Theorem ennnfonelemnn0 12582

Description: Lemma for ennnfone 12585. A version of ennnfonelemen 12581 expressed in terms of NN0 instead of om. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemr.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemr.f	|- ( ph -> F : NN0 -onto-> A )
ennnfonelemr.n	|- ( ph -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemnn0.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemnn0	|- ( ph -> A ~~ NN )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   j, F, k, n   x, N, y   j, N, k, n   ph, k   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( j, n)   A( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemnn0

Dummy variables a b c i r p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemr.dceq	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : NN0 -onto-> A )
3		ennnfonelemnn0.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
4	3	frechashgf1o 10502	. . . . 5 |- N : om -1-1-onto-> NN0
5		f1ofo 5508	. . . . 5 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om -onto-> NN0 )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- N : om -onto-> NN0
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> N : om -onto-> NN0 )
8		foco 5488	. . 3 |- ( ( F : NN0 -onto-> A /\ N : om -onto-> NN0 ) -> ( F o. N ) : om -onto-> A )
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F o. N ) : om -onto-> A )
10		oveq2 5927	. . . . . . 7 |- ( n = ( N ` p ) -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... ( N ` p ) ) )
11	10	raleqdv 2696	. . . . . 6 |- ( n = ( N ` p ) -> ( A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) )
12	11	rexbidv 2495	. . . . 5 |- ( n = ( N ` p ) -> ( E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) )
13		ennnfonelemr.n	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
15		f1of 5501	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
16	4, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- N : om --> NN0
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> N : om --> NN0 )
18		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> p e. om )
19	17, 18	ffvelcdmd 5695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> ( N ` p ) e. NN0 )
20	12, 14, 19	rspcdva 2870	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
21		f1ocnv 5514	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
22		f1of 5501	. . . . . . . 8 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
23	4, 21, 22	mp2b 8	. . . . . . 7 |- `' N : NN0 --> om
24	23	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> `' N : NN0 --> om )
25		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> k e. NN0 )
26	24, 25	ffvelcdmd 5695	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( `' N ` k ) e. om )
27		fveq2 5555	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( N ` r ) -> ( F ` j ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
28	27	neeq2d 2383	. . . . . . . 8 |- ( j = ( N ` r ) -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` ( N ` r ) ) ) )
29		simplrr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> r e. suc p )
31	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> p e. om )
32		peano2 4628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. om -> suc p e. om )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> suc p e. om )
34		elnn 4639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. suc p /\ suc p e. om ) -> r e. om )
35	30, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> r e. om )
36	16	ffvelcdmi 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. om -> ( N ` r ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) e. NN0 )
38		0zd 9332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> 0 e. ZZ )
39	38, 3, 35, 33	frec2uzltd 10477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( r e. suc p -> ( N ` r ) < ( N ` suc p ) ) )
40	30, 39	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) < ( N ` suc p ) )
41	38, 3, 31	frec2uzsucd 10475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` suc p ) = ( ( N ` p ) + 1 ) )
42	40, 41	breqtrd 4056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) )
43	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` p ) e. NN0 )
44		nn0leltp1 9383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` p ) e. NN0 ) -> ( ( N ` r ) <_ ( N ` p ) <-> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) ) )
45	37, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( N ` r ) <_ ( N ` p ) <-> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) ) )
46	42, 45	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) <_ ( N ` p ) )
47		fznn0 10182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` p ) e. NN0 -> ( ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) <-> ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` r ) <_ ( N ` p ) ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) <-> ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` r ) <_ ( N ` p ) ) ) )
49	37, 46, 48	mpbir2and 946	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) )
50	28, 29, 49	rspcdva 2870	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( F ` k ) =/= ( F ` ( N ` r ) ) )
51	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( `' N ` k ) e. om )
52		fvco3 5629	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : om --> NN0 /\ ( `' N ` k ) e. om ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) )
53	16, 51, 52	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) )
54	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> k e. NN0 )
55		f1ocnvfv2 5822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
56	4, 54, 55	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
57	56	fveq2d 5559	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
58	53, 57	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` k ) )
59		fvco3 5629	. . . . . . . 8 |- ( ( N : om --> NN0 /\ r e. om ) -> ( ( F o. N ) ` r ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
60	16, 35, 59	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` r ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
61	50, 58, 60	3netr4d 2397	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
62	61	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
63		fveq2 5555	. . . . . . . 8 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( ( F o. N ) ` q ) = ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) )
64	63	neeq1d 2382	. . . . . . 7 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) <-> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) )
65	64	ralbidv 2494	. . . . . 6 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) <-> A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) )
66	65	rspcev 2865	. . . . 5 |- ( ( ( `' N ` k ) e. om /\ A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
67	26, 62, 66	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
68	20, 67	rexlimddv 2616	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
69	68	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ph -> A. p e. om E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
70		id 19	. . . 4 |- ( a = x -> a = x )
71		dmeq 4863	. . . . . . 7 |- ( a = x -> dom a = dom x )
72	71	opeq1d 3811	. . . . . 6 |- ( a = x -> <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. = <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. )
73	72	sneqd 3632	. . . . 5 |- ( a = x -> { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } = { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } )
74	70, 73	uneq12d 3315	. . . 4 |- ( a = x -> ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) = ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) )
75	70, 74	ifeq12d 3577	. . 3 |- ( a = x -> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) = if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) )
76		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( F o. N ) ` b ) = ( ( F o. N ) ` y ) )
77		imaeq2 5002	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( F o. N ) " b ) = ( ( F o. N ) " y ) )
78	76, 77	eleq12d 2264	. . . 4 |- ( b = y -> ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) <-> ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) ) )
79	76	opeq2d 3812	. . . . . 6 |- ( b = y -> <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. = <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. )
80	79	sneqd 3632	. . . . 5 |- ( b = y -> { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } = { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } )
81	80	uneq2d 3314	. . . 4 |- ( b = y -> ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) = ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) )
82	78, 81	ifbieq2d 3582	. . 3 |- ( b = y -> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) = if ( ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) ) )
83	75, 82	cbvmpov 5999	. 2 |- ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) ) )
84		eqeq1 2200	. . . 4 |- ( a = x -> ( a = 0 <-> x = 0 ) )
85		fvoveq1 5942	. . . 4 |- ( a = x -> ( `' N ` ( a - 1 ) ) = ( `' N ` ( x - 1 ) ) )
86	84, 85	ifbieq2d 3582	. . 3 |- ( a = x -> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) = if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
87	86	cbvmptv 4126	. 2 |- ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
88		eqid 2193	. 2 |- seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) = seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) )
89		fveq2 5555	. . 3 |- ( i = c -> ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` i ) = ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` c ) )
90	89	cbviunv 3952	. 2 |- U_ i e. NN0 ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` i ) = U_ c e. NN0 ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` c )
91	1, 9, 69, 83, 3, 87, 88, 90	ennnfonelemen 12581	1 |- ( ph -> A ~~ NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   u. cun 3152   (/)c0 3447   ifcif 3558   {csn 3619   <.cop 3622   U_ciun 3913   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   suc csuc 4397   omcom 4623   `'ccnv 4659   dom cdm 4660   "cima 4663   o. ccom 4664   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921  freccfrec 6445   ^pm cpm 6705   ~~ cen 6794   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ...cfz 10077   seqcseq 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-er 6589  df-pm 6707  df-en 6797  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-seqfrec 10522

This theorem is referenced by:  ennnfonelemr  12583