Theorem ennnfonelemjn 11915

Description: Lemma for ennnfone 11938. Non-initial state for J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemjn	|- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, N   x, f, y   x, j, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, j, k, n)   A( f, j, k, n)   F( f, j, k, n)   G( x, y, f, j, k, n)   H( x, y, f, j, k, n)   J( x, y, f, j, k, n)   N( y, f, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemjn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9361	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		0p1e1 8834	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
3	2	fveq2i 5424	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 )
4	1, 3	eqtr4i 2163	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
5	4	eleq2i 2206	. 2 |- ( f e. NN <-> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		eqeq1 2146	. . . . 5 |- ( x = f -> ( x = 0 <-> f = 0 ) )
8		fvoveq1 5797	. . . . 5 |- ( x = f -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
9	7, 8	ifbieq2d 3496	. . . 4 |- ( x = f -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) )
10		nnnn0 8984	. . . . 5 |- ( f e. NN -> f e. NN0 )
11	10	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> f e. NN0 )
12		nnne0 8748	. . . . . . . 8 |- ( f e. NN -> f =/= 0 )
13	12	neneqd 2329	. . . . . . 7 |- ( f e. NN -> -. f = 0 )
14	13	iffalsed 3484	. . . . . 6 |- ( f e. NN -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
15	14	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( f - 1 ) ) )
16		0zd 9066	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> 0 e. ZZ )
17		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
18	16, 17	frec2uzf1od 10179	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
19		f1ocnv 5380	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om )
20		f1of 5367	. . . . . . 7 |- ( `' N : ( ZZ>= ` 0 ) -1-1-onto-> om -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> `' N : ( ZZ>= ` 0 ) --> om )
22		0z 9065	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
23	5	biimpi 119	. . . . . . . 8 |- ( f e. NN -> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
24	23	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
25		eluzp1m1 9349	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( f - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
26	22, 24, 25	sylancr 410	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( f - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
27	21, 26	ffvelrnd 5556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( `' N ` ( f - 1 ) ) e. om )
28	15, 27	eqeltrd 2216	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) e. om )
29	6, 9, 11, 28	fvmptd3 5514	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( J ` f ) = if ( f = 0 , (/) , ( `' N ` ( f - 1 ) ) ) )
30	29, 28	eqeltrd 2216	. 2 |- ( ( ph /\ f e. NN ) -> ( J ` f ) e. om )
31	5, 30	sylan2br 286	1 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   u. cun 3069   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  freccfrec 6287   ^pm cpm 6543   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  11917  ennnfonelem0  11918  ennnfonelemp1  11919  ennnfonelemom  11921