Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemnn0 Unicode version

Theorem ennnfonelemnn0 12007
 Description: Lemma for ennnfone 12010. A version of ennnfonelemen 12006 expressed in terms of instead of . (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemr.dceq DECID
ennnfonelemr.f
ennnfonelemr.n
ennnfonelemnn0.n frec
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemnn0
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem ennnfonelemnn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemr.dceq . 2 DECID
2 ennnfonelemr.f . . 3
3 ennnfonelemnn0.n . . . . . 6 frec
43frechashgf1o 10261 . . . . 5
5 f1ofo 5386 . . . . 5
64, 5ax-mp 5 . . . 4
76a1i 9 . . 3
8 foco 5367 . . 3
92, 7, 8syl2anc 409 . 2
10 oveq2 5794 . . . . . . 7
1110raleqdv 2637 . . . . . 6
1211rexbidv 2441 . . . . 5
13 ennnfonelemr.n . . . . . 6
1413adantr 274 . . . . 5
15 f1of 5379 . . . . . . . 8
164, 15ax-mp 5 . . . . . . 7
1716a1i 9 . . . . . 6
18 simpr 109 . . . . . 6
1917, 18ffvelrnd 5568 . . . . 5
2012, 14, 19rspcdva 2800 . . . 4
21 f1ocnv 5392 . . . . . . . 8
22 f1of 5379 . . . . . . . 8
234, 21, 22mp2b 8 . . . . . . 7
2423a1i 9 . . . . . 6
25 simprl 521 . . . . . 6
2624, 25ffvelrnd 5568 . . . . 5
27 fveq2 5433 . . . . . . . . 9
2827neeq2d 2329 . . . . . . . 8
29 simplrr 526 . . . . . . . 8
30 simpr 109 . . . . . . . . . . 11
3118ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12
32 peano2 4520 . . . . . . . . . . . 12
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . 11
34 elnn 4531 . . . . . . . . . . 11
3530, 33, 34syl2anc 409 . . . . . . . . . 10
3616ffvelrni 5566 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl 14 . . . . . . . . 9
38 0zd 9119 . . . . . . . . . . . . 13
3938, 3, 35, 33frec2uzltd 10236 . . . . . . . . . . . 12
4030, 39mpd 13 . . . . . . . . . . 11
4138, 3, 31frec2uzsucd 10234 . . . . . . . . . . 11
4240, 41breqtrd 3964 . . . . . . . . . 10
4319ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11
44 nn0leltp1 9170 . . . . . . . . . . 11
4537, 43, 44syl2anc 409 . . . . . . . . . 10
4642, 45mpbird 166 . . . . . . . . 9
47 fznn0 9953 . . . . . . . . . 10
4843, 47syl 14 . . . . . . . . 9
4937, 46, 48mpbir2and 929 . . . . . . . 8
5028, 29, 49rspcdva 2800 . . . . . . 7
5126adantr 274 . . . . . . . . 9
52 fvco3 5504 . . . . . . . . 9
5316, 51, 52sylancr 411 . . . . . . . 8
5425adantr 274 . . . . . . . . . 10
55 f1ocnvfv2 5691 . . . . . . . . . 10
564, 54, 55sylancr 411 . . . . . . . . 9
5756fveq2d 5437 . . . . . . . 8
5853, 57eqtrd 2174 . . . . . . 7
59 fvco3 5504 . . . . . . . 8
6016, 35, 59sylancr 411 . . . . . . 7
6150, 58, 603netr4d 2343 . . . . . 6
6261ralrimiva 2510 . . . . 5
63 fveq2 5433 . . . . . . . 8
6463neeq1d 2328 . . . . . . 7
6564ralbidv 2440 . . . . . 6
6665rspcev 2795 . . . . 5
6726, 62, 66syl2anc 409 . . . 4
6820, 67rexlimddv 2559 . . 3
6968ralrimiva 2510 . 2
70 id 19 . . . 4
71 dmeq 4751 . . . . . . 7
7271opeq1d 3721 . . . . . 6
7372sneqd 3547 . . . . 5
7470, 73uneq12d 3238 . . . 4
7570, 74ifeq12d 3498 . . 3
76 fveq2 5433 . . . . 5
77 imaeq2 4889 . . . . 5
7876, 77eleq12d 2212 . . . 4
7976opeq2d 3722 . . . . . 6
8079sneqd 3547 . . . . 5
8180uneq2d 3237 . . . 4
8278, 81ifbieq2d 3503 . . 3
8375, 82cbvmpov 5863 . 2
84 eqeq1 2148 . . . 4
85 fvoveq1 5809 . . . 4
8684, 85ifbieq2d 3503 . . 3
8786cbvmptv 4034 . 2
88 eqid 2141 . 2
89 fveq2 5433 . . 3
9089cbviunv 3862 . 2
911, 9, 69, 83, 3, 87, 88, 90ennnfonelemen 12006 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104  DECID wdc 820   wceq 1332   wcel 2112   wne 2310  wral 2418  wrex 2419   cun 3076  c0 3370  cif 3481  csn 3534  cop 3537  ciun 3823   class class class wbr 3939   cmpt 3999   csuc 4298  com 4515  ccnv 4550   cdm 4551  cima 4554   ccom 4555  wf 5131  wfo 5133  wf1o 5134  cfv 5135  (class class class)co 5786   cmpo 5788  freccfrec 6299   cpm 6555   cen 6644  cc0 7673  c1 7674   caddc 7676   clt 7853   cle 7854   cmin 7986  cn 8773  cn0 9030  cz 9107  cfz 9850   cseq 10278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-addcom 7773  ax-addass 7775  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-ltadd 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-er 6441  df-pm 6557  df-en 6647  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-inn 8774  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-fz 9851  df-seqfrec 10279 This theorem is referenced by:  ennnfonelemr  12008
 Copyright terms: Public domain W3C validator