Theorem ennnfonelemjn 12888

Description: Lemma for ennnfone 12911. Non-initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemjn	|- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, N   x, f, y   x, j, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, j, k, n)   A( f, j, k, n)   F( f, j, k, n)   G( x, y, f, j, k, n)   H( x, y, f, j, k, n)   J( x, y, f, j, k, n)   N( y, f, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemjn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9719	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		0p1e1 9185	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
3	2	fveq2i 5602	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 )
4	1, 3	eqtr4i 2231	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
5	4	eleq2i 2274	. 2 |- ( f e. NN <-> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		eqeq1 2214	. . . . 5 |- ( x = f -> ( x = 0 <-> f = 0 ) )
8		fvoveq1 5990	. . . . 5 |- ( x = f -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
9	7, 8	ifbieq2d 3604	. . . 4 |- ( x = f -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) )
10		nnnn0 9337	. . . . 5 |- ( f e. NN -> f e. NN0 )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> f e. NN0 )
12		nnne0 9099	. . . . . . . 8 |- ( f e. NN -> f =/= 0 )
13	12	neneqd 2399	. . . . . . 7 |- ( f e. NN -> -. f = 0 )
14	13	iffalsed 3589	. . . . . 6 |- ( f e. NN -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
16		0zd 9419	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> 0 e. ZZ )
17		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
18	16, 17	frec2uzf1od 10588	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19		f1ocnv 5557	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om )
20		f1of 5544	. . . . . . 7 |- ( `' N : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
22		0z 9418	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
23	5	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( f e. NN -> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
25		eluzp1m1 9707	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( f - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
26	22, 24, 25	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( f - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
27	21, 26	ffvelcdmd 5739	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( `' N ` ( f - 1 ) ) e. om )
28	15, 27	eqeltrd 2284	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) e. om )
29	6, 9, 11, 28	fvmptd3 5696	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( J ` f ) = if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) )
30	29, 28	eqeltrd 2284	. 2 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( J ` f ) e. om )
31	5, 30	sylan2br 288	1 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   A.wral 2486   E.wrex 2487   u. cun 3172   (/)c0 3468   ifcif 3579   {csn 3643   <.cop 3646   |-> cmpt 4121   suc csuc 4430   omcom 4656   `'ccnv 4692   dom cdm 4693   "cima 4696   -->wf 5286   -onto->wfo 5288   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  freccfrec 6499   ^pm cpm 6759   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   - cmin 8278   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12890  ennnfonelem0  12891  ennnfonelemp1  12892  ennnfonelemom  12894