Theorem seq3f1olemqsum 10435

Description: Lemma for seq3f1o 10439. Q gives the same sum as J. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
iseqf1olemnk	|- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
iseqf1olemqres.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqsumk.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemqsum	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, K, x   u, M, x   u, N   x, J   x, Q   ph, x, y, z   ph, u   x, .+ , y, z   x, S, y, z   f, M, y, z   f, N, x, y, z   y, K, z   f, G, x   f, J, y, z   x, P, y, z   Q, f, y, z

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( u, f)   .+ ( u, f)   Q( u)   S( u, f)   F( x, y, z, u, f)   G( y, z, u)   K( f)

Proof of Theorem seq3f1olemqsum

Dummy variables b a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
2		elfzel1 9959	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> M e. ZZ )
5		elfzelz 9960	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
7	6	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < K ) -> K e. ZZ )
8		peano2zm 9229	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
10		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < K ) -> M < K )
11		zltlem1 9248	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M < K <-> M <_ ( K - 1 ) ) )
12	4, 7, 11	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( M < K <-> M <_ ( K - 1 ) ) )
13	10, 12	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> M <_ ( K - 1 ) )
14		eluz2 9472	. . . . . 6 |- ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( K - 1 ) ) )
15	4, 9, 13, 14	syl3anbrc 1171	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
16	3	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
17		elfzel2 9958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
19	18	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
20		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> b e. ZZ )
21	20	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b e. ZZ )
22		elfzle1 9962	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> M <_ b )
23	22	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> M <_ b )
24	21	zred 9313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b e. RR )
25	6	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
26	25	zred 9313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. RR )
27	19	zred 9313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. RR )
28		peano2rem 8165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. RR -> ( K - 1 ) e. RR )
29	26, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. RR )
30		elfzle2 9963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> b <_ ( K - 1 ) )
31	30	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b <_ ( K - 1 ) )
32	26	lem1d 8828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) <_ K )
33	24, 29, 26, 31, 32	letrd 8022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b <_ K )
34		elfzle2 9963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
35	1, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K <_ N )
36	35	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K <_ N )
37	24, 26, 27, 33, 36	letrd 8022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b <_ N )
38		elfz4 9953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( M <_ b /\ b <_ N ) ) -> b e. ( M ... N ) )
39	16, 19, 21, 23, 37, 38	syl32anc 1236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b e. ( M ... N ) )
40		elfzel1 9959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> K e. ZZ )
41	40	zred 9313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> K e. RR )
42		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> b e. ZZ )
43	42	zred 9313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> b e. RR )
44		elfzle1 9962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> K <_ b )
45	41, 43, 44	lensymd 8020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> -. b < K )
46		zltlem1 9248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( b < K <-> b <_ ( K - 1 ) ) )
47	21, 25, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( b < K <-> b <_ ( K - 1 ) ) )
48	31, 47	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b < K )
49	45, 48	nsyl3 616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> -. b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
50	49	iffalsed 3530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) = ( J ` b ) )
51		iseqf1olemstep.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
52		f1of 5432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
54	53	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
55	54, 39	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` b ) e. ( M ... N ) )
56	50, 55	eqeltrd 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) e. ( M ... N ) )
57		eleq1w 2227	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = b -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
58		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = b -> ( u = K <-> b = K ) )
59		fvoveq1 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = b -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( b - 1 ) ) )
60	58, 59	ifbieq2d 3544	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = b -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) )
61		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = b -> ( J ` u ) = ( J ` b ) )
62	57, 60, 61	ifbieq12d 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( u = b -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) )
63		iseqf1olemqres.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
64	62, 63	fvmptg 5562	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. ( M ... N ) /\ if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) e. ( M ... N ) ) -> ( Q ` b ) = if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) )
65	39, 56, 64	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( Q ` b ) = if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) )
66	65, 50	eqtrd 2198	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( Q ` b ) = ( J ` b ) )
67	66	fveq2d 5490	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( Q ` b ) ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
68		iseqf1olemqsumk.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
69	68	csbeq2i 3072	. . . . . . . . . 10 |- [_ Q / f ]_ P = [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
70	3, 18	fzfigd 10366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
71		mptexg 5710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M ... N ) e. Fin -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
73	63, 72	eqeltrid 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. _V )
74		nfcvd 2309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
75		fveq1 5485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = Q -> ( f ` x ) = ( Q ` x ) )
76	75	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = Q -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( Q ` x ) ) )
77	76	ifeq1d 3537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = Q -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
78	77	mpteq2dv 4073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = Q -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
79	74, 78	csbiegf 3088	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q e. _V -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
80	73, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
81	69, 80	syl5eq 2211	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
82	81	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> [_ Q / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
83		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( x <_ N <-> b <_ N ) )
84		2fveq3 5491	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( G ` ( Q ` x ) ) = ( G ` ( Q ` b ) ) )
85	83, 84	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . 9 |- ( x = b -> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
86	85	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) /\ x = b ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
87		elfzuz 9956	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> b e. ( ZZ>= ` M ) )
88	87	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b e. ( ZZ>= ` M ) )
89	37	iftrued 3527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( Q ` b ) ) )
90		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( Q ` b ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( Q ` b ) ) )
91	90	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( Q ` b ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( Q ` b ) ) e. S ) )
92		iseqf1o.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
93	92	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
94		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
95	94	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
96	95	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
97	93, 96	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
98	97	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
99	1, 51, 63	iseqf1olemqf 10426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
100	99	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
101	100, 39	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( Q ` b ) e. ( M ... N ) )
102		elfzuz 9956	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` b ) e. ( M ... N ) -> ( Q ` b ) e. ( ZZ>= ` M ) )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( Q ` b ) e. ( ZZ>= ` M ) )
104	91, 98, 103	rspcdva 2835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( Q ` b ) ) e. S )
105	89, 104	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
106	82, 86, 88, 105	fvmptd 5567	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` b ) = if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
107	106, 89	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` b ) = ( G ` ( Q ` b ) ) )
108	68	csbeq2i 3072	. . . . . . . . . 10 |- [_ J / f ]_ P = [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
109		fex 5714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
110	53, 70, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. _V )
111		nfcvd 2309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
112		fveq1 5485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
113	112	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = J -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
114	113	ifeq1d 3537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = J -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
115	114	mpteq2dv 4073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = J -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
116	111, 115	csbiegf 3088	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. _V -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
117	110, 116	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
118	108, 117	syl5eq 2211	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ J / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
119	118	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> [_ J / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
120		2fveq3 5491	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( G ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
121	83, 120	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . 9 |- ( x = b -> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
122	121	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) /\ x = b ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
123	37	iftrued 3527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
124		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( J ` b ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
125	124	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( J ` b ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( J ` b ) ) e. S ) )
126		elfzuz 9956	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` b ) e. ( M ... N ) -> ( J ` b ) e. ( ZZ>= ` M ) )
127	55, 126	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` b ) e. ( ZZ>= ` M ) )
128	125, 98, 127	rspcdva 2835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( J ` b ) ) e. S )
129	123, 128	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
130	119, 122, 88, 129	fvmptd 5567	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` b ) = if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
131	130, 123	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` b ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
132	67, 107, 131	3eqtr4rd 2209	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` b ) = ( [_ Q / f ]_ P ` b ) )
133	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> K e. ( M ... N ) )
134	51	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
135	92	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
136	133, 134, 63, 135, 68	iseqf1olemjpcl 10430	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
137	133, 134, 63, 135, 68	iseqf1olemqpcl 10431	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
138		iseqf1o.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
139	138	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
140	15, 132, 136, 137, 139	seq3fveq 10406	. . . 4 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) )
141		iseqf1o.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
142		iseqf1o.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
143		iseqf1o.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
144		iseqf1o.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
145		iseqf1olemstep.const	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
146		iseqf1olemnk	. . . . . . 7 |- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
147	138, 141, 142, 143, 144, 92, 1, 51, 145, 146, 63, 68	seq3f1olemqsumk 10434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
148	147	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
149	7	zcnd 9314	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < K ) -> K e. CC )
150		npcan1 8276	. . . . . . . 8 |- ( K e. CC -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
151	149, 150	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
152	151	seqeq1d 10386	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) = seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) )
153	152	fveq1d 5488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
154	151	seqeq1d 10386	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) = seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) )
155	154	fveq1d 5488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
156	148, 153, 155	3eqtr4d 2208	. . . 4 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
157	140, 156	oveq12d 5860	. . 3 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
158	142	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
159		elfzuz3 9957	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
160	1, 159	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
161	160	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
162	151	fveq2d 5490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` K ) )
163	161, 162	eleqtrrd 2246	. . . 4 |- ( ( ph /\ M < K ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
164	139, 158, 163, 15, 136	seq3split 10414	. . 3 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) ) )
165	139, 158, 163, 15, 137	seq3split 10414	. . 3 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
166	157, 164, 165	3eqtr4d 2208	. 2 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
167	147	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ M = K ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
168		seqeq1 10383	. . . . . 6 |- ( M = K -> seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) = seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) )
169	168	fveq1d 5488	. . . . 5 |- ( M = K -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
170		seqeq1 10383	. . . . . 6 |- ( M = K -> seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) = seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) )
171	170	fveq1d 5488	. . . . 5 |- ( M = K -> ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
172	169, 171	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( M = K -> ( ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) <-> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
173	172	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ M = K ) -> ( ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) <-> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
174	167, 173	mpbird 166	. 2 |- ( ( ph /\ M = K ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
175		elfzle1 9962	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
176	1, 175	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M <_ K )
177		zleloe 9238	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( M < K \/ M = K ) ) )
178	3, 6, 177	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( M <_ K <-> ( M < K \/ M = K ) ) )
179	176, 178	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> ( M < K \/ M = K ) )
180	166, 174, 179	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   _Vcvv 2726   [_csb 3045   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   `'ccnv 4603   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   CCcc 7751   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944  ..^cfzo 10077   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10436