Theorem ennnfonelemp1 12862

Description: Lemma for ennnfone 12881. Value of H at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemp1.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemp1	|- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemp1

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemp1.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		nn0uz 9713	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtrdi 2299	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
5		ennnfonelemh.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
6		ennnfonelemh.ne	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
7		ennnfonelemh.g	. . . . 5 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
8		ennnfonelemh.n	. . . . 5 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10		ennnfonelemh.h	. . . . 5 |- H = seq 0 ( G , J )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemj0 12857	. . . 4 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemg 12859	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemjn 12858	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
14	3, 11, 12, 13	seqp1cd 10647	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) G ( J ` ( P + 1 ) ) ) )
15	10	fveq1i 5595	. . . 4 |- ( H ` ( P + 1 ) ) = ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) ) )
17	10	fveq1i 5595	. . . . 5 |- ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) )
19		eqeq1 2213	. . . . . . 7 |- ( x = ( P + 1 ) -> ( x = 0 <-> ( P + 1 ) = 0 ) )
20		fvoveq1 5985	. . . . . . 7 |- ( x = ( P + 1 ) -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) )
21	19, 20	ifbieq2d 3600	. . . . . 6 |- ( x = ( P + 1 ) -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) )
22		peano2nn0 9365	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> ( P + 1 ) e. NN0 )
23	1, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. NN0 )
24		nn0p1gt0 9354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN0 -> 0 < ( P + 1 ) )
25	24	gt0ne0d 8615	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> ( P + 1 ) =/= 0 )
26	25	neneqd 2398	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN0 -> -. ( P + 1 ) = 0 )
27	26	iffalsed 3585	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) )
28		nn0cn 9335	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> P e. CC )
29		1cnd 8118	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> 1 e. CC )
30	28, 29	pncand 8414	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN0 -> ( ( P + 1 ) - 1 ) = P )
31	30	fveq2d 5598	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) = ( `' N ` P ) )
32	27, 31	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` P ) )
33	8	frechashgf1o 10605	. . . . . . . . . . 11 |- N : om -1-1-onto-> NN0
34		f1ocnv 5552	. . . . . . . . . . 11 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
36		f1of 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> `' N : NN0 --> om )
38		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> P e. NN0 )
39	37, 38	ffvelcdmd 5734	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> ( `' N ` P ) e. om )
40	32, 39	eqeltrd 2283	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) e. om )
41	1, 40	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) e. om )
42	9, 21, 23, 41	fvmptd3 5691	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ` ( P + 1 ) ) = if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) )
43	1, 32	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` P ) )
44	42, 43	eqtr2d 2240	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) = ( J ` ( P + 1 ) ) )
45	18, 44	oveq12d 5980	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) G ( J ` ( P + 1 ) ) ) )
46	14, 16, 45	3eqtr4d 2249	. 2 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) )
47	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemh 12860	. . . 4 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
48	47, 1	ffvelcdmd 5734	. . 3 |- ( ph -> ( H ` P ) e. ( A ^pm om ) )
49	1, 39	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
50	48	elexd 2787	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` P ) e. _V )
51		dmexg 4956	. . . . . . . 8 |- ( ( H ` P ) e. _V -> dom ( H ` P ) e. _V )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` P ) e. _V )
53		fof 5515	. . . . . . . . 9 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
54	5, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om --> A )
55	54, 49	ffvelcdmd 5734	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A )
56		opexg 4285	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( H ` P ) e. _V /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A ) -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V )
57	52, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V )
58		snexg 4239	. . . . . 6 |- ( <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V )
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V )
60		unexg 4503	. . . . 5 |- ( ( ( H ` P ) e. _V /\ { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V ) -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) e. _V )
61	50, 59, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) e. _V )
62	4, 5, 49	ennnfonelemdc 12855	. . . 4 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
63	50, 61, 62	ifcldcd 3613	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) e. _V )
64		id 19	. . . . 5 |- ( x = ( H ` P ) -> x = ( H ` P ) )
65		dmeq 4892	. . . . . . . 8 |- ( x = ( H ` P ) -> dom x = dom ( H ` P ) )
66	65	opeq1d 3834	. . . . . . 7 |- ( x = ( H ` P ) -> <. dom x , ( F ` y ) >. = <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. )
67	66	sneqd 3651	. . . . . 6 |- ( x = ( H ` P ) -> { <. dom x , ( F ` y ) >. } = { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } )
68	64, 67	uneq12d 3332	. . . . 5 |- ( x = ( H ` P ) -> ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) )
69	64, 68	ifeq12d 3595	. . . 4 |- ( x = ( H ` P ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) ) )
70		fveq2 5594	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' N ` P ) ) )
71		imaeq2 5032	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( F " y ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
72	70, 71	eleq12d 2277	. . . . 5 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( ( F ` y ) e. ( F " y ) <-> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
73	70	opeq2d 3835	. . . . . . 7 |- ( y = ( `' N ` P ) -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. = <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. )
74	73	sneqd 3651	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } = { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
75	74	uneq2d 3331	. . . . 5 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
76	72, 75	ifbieq2d 3600	. . . 4 |- ( y = ( `' N ` P ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
77	69, 76, 7	ovmpog 6098	. . 3 |- ( ( ( H ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ ( `' N ` P ) e. om /\ if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) e. _V ) -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
78	48, 49, 63, 77	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
79	46, 78	eqtrd 2239	1 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   A.wral 2485   E.wrex 2486   {crab 2489   _Vcvv 2773   u. cun 3168   (/)c0 3464   ifcif 3575   {csn 3638   <.cop 3641   |-> cmpt 4116   suc csuc 4425   omcom 4651   `'ccnv 4687   dom cdm 4688   "cima 4691   -->wf 5281   -onto->wfo 5283   -1-1-onto->wf1o 5284   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   e. cmpo 5964  freccfrec 6494   ^pm cpm 6754   0cc0 7955   1c1 7956   + caddc 7958   - cmin 8273   NN0cn0 9325   ZZcz 9402   ZZ>=cuz 9678   seqcseq 10624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pm 6756  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-seqfrec 10625

This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  12863  ennnfonelemhdmp1  12865  ennnfonelemss  12866  ennnfonelemkh  12868  ennnfonelemhf1o  12869