26	ffvelcdmd 5718	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( `' N ` ( f - 1 ) ) e. om )
28	15, 27	eqeltrd 2282	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) e. om )
29	6, 9, 11, 28	fvmptd3 5675	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( J ` f ) = if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) )
30	29, 28	eqeltrd 2282	. 2 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( J ` f ) e. om )
31	5, 30	sylan2br 288	1 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   A.wral 2484   E.wrex 2485   u. cun 3164   (/)c0 3460   ifcif 3571   {csn 3633   <.cop 3636   |-> cmpt 4106   suc csuc 4413   omcom 4639   `'ccnv 4675   dom cdm 4676   "cima 4679   -->wf 5268   -onto->wfo 5270   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948  freccfrec 6478   ^pm cpm 6738   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   - cmin 8245   NNcn 9038   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   seqcseq 10594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12808  ennnfonelem0  12809  ennnfonelemp1  12810  ennnfonelemom  12812