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Theorem ennnfonelemnn0 12393
Description: Lemma for ennnfone 12396. A version of ennnfonelemen 12392 expressed in terms of  NN0 instead of  om. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemr.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemr.f  |-  ( ph  ->  F : NN0 -onto-> A
)
ennnfonelemr.n  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n
) ( F `  k )  =/=  ( F `  j )
)
ennnfonelemnn0.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemnn0  |-  ( ph  ->  A  ~~  NN )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, F, y    j, F, k, n    x, N, y    j, N, k, n    ph, k    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( j, n)    A( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemnn0
Dummy variables  a  b  c  i  r  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemr.dceq . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
2 ennnfonelemr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN0 -onto-> A
)
3 ennnfonelemnn0.n . . . . . 6  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
43frechashgf1o 10401 . . . . 5  |-  N : om
-1-1-onto-> NN0
5 f1ofo 5463 . . . . 5  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  N : om -onto-> NN0 )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  N : om -onto-> NN0
76a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  N : om -onto-> NN0 )
8 foco 5443 . . 3  |-  ( ( F : NN0 -onto-> A  /\  N : om -onto-> NN0 )  ->  ( F  o.  N ) : om -onto-> A )
92, 7, 8syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  N
) : om -onto-> A
)
10 oveq2 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N `  p )  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... ( N `  p )
) )
1110raleqdv 2678 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N `  p )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... n ) ( F `  k )  =/=  ( F `  j )  <->  A. j  e.  ( 0 ... ( N `  p )
) ( F `  k )  =/=  ( F `  j )
) )
1211rexbidv 2478 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N `  p )  ->  ( E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( F `  k )  =/=  ( F `  j )  <->  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... ( N `  p )
) ( F `  k )  =/=  ( F `  j )
) )
13 ennnfonelemr.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... n
) ( F `  k )  =/=  ( F `  j )
)
1413adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  om )  ->  A. n  e.  NN0  E. k  e. 
NN0  A. j  e.  ( 0 ... n ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) )
15 f1of 5456 . . . . . . . 8  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  N : om
--> NN0 )
164, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  N : om
--> NN0
1716a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  om )  ->  N : om
--> NN0 )
18 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  om )  ->  p  e.  om )
1917, 18ffvelcdmd 5647 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  om )  ->  ( N `  p )  e.  NN0 )
2012, 14, 19rspcdva 2846 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  om )  ->  E. k  e.  NN0  A. j  e.  ( 0 ... ( N `  p )
) ( F `  k )  =/=  ( F `  j )
)
21 f1ocnv 5469 . . . . . . . 8  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' N : NN0
-1-1-onto-> om )
22 f1of 5456 . . . . . . . 8  |-  ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' N : NN0 --> om )
234, 21, 22mp2b 8 . . . . . . 7  |-  `' N : NN0 --> om
2423a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  (
k  e.  NN0  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( N `  p ) ) ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) ) )  ->  `' N : NN0
--> om )
25 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  (
k  e.  NN0  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( N `  p ) ) ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
2624, 25ffvelcdmd 5647 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  (
k  e.  NN0  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( N `  p ) ) ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) ) )  ->  ( `' N `  k )  e.  om )
27 fveq2 5510 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( N `  r )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( N `  r ) ) )
2827neeq2d 2366 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( N `  r )  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 j )  <->  ( F `  k )  =/=  ( F `  ( N `  r ) ) ) )
29 simplrr 536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  ->  A. j  e.  (
0 ... ( N `  p ) ) ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
30 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
r  e.  suc  p
)
3118ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  ->  p  e.  om )
32 peano2 4590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  om  ->  suc  p  e.  om )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  ->  suc  p  e.  om )
34 elnn 4601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  suc  p  /\  suc  p  e.  om )  ->  r  e.  om )
3530, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
r  e.  om )
3616ffvelcdmi 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  om  ->  ( N `  r )  e.  NN0 )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( N `  r
)  e.  NN0 )
38 0zd 9241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
0  e.  ZZ )
3938, 3, 35, 33frec2uzltd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( r  e.  suc  p  ->  ( N `  r )  <  ( N `  suc  p ) ) )
4030, 39mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( N `  r
)  <  ( N `  suc  p ) )
4138, 3, 31frec2uzsucd 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( N `  suc  p )  =  ( ( N `  p
)  +  1 ) )
4240, 41breqtrd 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( N `  r
)  <  ( ( N `  p )  +  1 ) )
4319ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( N `  p
)  e.  NN0 )
44 nn0leltp1 9292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  r
)  e.  NN0  /\  ( N `  p )  e.  NN0 )  -> 
( ( N `  r )  <_  ( N `  p )  <->  ( N `  r )  <  ( ( N `
 p )  +  1 ) ) )
4537, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( ( N `  r )  <_  ( N `  p )  <->  ( N `  r )  <  ( ( N `
 p )  +  1 ) ) )
4642, 45mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( N `  r
)  <_  ( N `  p ) )
47 fznn0 10086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  p )  e.  NN0  ->  ( ( N `  r )  e.  ( 0 ... ( N `  p
) )  <->  ( ( N `  r )  e.  NN0  /\  ( N `
 r )  <_ 
( N `  p
) ) ) )
4843, 47syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( ( N `  r )  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) )  <-> 
( ( N `  r )  e.  NN0  /\  ( N `  r
)  <_  ( N `  p ) ) ) )
4937, 46, 48mpbir2and 944 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( N `  r
)  e.  ( 0 ... ( N `  p ) ) )
5028, 29, 49rspcdva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( F `  k
)  =/=  ( F `
 ( N `  r ) ) )
5126adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( `' N `  k )  e.  om )
52 fvco3 5582 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N : om --> NN0  /\  ( `' N `  k )  e.  om )  -> 
( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) )  =  ( F `
 ( N `  ( `' N `  k ) ) ) )
5316, 51, 52sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) )  =  ( F `
 ( N `  ( `' N `  k ) ) ) )
5425adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
k  e.  NN0 )
55 f1ocnvfv2 5772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N : om -1-1-onto-> NN0  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( N `  ( `' N `  k )
)  =  k )
564, 54, 55sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( N `  ( `' N `  k ) )  =  k )
5756fveq2d 5514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( F `  ( N `  ( `' N `  k )
) )  =  ( F `  k ) )
5853, 57eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) )  =  ( F `
 k ) )
59 fvco3 5582 . . . . . . . 8  |-  ( ( N : om --> NN0  /\  r  e.  om )  ->  ( ( F  o.  N ) `  r
)  =  ( F `
 ( N `  r ) ) )
6016, 35, 59sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( ( F  o.  N ) `  r
)  =  ( F `
 ( N `  r ) ) )
6150, 58, 603netr4d 2380 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  ( k  e.  NN0  /\ 
A. j  e.  ( 0 ... ( N `
 p ) ) ( F `  k
)  =/=  ( F `
 j ) ) )  /\  r  e. 
suc  p )  -> 
( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) )  =/=  ( ( F  o.  N ) `
 r ) )
6261ralrimiva 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  (
k  e.  NN0  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( N `  p ) ) ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) ) )  ->  A. r  e.  suc  p ( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) )  =/=  ( ( F  o.  N ) `
 r ) )
63 fveq2 5510 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( `' N `  k )  ->  (
( F  o.  N
) `  q )  =  ( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) ) )
6463neeq1d 2365 . . . . . . 7  |-  ( q  =  ( `' N `  k )  ->  (
( ( F  o.  N ) `  q
)  =/=  ( ( F  o.  N ) `
 r )  <->  ( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) )  =/=  ( ( F  o.  N ) `  r
) ) )
6564ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( `' N `  k )  ->  ( A. r  e.  suc  p ( ( F  o.  N ) `  q )  =/=  (
( F  o.  N
) `  r )  <->  A. r  e.  suc  p
( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) )  =/=  ( ( F  o.  N ) `
 r ) ) )
6665rspcev 2841 . . . . 5  |-  ( ( ( `' N `  k )  e.  om  /\ 
A. r  e.  suc  p ( ( F  o.  N ) `  ( `' N `  k ) )  =/=  ( ( F  o.  N ) `
 r ) )  ->  E. q  e.  om  A. r  e.  suc  p
( ( F  o.  N ) `  q
)  =/=  ( ( F  o.  N ) `
 r ) )
6726, 62, 66syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  om )  /\  (
k  e.  NN0  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( N `  p ) ) ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) ) )  ->  E. q  e.  om  A. r  e.  suc  p
( ( F  o.  N ) `  q
)  =/=  ( ( F  o.  N ) `
 r ) )
6820, 67rexlimddv 2599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  om )  ->  E. q  e.  om  A. r  e. 
suc  p ( ( F  o.  N ) `
 q )  =/=  ( ( F  o.  N ) `  r
) )
6968ralrimiva 2550 . 2  |-  ( ph  ->  A. p  e.  om  E. q  e.  om  A. r  e.  suc  p ( ( F  o.  N
) `  q )  =/=  ( ( F  o.  N ) `  r
) )
70 id 19 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  a  =  x )
71 dmeq 4822 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  dom  a  =  dom  x )
7271opeq1d 3782 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `  b ) >.  =  <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >.
)
7372sneqd 3604 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. }  =  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `  b ) >. } )
7470, 73uneq12d 3290 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } )  =  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } ) )
7570, 74ifeq12d 3553 . . 3  |-  ( a  =  x  ->  if ( ( ( F  o.  N ) `  b )  e.  ( ( F  o.  N
) " b ) ,  a ,  ( a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } ) )  =  if ( ( ( F  o.  N ) `
 b )  e.  ( ( F  o.  N ) " b
) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N
) `  b ) >. } ) ) )
76 fveq2 5510 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( F  o.  N
) `  b )  =  ( ( F  o.  N ) `  y ) )
77 imaeq2 4961 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( F  o.  N
) " b )  =  ( ( F  o.  N ) "
y ) )
7876, 77eleq12d 2248 . . . 4  |-  ( b  =  y  ->  (
( ( F  o.  N ) `  b
)  e.  ( ( F  o.  N )
" b )  <->  ( ( F  o.  N ) `  y )  e.  ( ( F  o.  N
) " y ) ) )
7976opeq2d 3783 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `  b ) >.  =  <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `
 y ) >.
)
8079sneqd 3604 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. }  =  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `  y ) >. } )
8180uneq2d 3289 . . . 4  |-  ( b  =  y  ->  (
x  u.  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } )  =  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `
 y ) >. } ) )
8278, 81ifbieq2d 3558 . . 3  |-  ( b  =  y  ->  if ( ( ( F  o.  N ) `  b )  e.  ( ( F  o.  N
) " b ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } ) )  =  if ( ( ( F  o.  N ) `
 y )  e.  ( ( F  o.  N ) " y
) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N
) `  y ) >. } ) ) )
8375, 82cbvmpov 5948 . 2  |-  ( a  e.  ( A  ^pm  om ) ,  b  e. 
om  |->  if ( ( ( F  o.  N
) `  b )  e.  ( ( F  o.  N ) " b
) ,  a ,  ( a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N
) `  b ) >. } ) ) )  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( ( F  o.  N ) `  y )  e.  ( ( F  o.  N
) " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( ( F  o.  N ) `
 y ) >. } ) ) )
84 eqeq1 2184 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
a  =  0  <->  x  =  0 ) )
85 fvoveq1 5891 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( `' N `  ( a  -  1 ) )  =  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) )
8684, 85ifbieq2d 3558 . . 3  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( a  -  1 ) ) )  =  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
8786cbvmptv 4096 . 2  |-  ( a  e.  NN0  |->  if ( a  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( a  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1
) ) ) )
88 eqid 2177 . 2  |-  seq 0
( ( a  e.  ( A  ^pm  om ) ,  b  e.  om  |->  if ( ( ( F  o.  N ) `  b )  e.  ( ( F  o.  N
) " b ) ,  a ,  ( a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } ) ) ) ,  ( a  e. 
NN0  |->  if ( a  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( a  -  1 ) ) ) ) )  =  seq 0
( ( a  e.  ( A  ^pm  om ) ,  b  e.  om  |->  if ( ( ( F  o.  N ) `  b )  e.  ( ( F  o.  N
) " b ) ,  a ,  ( a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } ) ) ) ,  ( a  e. 
NN0  |->  if ( a  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( a  -  1 ) ) ) ) )
89 fveq2 5510 . . 3  |-  ( i  =  c  ->  (  seq 0 ( ( a  e.  ( A  ^pm  om ) ,  b  e. 
om  |->  if ( ( ( F  o.  N
) `  b )  e.  ( ( F  o.  N ) " b
) ,  a ,  ( a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N
) `  b ) >. } ) ) ) ,  ( a  e. 
NN0  |->  if ( a  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( a  -  1 ) ) ) ) ) `  i )  =  (  seq 0
( ( a  e.  ( A  ^pm  om ) ,  b  e.  om  |->  if ( ( ( F  o.  N ) `  b )  e.  ( ( F  o.  N
) " b ) ,  a ,  ( a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } ) ) ) ,  ( a  e. 
NN0  |->  if ( a  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( a  -  1 ) ) ) ) ) `  c ) )
9089cbviunv 3923 . 2  |-  U_ i  e.  NN0  (  seq 0
( ( a  e.  ( A  ^pm  om ) ,  b  e.  om  |->  if ( ( ( F  o.  N ) `  b )  e.  ( ( F  o.  N
) " b ) ,  a ,  ( a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } ) ) ) ,  ( a  e. 
NN0  |->  if ( a  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( a  -  1 ) ) ) ) ) `  i )  =  U_ c  e. 
NN0  (  seq 0
( ( a  e.  ( A  ^pm  om ) ,  b  e.  om  |->  if ( ( ( F  o.  N ) `  b )  e.  ( ( F  o.  N
) " b ) ,  a ,  ( a  u.  { <. dom  a ,  ( ( F  o.  N ) `
 b ) >. } ) ) ) ,  ( a  e. 
NN0  |->  if ( a  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( a  -  1 ) ) ) ) ) `  c )
911, 9, 69, 83, 3, 87, 88, 90ennnfonelemen 12392 1  |-  ( ph  ->  A  ~~  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456    u. cun 3127   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3591   <.cop 3594   U_ciun 3884   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   suc csuc 4361   omcom 4585   `'ccnv 4621   dom cdm 4622   "cima 4625    o. ccom 4626   -->wf 5207   -onto->wfo 5209   -1-1-onto->wf1o 5210   ` cfv 5211  (class class class)co 5868    e. cmpo 5870  freccfrec 6384    ^pm cpm 6642    ~~ cen 6731   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792    < clt 7969    <_ cle 7970    - cmin 8105   NNcn 8895   NN0cn0 9152   ZZcz 9229   ...cfz 9982    seqcseq 10418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-er 6528  df-pm 6644  df-en 6734  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-seqfrec 10419
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