Theorem ennnfonelemnn0 13257

Description: Lemma for ennnfone 13260. A version of ennnfonelemen 13256 expressed in terms of NN0 instead of om. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemr.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemr.f	|- ( ph -> F : NN0 -onto-> A )
ennnfonelemr.n	|- ( ph -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemnn0.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemnn0	|- ( ph -> A ~~ NN )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   j, F, k, n   x, N, y   j, N, k, n   ph, k   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( j, n)   A( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemnn0

Dummy variables a b c i r p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemr.dceq	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemr.f	. . 3 |- ( ph -> F : NN0 -onto-> A )
3		ennnfonelemnn0.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
4	3	frechashgf1o 10814	. . . . 5 |- N : om -1-1-onto-> NN0
5		f1ofo 5626	. . . . 5 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om -onto-> NN0 )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- N : om -onto-> NN0
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> N : om -onto-> NN0 )
8		foco 5606	. . 3 |- ( ( F : NN0 -onto-> A /\ N : om -onto-> NN0 ) -> ( F o. N ) : om -onto-> A )
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F o. N ) : om -onto-> A )
10		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( n = ( N ` p ) -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... ( N ` p ) ) )
11	10	raleqdv 2749	. . . . . 6 |- ( n = ( N ` p ) -> ( A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) )
12	11	rexbidv 2545	. . . . 5 |- ( n = ( N ` p ) -> ( E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) )
13		ennnfonelemr.n	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> A. n e. NN0 E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... n ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
15		f1of 5619	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
16	4, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- N : om --> NN0
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> N : om --> NN0 )
18		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> p e. om )
19	17, 18	ffvelcdmd 5818	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> ( N ` p ) e. NN0 )
20	12, 14, 19	rspcdva 2928	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> E. k e. NN0 A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
21		f1ocnv 5632	. . . . . . . 8 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
22		f1of 5619	. . . . . . . 8 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
23	4, 21, 22	mp2b 8	. . . . . . 7 |- `' N : NN0 --> om
24	23	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> `' N : NN0 --> om )
25		simprl 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> k e. NN0 )
26	24, 25	ffvelcdmd 5818	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( `' N ` k ) e. om )
27		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( N ` r ) -> ( F ` j ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
28	27	neeq2d 2433	. . . . . . . 8 |- ( j = ( N ` r ) -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` ( N ` r ) ) ) )
29		simplrr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> r e. suc p )
31	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> p e. om )
32		peano2 4722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. om -> suc p e. om )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> suc p e. om )
34		elnn 4733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. suc p /\ suc p e. om ) -> r e. om )
35	30, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> r e. om )
36	16	ffvelcdmi 5816	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. om -> ( N ` r ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) e. NN0 )
38		0zd 9606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> 0 e. ZZ )
39	38, 3, 35, 33	frec2uzltd 10789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( r e. suc p -> ( N ` r ) < ( N ` suc p ) ) )
40	30, 39	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) < ( N ` suc p ) )
41	38, 3, 31	frec2uzsucd 10787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` suc p ) = ( ( N ` p ) + 1 ) )
42	40, 41	breqtrd 4140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) )
43	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` p ) e. NN0 )
44		nn0leltp1 9658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` p ) e. NN0 ) -> ( ( N ` r ) <_ ( N ` p ) <-> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) ) )
45	37, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( N ` r ) <_ ( N ` p ) <-> ( N ` r ) < ( ( N ` p ) + 1 ) ) )
46	42, 45	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) <_ ( N ` p ) )
47		fznn0 10469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` p ) e. NN0 -> ( ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) <-> ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` r ) <_ ( N ` p ) ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) <-> ( ( N ` r ) e. NN0 /\ ( N ` r ) <_ ( N ` p ) ) ) )
49	37, 46, 48	mpbir2and 953	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` r ) e. ( 0 ... ( N ` p ) ) )
50	28, 29, 49	rspcdva 2928	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( F ` k ) =/= ( F ` ( N ` r ) ) )
51	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( `' N ` k ) e. om )
52		fvco3 5753	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : om --> NN0 /\ ( `' N ` k ) e. om ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) )
53	16, 51, 52	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) )
54	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> k e. NN0 )
55		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
56	4, 54, 55	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
57	56	fveq2d 5679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( F ` ( N ` ( `' N ` k ) ) ) = ( F ` k ) )
58	53, 57	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) = ( F ` k ) )
59		fvco3 5753	. . . . . . . 8 |- ( ( N : om --> NN0 /\ r e. om ) -> ( ( F o. N ) ` r ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
60	16, 35, 59	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` r ) = ( F ` ( N ` r ) ) )
61	50, 58, 60	3netr4d 2447	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ r e. suc p ) -> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
62	61	ralrimiva 2617	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
63		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( ( F o. N ) ` q ) = ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) )
64	63	neeq1d 2432	. . . . . . 7 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) <-> ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) )
65	64	ralbidv 2544	. . . . . 6 |- ( q = ( `' N ` k ) -> ( A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) <-> A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) )
66	65	rspcev 2923	. . . . 5 |- ( ( ( `' N ` k ) e. om /\ A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` ( `' N ` k ) ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
67	26, 62, 66	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ p e. om ) /\ ( k e. NN0 /\ A. j e. ( 0 ... ( N ` p ) ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
68	20, 67	rexlimddv 2667	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. om ) -> E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
69	68	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. p e. om E. q e. om A. r e. suc p ( ( F o. N ) ` q ) =/= ( ( F o. N ) ` r ) )
70		id 19	. . . 4 |- ( a = x -> a = x )
71		dmeq 4961	. . . . . . 7 |- ( a = x -> dom a = dom x )
72	71	opeq1d 3894	. . . . . 6 |- ( a = x -> <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. = <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. )
73	72	sneqd 3707	. . . . 5 |- ( a = x -> { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } = { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } )
74	70, 73	uneq12d 3378	. . . 4 |- ( a = x -> ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) = ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) )
75	70, 74	ifeq12d 3646	. . 3 |- ( a = x -> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) = if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) )
76		fveq2 5675	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( F o. N ) ` b ) = ( ( F o. N ) ` y ) )
77		imaeq2 5102	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( F o. N ) " b ) = ( ( F o. N ) " y ) )
78	76, 77	eleq12d 2305	. . . 4 |- ( b = y -> ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) <-> ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) ) )
79	76	opeq2d 3895	. . . . . 6 |- ( b = y -> <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. = <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. )
80	79	sneqd 3707	. . . . 5 |- ( b = y -> { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } = { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } )
81	80	uneq2d 3377	. . . 4 |- ( b = y -> ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) = ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) )
82	78, 81	ifbieq2d 3651	. . 3 |- ( b = y -> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) = if ( ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) ) )
83	75, 82	cbvmpov 6141	. 2 |- ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` y ) e. ( ( F o. N ) " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( ( F o. N ) ` y ) >. } ) ) )
84		eqeq1 2241	. . . 4 |- ( a = x -> ( a = 0 <-> x = 0 ) )
85		fvoveq1 6081	. . . 4 |- ( a = x -> ( `' N ` ( a - 1 ) ) = ( `' N ` ( x - 1 ) ) )
86	84, 85	ifbieq2d 3651	. . 3 |- ( a = x -> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) = if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
87	86	cbvmptv 4211	. 2 |- ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
88		eqid 2234	. 2 |- seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) = seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) )
89		fveq2 5675	. . 3 |- ( i = c -> ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` i ) = ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` c ) )
90	89	cbviunv 4035	. 2 |- U_ i e. NN0 ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` i ) = U_ c e. NN0 ( seq 0 ( ( a e. ( A ^pm om ) , b e. om |-> if ( ( ( F o. N ) ` b ) e. ( ( F o. N ) " b ) , a , ( a u. { <. dom a , ( ( F o. N ) ` b ) >. } ) ) ) , ( a e. NN0 |-> if ( a = 0 , (/) , ( `' N ` ( a - 1 ) ) ) ) ) ` c )
91	1, 9, 69, 83, 3, 87, 88, 90	ennnfonelemen 13256	1 |- ( ph -> A ~~ NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   u. cun 3212   (/)c0 3512   ifcif 3624   {csn 3694   <.cop 3697   U_ciun 3996   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   suc csuc 4491   omcom 4717   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   "cima 4757   o. ccom 4758   -->wf 5353   -onto->wfo 5355   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060  freccfrec 6634   ^pm cpm 6896   ~~ cen 6986   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ...cfz 10361   seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-er 6780  df-pm 6898  df-en 6989  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  ennnfonelemr  13258