ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemjn Unicode version

Theorem ennnfonelemjn 11753
Description: Lemma for ennnfone 11776. Non-initial state for  J. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemjn  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( J `  f )  e.  om )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, F, y    x, N    x, f, y    x, j, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, j, k, n)    A( f, j, k, n)    F( f, j, k, n)    G( x, y, f, j, k, n)    H( x, y, f, j, k, n)    J( x, y, f, j, k, n)    N( y, f, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemjn
StepHypRef Expression
1 nnuz 9256 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 0p1e1 8737 . . . . 5  |-  ( 0  +  1 )  =  1
32fveq2i 5376 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
41, 3eqtr4i 2136 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
54eleq2i 2179 . 2  |-  ( f  e.  NN  <->  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
6 ennnfonelemh.j . . . 4  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
7 eqeq1 2119 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
x  =  0  <->  f  =  0 ) )
8 fvoveq1 5749 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  ( `' N `  ( x  -  1 ) )  =  ( `' N `  ( f  -  1 ) ) )
97, 8ifbieq2d 3460 . . . 4  |-  ( x  =  f  ->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) )  =  if ( f  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( f  -  1 ) ) ) )
10 nnnn0 8881 . . . . 5  |-  ( f  e.  NN  ->  f  e.  NN0 )
1110adantl 273 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  f  e. 
NN0 )
12 nnne0 8651 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  NN  ->  f  =/=  0 )
1312neneqd 2301 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  NN  ->  -.  f  =  0 )
1413iffalsed 3448 . . . . . 6  |-  ( f  e.  NN  ->  if ( f  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( f  -  1 ) ) )  =  ( `' N `  ( f  -  1 ) ) )
1514adantl 273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  if ( f  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( f  -  1 ) ) )  =  ( `' N `  ( f  -  1 ) ) )
16 0zd 8963 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
17 ennnfonelemh.n . . . . . . . 8  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
1816, 17frec2uzf1od 10065 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  N : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )
)
19 f1ocnv 5334 . . . . . . 7  |-  ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  0 )  ->  `' N : ( ZZ>= ` 
0 ) -1-1-onto-> om )
20 f1of 5321 . . . . . . 7  |-  ( `' N : ( ZZ>= ` 
0 ) -1-1-onto-> om  ->  `' N : ( ZZ>= `  0
) --> om )
2118, 19, 203syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  `' N : ( ZZ>= `  0
) --> om )
22 0z 8962 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
235biimpi 119 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  NN  ->  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
2423adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
25 eluzp1m1 9244 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  -> 
( f  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
2622, 24, 25sylancr 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  ( f  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2721, 26ffvelrnd 5508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  ( `' N `  ( f  -  1 ) )  e.  om )
2815, 27eqeltrd 2189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  if ( f  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( f  -  1 ) ) )  e. 
om )
296, 9, 11, 28fvmptd3 5466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  ( J `
 f )  =  if ( f  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( f  -  1 ) ) ) )
3029, 28eqeltrd 2189 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  NN )  ->  ( J `
 f )  e. 
om )
315, 30sylan2br 284 1  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( J `  f )  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 802    = wceq 1312    e. wcel 1461    =/= wne 2280   A.wral 2388   E.wrex 2389    u. cun 3033   (/)c0 3327   ifcif 3438   {csn 3491   <.cop 3494    |-> cmpt 3947   suc csuc 4245   omcom 4462   `'ccnv 4496   dom cdm 4497   "cima 4500   -->wf 5075   -onto->wfo 5077   -1-1-onto->wf1o 5078   ` cfv 5079  (class class class)co 5726    e. cmpo 5728  freccfrec 6238    ^pm cpm 6494   0cc0 7540   1c1 7541    + caddc 7543    - cmin 7849   NNcn 8623   NN0cn0 8874   ZZcz 8951   ZZ>=cuz 9221    seqcseq 10104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-addass 7640  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-ltadd 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222
This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  11755  ennnfonelem0  11756  ennnfonelemp1  11757  ennnfonelemom  11759
  Copyright terms: Public domain W3C validator