Theorem seq3f1olemqsum 10875

Description: Lemma for seq3f1o 10879. Q gives the same sum as J. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const	|- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
iseqf1olemnk	|- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
iseqf1olemqres.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqsumk.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemqsum	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, K, x   u, M, x   u, N   x, J   x, Q   ph, x, y, z   ph, u   x, .+ , y, z   x, S, y, z   f, M, y, z   f, N, x, y, z   y, K, z   f, G, x   f, J, y, z   x, P, y, z   Q, f, y, z

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( u, f)   .+ ( u, f)   Q( u)   S( u, f)   F( x, y, z, u, f)   G( y, z, u)   K( f)

Proof of Theorem seq3f1olemqsum

Dummy variables b a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
2		elfzel1 10358	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> M e. ZZ )
5		elfzelz 10359	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < K ) -> K e. ZZ )
8		peano2zm 9615	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < K ) -> M < K )
11		zltlem1 9635	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M < K <-> M <_ ( K - 1 ) ) )
12	4, 7, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( M < K <-> M <_ ( K - 1 ) ) )
13	10, 12	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> M <_ ( K - 1 ) )
14		eluz2 9859	. . . . . 6 |- ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( K - 1 ) ) )
15	4, 9, 13, 14	syl3anbrc 1208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
16	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
17		elfzel2 10357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
20		elfzelz 10359	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> b e. ZZ )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b e. ZZ )
22		elfzle1 10361	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> M <_ b )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> M <_ b )
24	21	zred 9700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b e. RR )
25	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
26	25	zred 9700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. RR )
27	19	zred 9700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. RR )
28		peano2rem 8540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. RR -> ( K - 1 ) e. RR )
29	26, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. RR )
30		elfzle2 10362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> b <_ ( K - 1 ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b <_ ( K - 1 ) )
32	26	lem1d 9207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) <_ K )
33	24, 29, 26, 31, 32	letrd 8397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b <_ K )
34		elfzle2 10362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
35	1, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K <_ N )
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K <_ N )
37	24, 26, 27, 33, 36	letrd 8397	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b <_ N )
38		elfz4 10352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( M <_ b /\ b <_ N ) ) -> b e. ( M ... N ) )
39	16, 19, 21, 23, 37, 38	syl32anc 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b e. ( M ... N ) )
40		elfzel1 10358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> K e. ZZ )
41	40	zred 9700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> K e. RR )
42		elfzelz 10359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> b e. ZZ )
43	42	zred 9700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> b e. RR )
44		elfzle1 10361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> K <_ b )
45	41, 43, 44	lensymd 8395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> -. b < K )
46		zltlem1 9635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( b < K <-> b <_ ( K - 1 ) ) )
47	21, 25, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( b < K <-> b <_ ( K - 1 ) ) )
48	31, 47	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b < K )
49	45, 48	nsyl3 631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> -. b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
50	49	iffalsed 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) = ( J ` b ) )
51		iseqf1olemstep.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
52		f1of 5614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
55	54, 39	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` b ) e. ( M ... N ) )
56	50, 55	eqeltrd 2309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) e. ( M ... N ) )
57		eleq1w 2293	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = b -> ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) <-> b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) )
58		eqeq1 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = b -> ( u = K <-> b = K ) )
59		fvoveq1 6073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = b -> ( J ` ( u - 1 ) ) = ( J ` ( b - 1 ) ) )
60	58, 59	ifbieq2d 3647	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = b -> if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) = if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) )
61		fveq2 5670	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = b -> ( J ` u ) = ( J ` b ) )
62	57, 60, 61	ifbieq12d 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( u = b -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) = if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) )
63		iseqf1olemqres.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
64	62, 63	fvmptg 5753	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. ( M ... N ) /\ if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) e. ( M ... N ) ) -> ( Q ` b ) = if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) )
65	39, 56, 64	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( Q ` b ) = if ( b e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( b = K , K , ( J ` ( b - 1 ) ) ) , ( J ` b ) ) )
66	65, 50	eqtrd 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( Q ` b ) = ( J ` b ) )
67	66	fveq2d 5674	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( Q ` b ) ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
68		iseqf1olemqsumk.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
69	68	csbeq2i 3165	. . . . . . . . . 10 |- [_ Q / f ]_ P = [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
70	3, 18	fzfigd 10793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
71		mptexg 5911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M ... N ) e. Fin -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
73	63, 72	eqeltrid 2319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. _V )
74		nfcvd 2385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
75		fveq1 5669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = Q -> ( f ` x ) = ( Q ` x ) )
76	75	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = Q -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( Q ` x ) ) )
77	76	ifeq1d 3640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = Q -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
78	77	mpteq2dv 4201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = Q -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
79	74, 78	csbiegf 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q e. _V -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
80	73, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
81	69, 80	eqtrid 2277	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
82	81	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> [_ Q / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
83		breq1 4112	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( x <_ N <-> b <_ N ) )
84		2fveq3 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( G ` ( Q ` x ) ) = ( G ` ( Q ` b ) ) )
85	83, 84	ifbieq1d 3645	. . . . . . . . 9 |- ( x = b -> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
86	85	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) /\ x = b ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
87		elfzuz 10355	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> b e. ( ZZ>= ` M ) )
88	87	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> b e. ( ZZ>= ` M ) )
89	37	iftrued 3629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( Q ` b ) ) )
90		fveq2 5670	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( Q ` b ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( Q ` b ) ) )
91	90	eleq1d 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( Q ` b ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( Q ` b ) ) e. S ) )
92		iseqf1o.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
93	92	ralrimiva 2615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
94		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
95	94	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
96	95	cbvralv 2778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
97	93, 96	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
98	97	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
99	1, 51, 63	iseqf1olemqf 10866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
100	99	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
101	100, 39	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( Q ` b ) e. ( M ... N ) )
102		elfzuz 10355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` b ) e. ( M ... N ) -> ( Q ` b ) e. ( ZZ>= ` M ) )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( Q ` b ) e. ( ZZ>= ` M ) )
104	91, 98, 103	rspcdva 2926	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( Q ` b ) ) e. S )
105	89, 104	eqeltrd 2309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
106	82, 86, 88, 105	fvmptd 5758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` b ) = if ( b <_ N , ( G ` ( Q ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
107	106, 89	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` b ) = ( G ` ( Q ` b ) ) )
108	68	csbeq2i 3165	. . . . . . . . . 10 |- [_ J / f ]_ P = [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
109		fex 5915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
110	53, 70, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. _V )
111		nfcvd 2385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
112		fveq1 5669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
113	112	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = J -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
114	113	ifeq1d 3640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = J -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
115	114	mpteq2dv 4201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = J -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
116	111, 115	csbiegf 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. _V -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
117	110, 116	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
118	108, 117	eqtrid 2277	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ J / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
119	118	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> [_ J / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
120		2fveq3 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( G ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
121	83, 120	ifbieq1d 3645	. . . . . . . . 9 |- ( x = b -> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
122	121	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) /\ x = b ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
123	37	iftrued 3629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
124		fveq2 5670	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( J ` b ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
125	124	eleq1d 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( J ` b ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( J ` b ) ) e. S ) )
126		elfzuz 10355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` b ) e. ( M ... N ) -> ( J ` b ) e. ( ZZ>= ` M ) )
127	55, 126	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` b ) e. ( ZZ>= ` M ) )
128	125, 98, 127	rspcdva 2926	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( J ` b ) ) e. S )
129	123, 128	eqeltrd 2309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
130	119, 122, 88, 129	fvmptd 5758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` b ) = if ( b <_ N , ( G ` ( J ` b ) ) , ( G ` M ) ) )
131	130, 123	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` b ) = ( G ` ( J ` b ) ) )
132	67, 107, 131	3eqtr4rd 2276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ b e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` b ) = ( [_ Q / f ]_ P ` b ) )
133	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> K e. ( M ... N ) )
134	51	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
135	92	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
136	133, 134, 63, 135, 68	iseqf1olemjpcl 10870	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
137	133, 134, 63, 135, 68	iseqf1olemqpcl 10871	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
138		iseqf1o.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
139	138	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
140	15, 132, 136, 137, 139	seq3fveq 10841	. . . 4 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) )
141		iseqf1o.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
142		iseqf1o.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
143		iseqf1o.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
144		iseqf1o.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
145		iseqf1olemstep.const	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
146		iseqf1olemnk	. . . . . . 7 |- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
147	138, 141, 142, 143, 144, 92, 1, 51, 145, 146, 63, 68	seq3f1olemqsumk 10874	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
148	147	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
149	7	zcnd 9701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < K ) -> K e. CC )
150		npcan1 8651	. . . . . . . 8 |- ( K e. CC -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
151	149, 150	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
152	151	seqeq1d 10815	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) = seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) )
153	152	fveq1d 5672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
154	151	seqeq1d 10815	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < K ) -> seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) = seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) )
155	154	fveq1d 5672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
156	148, 153, 155	3eqtr4d 2275	. . . 4 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
157	140, 156	oveq12d 6068	. . 3 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
158	142	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ M < K ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
159		elfzuz3 10356	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
160	1, 159	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
161	160	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
162	151	fveq2d 5674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` K ) )
163	161, 162	eleqtrrd 2312	. . . 4 |- ( ( ph /\ M < K ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
164	139, 158, 163, 15, 136	seq3split 10850	. . 3 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) ) )
165	139, 158, 163, 15, 137	seq3split 10850	. . 3 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
166	157, 164, 165	3eqtr4d 2275	. 2 |- ( ( ph /\ M < K ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
167	147	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ M = K ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
168		seqeq1 10812	. . . . . 6 |- ( M = K -> seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) = seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) )
169	168	fveq1d 5672	. . . . 5 |- ( M = K -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
170		seqeq1 10812	. . . . . 6 |- ( M = K -> seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) = seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) )
171	170	fveq1d 5672	. . . . 5 |- ( M = K -> ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
172	169, 171	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( M = K -> ( ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) <-> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
173	172	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ M = K ) -> ( ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) <-> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
174	167, 173	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ M = K ) -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
175		elfzle1 10361	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
176	1, 175	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M <_ K )
177		zleloe 9624	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( M < K \/ M = K ) ) )
178	3, 6, 177	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( M <_ K <-> ( M < K \/ M = K ) ) )
179	176, 178	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( M < K \/ M = K ) )
180	166, 174, 179	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   _Vcvv 2813   [_csb 3138   ifcif 3620   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   `'ccnv 4748   -->wf 5348   -1-1-onto->wf1o 5351   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   CCcc 8125   RRcr 8126   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342  ..^cfzo 10476   seqcseq 10809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10876