Theorem ennnfonelemnn0 12908

Description: Lemma for ennnfone 12911. A version of ennnfonelemen 12907 expressed in terms of NN0 instead of om. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemr.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemr.f	|- ( ph -> F : NN0 -onto-> A )
ennnfonelemr.n	|- ( ph -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemnn0.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemnn0	|- ( ph -> A ~~ NN )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   j, F, k, n   x, N, y   j, N, k, n   ph, k   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( j, n)   A( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemnn0

Dummy variables a b c i r p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemr.dceq	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : NN0 -onto-> A )
3		ennnfonelemnn0.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
4	3	frechashgf1o 10610	. . . . 5 |- N : om -1-1-onto-> NN0
5		f1ofo 5551	. . . . 5 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om -onto-> NN0 )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- N : om -onto-> NN0
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> N : om -onto-> NN0 )
8		foco 5531	. . 3 |- ( ( F : NN0 -onto-> A /\ N : om -onto-> NN0 ) -> ( F o. N ) : om -onto-> A )
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F o. N ) : om -onto-> A )
10		oveq2 5975	. . . . . . 7 |- ( n = ( N ` p ) -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... ( N ` p ) ) )
11	10	raleqdv 2711	. . . . . 6 |- ( n = ( N ` p ) -> ( A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) )
12	11	rexbidv 2509	. . . . 5 |- ( n = ( N ` p ) -> ( E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) )
13		ennnfonelemr.n	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
15		f1of 5544	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
16	4, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- N : om --> NN0
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> N : om --> NN0 )
18		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> p e. om )
19	17, 18	ffvelcdmd 5739	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> ( N ` p ) e. NN0 )
20	12, 14, 19	rspcdva 2889	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
21		f1ocnv 5557	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
22		f1of 5544	. . . . . . . 8 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
23	4, 21, 22	mp2b 8	. . . . . . 7 |- `' N : NN0 --> om
24	23	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> `' N : NN0 --> om )
25		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> k e. NN0 )
26	24, 25	ffvelcdmd 5739	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( `' N ` k ) e. om )
27		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( N ` r ) -> ( F ` j ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
28	27	neeq2d 2397	. . . . . . . 8 |- ( j = ( N ` r ) -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` ( N ` r ) ) ) )
29		simplrr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> r e. suc p )
31	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> p e. om )
32		peano2 4661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. om -> suc p e. om )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> suc p e. om )
34		elnn 4672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. suc p /\ suc p e. om ) -> r e. om )
35	30, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> r e. om )
36	16	ffvelcdmi 5737	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. om -> ( N ` r ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) e. NN0 )
38		0zd 9419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> 0 e. ZZ )
39	38, 3, 35, 33	frec2uzltd 10585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( r e. suc p -> ( N ` r ) < ( N ` suc p ) ) )
40	30, 39	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) < ( N ` suc p ) )
41	38, 3, 31	frec2uzsucd 10583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` suc p ) = ( ( N ` p ) + 1 ) )
42	40, 41	breqtrd 4085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) )
43	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` p ) e. NN0 )
44		nn0leltp1 9471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` p ) e. NN0 ) -> ( ( N ` r ) <_ ( N ` p ) <-> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) ) )
45	37, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( N ` r ) <_ ( N ` p ) <-> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) ) )
46	42, 45	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) <_ ( N ` p ) )
47		fznn0 10270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` p ) e. NN0 -> ( ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) <-> ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` r ) <_ ( N ` p ) ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) <-> ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` r ) <_ ( N ` p ) ) ) )
49	37, 46, 48	mpbir2and 947	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) )
50	28, 29, 49	rspcdva 2889	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( F ` k ) =/= ( F ` ( N ` r ) ) )
51	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( `' N ` k ) e. om )
52		fvco3 5673	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : om --> NN0 /\ ( `' N ` k ) e. om ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) )
53	16, 51, 52	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) )
54	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> k e. NN0 )
55		f1ocnvfv2 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
56	4, 54, 55	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
57	56	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
58	53, 57	eqtrd 2240	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` k ) )
59		fvco3 5673	. . . . . . . 8 |- ( ( N : om --> NN0 /\ r e. om ) -> ( ( F o. N ) ` r ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
60	16, 35, 59	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` r ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
61	50, 58, 60	3netr4d 2411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
62	61	ralrimiva 2581	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
63		fveq2 5599	. . . . . . . 8 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( ( F o. N ) ` q ) = ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) )
64	63	neeq1d 2396	. . . . . . 7 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) <-> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) )
65	64	ralbidv 2508	. . . . . 6 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) <-> A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) )
66	65	rspcev 2884	. . . . 5 |- ( ( ( `' N ` k ) e. om /\ A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
67	26, 62, 66	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
68	20, 67	rexlimddv 2630	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
69	68	ralrimiva 2581	. 2 |- ( ph -> A. p e. om E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
70		id 19	. . . 4 |- ( a = x -> a = x )
71		dmeq 4897	. . . . . . 7 |- ( a = x -> dom a = dom x )
72	71	opeq1d 3839	. . . . . 6 |- ( a = x -> <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. = <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. )
73	72	sneqd 3656	. . . . 5 |- ( a = x -> { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } = { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } )
74	70, 73	uneq12d 3336	. . . 4 |- ( a = x -> ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) = ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) )
75	70, 74	ifeq12d 3599	. . 3 |- ( a = x -> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) = if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) )
76		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( F o. N ) ` b ) = ( ( F o. N ) ` y ) )
77		imaeq2 5037	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( F o. N ) " b ) = ( ( F o. N ) " y ) )
78	76, 77	eleq12d 2278	. . . 4 |- ( b = y -> ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) <-> ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) ) )
79	76	opeq2d 3840	. . . . . 6 |- ( b = y -> <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. = <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. )
80	79	sneqd 3656	. . . . 5 |- ( b = y -> { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } = { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } )
81	80	uneq2d 3335	. . . 4 |- ( b = y -> ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) = ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) )
82	78, 81	ifbieq2d 3604	. . 3 |- ( b = y -> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) = if ( ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) ) )
83	75, 82	cbvmpov 6048	. 2 |- ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) ) )
84		eqeq1 2214	. . . 4 |- ( a = x -> ( a = 0 <-> x = 0 ) )
85		fvoveq1 5990	. . . 4 |- ( a = x -> ( `' N ` ( a - 1 ) ) = ( `' N ` ( x - 1 ) ) )
86	84, 85	ifbieq2d 3604	. . 3 |- ( a = x -> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) = if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
87	86	cbvmptv 4156	. 2 |- ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
88		eqid 2207	. 2 |- seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) = seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) )
89		fveq2 5599	. . 3 |- ( i = c -> ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` i ) = ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` c ) )
90	89	cbviunv 3980	. 2 |- U_ i e. NN0 ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` i ) = U_ c e. NN0 ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` c )
91	1, 9, 69, 83, 3, 87, 88, 90	ennnfonelemen 12907	1 |- ( ph -> A ~~ NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   A.wral 2486   E.wrex 2487   u. cun 3172   (/)c0 3468   ifcif 3579   {csn 3643   <.cop 3646   U_ciun 3941   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   suc csuc 4430   omcom 4656   `'ccnv 4692   dom cdm 4693   "cima 4696   o. ccom 4697   -->wf 5286   -onto->wfo 5288   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  freccfrec 6499   ^pm cpm 6759   ~~ cen 6848   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ...cfz 10165   seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-er 6643  df-pm 6761  df-en 6851  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by:  ennnfonelemr  12909