Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemp1 Unicode version

Theorem ennnfonelemp1 11825
 Description: Lemma for ennnfone 11844. Value of at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq DECID
ennnfonelemh.f
ennnfonelemh.ne
ennnfonelemh.g
ennnfonelemh.n frec
ennnfonelemh.j
ennnfonelemh.h
ennnfonelemp1.p
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemp1
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,)

Proof of Theorem ennnfonelemp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemp1.p . . . . 5
2 nn0uz 9312 . . . . 5
31, 2syl6eleq 2208 . . . 4
4 ennnfonelemh.dceq . . . . 5 DECID
5 ennnfonelemh.f . . . . 5
6 ennnfonelemh.ne . . . . 5
7 ennnfonelemh.g . . . . 5
8 ennnfonelemh.n . . . . 5 frec
9 ennnfonelemh.j . . . . 5
10 ennnfonelemh.h . . . . 5
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemj0 11820 . . . 4
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemg 11822 . . . 4
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemjn 11821 . . . 4
143, 11, 12, 13seqp1cd 10190 . . 3
1510fveq1i 5388 . . . 4
1615a1i 9 . . 3
1710fveq1i 5388 . . . . 5
1817a1i 9 . . . 4
19 eqeq1 2122 . . . . . . 7
20 fvoveq1 5763 . . . . . . 7
2119, 20ifbieq2d 3464 . . . . . 6
22 peano2nn0 8971 . . . . . . 7
231, 22syl 14 . . . . . 6
24 nn0p1gt0 8960 . . . . . . . . . . . 12
2524gt0ne0d 8238 . . . . . . . . . . 11
2625neneqd 2304 . . . . . . . . . 10
2726iffalsed 3452 . . . . . . . . 9
28 nn0cn 8941 . . . . . . . . . . 11
29 1cnd 7746 . . . . . . . . . . 11
3028, 29pncand 8038 . . . . . . . . . 10
3130fveq2d 5391 . . . . . . . . 9
3227, 31eqtrd 2148 . . . . . . . 8
338frechashgf1o 10152 . . . . . . . . . . 11
34 f1ocnv 5346 . . . . . . . . . . 11
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
36 f1of 5333 . . . . . . . . . 10
3735, 36mp1i 10 . . . . . . . . 9
38 id 19 . . . . . . . . 9
3937, 38ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8
4032, 39eqeltrd 2192 . . . . . . 7
411, 40syl 14 . . . . . 6
429, 21, 23, 41fvmptd3 5480 . . . . 5
431, 32syl 14 . . . . 5
4442, 43eqtr2d 2149 . . . 4
4518, 44oveq12d 5758 . . 3
4614, 16, 453eqtr4d 2158 . 2
474, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemh 11823 . . . 4
4847, 1ffvelrnd 5522 . . 3
491, 39syl 14 . . 3
5048elexd 2671 . . . 4
51 dmexg 4771 . . . . . . . 8
5250, 51syl 14 . . . . . . 7
53 fof 5313 . . . . . . . . 9
545, 53syl 14 . . . . . . . 8
5554, 49ffvelrnd 5522 . . . . . . 7
56 opexg 4118 . . . . . . 7
5752, 55, 56syl2anc 406 . . . . . 6
58 snexg 4076 . . . . . 6
5957, 58syl 14 . . . . 5
60 unexg 4332 . . . . 5
6150, 59, 60syl2anc 406 . . . 4
624, 5, 49ennnfonelemdc 11818 . . . 4 DECID
6350, 61, 62ifcldcd 3475 . . 3
64 id 19 . . . . 5
65 dmeq 4707 . . . . . . . 8
6665opeq1d 3679 . . . . . . 7
6766sneqd 3508 . . . . . 6
6864, 67uneq12d 3199 . . . . 5
6964, 68ifeq12d 3459 . . . 4
70 fveq2 5387 . . . . . 6
71 imaeq2 4845 . . . . . 6
7270, 71eleq12d 2186 . . . . 5
7370opeq2d 3680 . . . . . . 7
7473sneqd 3508 . . . . . 6
7574uneq2d 3198 . . . . 5
7672, 75ifbieq2d 3464 . . . 4
7769, 76, 7ovmpog 5871 . . 3
7848, 49, 63, 77syl3anc 1199 . 2
7946, 78eqtrd 2148 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4  DECID wdc 802   wceq 1314   wcel 1463   wne 2283  wral 2391  wrex 2392  crab 2395  cvv 2658   cun 3037  c0 3331  cif 3442  csn 3495  cop 3498   cmpt 3957   csuc 4255  com 4472  ccnv 4506   cdm 4507  cima 4510  wf 5087  wfo 5089  wf1o 5090  cfv 5091  (class class class)co 5740   cmpo 5742  freccfrec 6253   cpm 6509  cc0 7584  c1 7585   caddc 7587   cmin 7897  cn0 8931  cz 9008  cuz 9278   cseq 10169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pm 6511  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-seqfrec 10170 This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  11826  ennnfonelemhdmp1  11828  ennnfonelemss  11829  ennnfonelemkh  11831  ennnfonelemhf1o  11832
 Copyright terms: Public domain W3C validator