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Theorem ennnfonelemp1 12361
Description: Lemma for ennnfone 12380. Value of  H at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfonelemp1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemp1  |-  ( ph  ->  ( H `  ( P  +  1 ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    x, F, y   
j, G    x, H, y    j, J    x, N, y    P, j, x, y    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    P( k, n)    F( j, k, n)    G( x, y, k, n)    H( j, k, n)    J( x, y, k, n)    N( j,
k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemp1
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemp1.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
2 nn0uz 9521 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2eleqtrdi 2263 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 ennnfonelemh.dceq . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
5 ennnfonelemh.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
6 ennnfonelemh.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
7 ennnfonelemh.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
8 ennnfonelemh.n . . . . 5  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
9 ennnfonelemh.j . . . . 5  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
10 ennnfonelemh.h . . . . 5  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemj0 12356 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  0
)  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemg 12358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  (
f G j )  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemjn 12357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( J `  f )  e.  om )
143, 11, 12, 13seqp1cd 10422 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 ( P  + 
1 ) )  =  ( (  seq 0
( G ,  J
) `  P ) G ( J `  ( P  +  1
) ) ) )
1510fveq1i 5497 . . . 4  |-  ( H `
 ( P  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 ( P  + 
1 ) )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  ( P  +  1 ) )  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `  ( P  +  1 ) ) )
1710fveq1i 5497 . . . . 5  |-  ( H `
 P )  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 P )
1817a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `  P
) )
19 eqeq1 2177 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( P  + 
1 )  ->  (
x  =  0  <->  ( P  +  1 )  =  0 ) )
20 fvoveq1 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( P  + 
1 )  ->  ( `' N `  ( x  -  1 ) )  =  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )
2119, 20ifbieq2d 3550 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( P  + 
1 )  ->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) )  =  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
22 peano2nn0 9175 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( P  +  1 )  e. 
NN0 )
231, 22syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  +  1 )  e.  NN0 )
24 nn0p1gt0 9164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN0  ->  0  < 
( P  +  1 ) )
2524gt0ne0d 8431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( P  +  1 )  =/=  0 )
2625neneqd 2361 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  NN0  ->  -.  ( P  +  1 )  =  0 )
2726iffalsed 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN0  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )
28 nn0cn 9145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  CC )
29 1cnd 7936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3028, 29pncand 8231 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( ( P  +  1 )  -  1 )  =  P )
3130fveq2d 5500 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( `' N `  ( ( P  +  1 )  -  1 ) )  =  ( `' N `  P ) )
3227, 31eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN0  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( `' N `  P ) )
338frechashgf1o 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  N : om
-1-1-onto-> NN0
34 f1ocnv 5455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' N : NN0
-1-1-onto-> om )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  `' N : NN0
-1-1-onto-> om
36 f1of 5442 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' N : NN0 --> om )
3735, 36mp1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN0  ->  `' N : NN0 --> om )
38 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e. 
NN0 )
3937, 38ffvelrnd 5632 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( `' N `  P )  e.  om )
4032, 39eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN0  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )  e. 
om )
411, 40syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  +  1 )  -  1 ) ) )  e.  om )
429, 21, 23, 41fvmptd3 5589 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  ( P  +  1 ) )  =  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
431, 32syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( `' N `  P ) )
4442, 43eqtr2d 2204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' N `  P )  =  ( J `  ( P  +  1 ) ) )
4518, 44oveq12d 5871 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  P ) G ( `' N `  P ) )  =  ( (  seq 0 ( G ,  J ) `  P ) G ( J `  ( P  +  1 ) ) ) )
4614, 16, 453eqtr4d 2213 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  ( P  +  1 ) )  =  ( ( H `  P ) G ( `' N `  P ) ) )
474, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemh 12359 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( A 
^pm  om ) )
4847, 1ffvelrnd 5632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  e.  ( A 
^pm  om ) )
491, 39syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' N `  P )  e.  om )
5048elexd 2743 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  e.  _V )
51 dmexg 4875 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  P )  e.  _V  ->  dom  ( H `  P )  e.  _V )
5250, 51syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  e.  _V )
53 fof 5420 . . . . . . . . 9  |-  ( F : om -onto-> A  ->  F : om --> A )
545, 53syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : om --> A )
5554, 49ffvelrnd 5632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  A )
56 opexg 4213 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( H `  P )  e.  _V  /\  ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  A )  ->  <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >.  e.  _V )
5752, 55, 56syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >.  e.  _V )
58 snexg 4170 . . . . . 6  |-  ( <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 ( `' N `  P ) ) >.  e.  _V  ->  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. }  e.  _V )
5957, 58syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. }  e.  _V )
60 unexg 4428 . . . . 5  |-  ( ( ( H `  P
)  e.  _V  /\  {
<. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. }  e.  _V )  ->  ( ( H `
 P )  u. 
{ <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } )  e. 
_V )
6150, 59, 60syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } )  e. 
_V )
624, 5, 49ennnfonelemdc 12354 . . . 4  |-  ( ph  -> DECID  ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) )
6350, 61, 62ifcldcd 3561 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 ( `' N `  P ) )  e.  ( F " ( `' N `  P ) ) ,  ( H `
 P ) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) )  e.  _V )
64 id 19 . . . . 5  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  x  =  ( H `  P ) )
65 dmeq 4811 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  dom  x  =  dom  ( H `
 P ) )
6665opeq1d 3771 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  <. dom  x ,  ( F `  y ) >.  =  <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >.
)
6766sneqd 3596 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. }  =  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  y ) >. } )
6864, 67uneq12d 3282 . . . . 5  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  (
x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } )  =  ( ( H `  P
)  u.  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >. } ) )
6964, 68ifeq12d 3545 . . . 4  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) )  =  if ( ( F `
 y )  e.  ( F " y
) ,  ( H `
 P ) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  y )
>. } ) ) )
70 fveq2 5496 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' N `  P ) ) )
71 imaeq2 4949 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  ( F " y )  =  ( F " ( `' N `  P ) ) )
7270, 71eleq12d 2241 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" y )  <->  ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F " ( `' N `  P ) ) ) )
7370opeq2d 3772 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  y ) >.  =  <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 ( `' N `  P ) ) >.
)
7473sneqd 3596 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >. }  =  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } )
7574uneq2d 3281 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  (
( H `  P
)  u.  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >. } )  =  ( ( H `  P
)  u.  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 ( `' N `  P ) ) >. } ) )
7672, 75ifbieq2d 3550 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  ( H `  P ) ,  ( ( H `  P
)  u.  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >. } ) )  =  if ( ( F `
 ( `' N `  P ) )  e.  ( F " ( `' N `  P ) ) ,  ( H `
 P ) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
7769, 76, 7ovmpog 5987 . . 3  |-  ( ( ( H `  P
)  e.  ( A 
^pm  om )  /\  ( `' N `  P )  e.  om  /\  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) )  e.  _V )  -> 
( ( H `  P ) G ( `' N `  P ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
7848, 49, 63, 77syl3anc 1233 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  P ) G ( `' N `  P ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
7946, 78eqtrd 2203 1  |-  ( ph  ->  ( H `  ( P  +  1 ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   _Vcvv 2730    u. cun 3119   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583   <.cop 3586    |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   "cima 4614   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853    e. cmpo 5855  freccfrec 6369    ^pm cpm 6627   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777    - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487    seqcseq 10401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pm 6629  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402
This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  12362  ennnfonelemhdmp1  12364  ennnfonelemss  12365  ennnfonelemkh  12367  ennnfonelemhf1o  12368
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