Theorem ennnfonelemp1 11919

Description: Lemma for ennnfone 11938. Value of H at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemp1.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemp1	|- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemp1

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemp1.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		nn0uz 9360	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtrdi 2232	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
5		ennnfonelemh.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
6		ennnfonelemh.ne	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
7		ennnfonelemh.g	. . . . 5 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
8		ennnfonelemh.n	. . . . 5 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10		ennnfonelemh.h	. . . . 5 |- H = seq 0 ( G , J )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemj0 11914	. . . 4 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemg 11916	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemjn 11915	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
14	3, 11, 12, 13	seqp1cd 10239	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) G ( J ` ( P + 1 ) ) ) )
15	10	fveq1i 5422	. . . 4 |- ( H ` ( P + 1 ) ) = ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) ) )
17	10	fveq1i 5422	. . . . 5 |- ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) )
19		eqeq1 2146	. . . . . . 7 |- ( x = ( P + 1 ) -> ( x = 0 <-> ( P + 1 ) = 0 ) )
20		fvoveq1 5797	. . . . . . 7 |- ( x = ( P + 1 ) -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) )
21	19, 20	ifbieq2d 3496	. . . . . 6 |- ( x = ( P + 1 ) -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) )
22		peano2nn0 9017	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> ( P + 1 ) e. NN0 )
23	1, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. NN0 )
24		nn0p1gt0 9006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN0 -> 0 < ( P + 1 ) )
25	24	gt0ne0d 8274	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> ( P + 1 ) =/= 0 )
26	25	neneqd 2329	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN0 -> -. ( P + 1 ) = 0 )
27	26	iffalsed 3484	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) )
28		nn0cn 8987	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> P e. CC )
29		1cnd 7782	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> 1 e. CC )
30	28, 29	pncand 8074	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN0 -> ( ( P + 1 ) - 1 ) = P )
31	30	fveq2d 5425	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) = ( `' N ` P ) )
32	27, 31	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` P ) )
33	8	frechashgf1o 10201	. . . . . . . . . . 11 |- N : om -1-1-onto-> NN0
34		f1ocnv 5380	. . . . . . . . . . 11 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
36		f1of 5367	. . . . . . . . . 10 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> `' N : NN0 --> om )
38		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> P e. NN0 )
39	37, 38	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> ( `' N ` P ) e. om )
40	32, 39	eqeltrd 2216	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) e. om )
41	1, 40	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) e. om )
42	9, 21, 23, 41	fvmptd3 5514	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ` ( P + 1 ) ) = if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) )
43	1, 32	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` P ) )
44	42, 43	eqtr2d 2173	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) = ( J ` ( P + 1 ) ) )
45	18, 44	oveq12d 5792	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) G ( J ` ( P + 1 ) ) ) )
46	14, 16, 45	3eqtr4d 2182	. 2 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) )
47	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemh 11917	. . . 4 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
48	47, 1	ffvelrnd 5556	. . 3 |- ( ph -> ( H ` P ) e. ( A ^pm om ) )
49	1, 39	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
50	48	elexd 2699	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` P ) e. _V )
51		dmexg 4803	. . . . . . . 8 |- ( ( H ` P ) e. _V -> dom ( H ` P ) e. _V )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` P ) e. _V )
53		fof 5345	. . . . . . . . 9 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
54	5, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om --> A )
55	54, 49	ffvelrnd 5556	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A )
56		opexg 4150	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( H ` P ) e. _V /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A ) -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V )
57	52, 55, 56	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V )
58		snexg 4108	. . . . . 6 |- ( <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V )
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V )
60		unexg 4364	. . . . 5 |- ( ( ( H ` P ) e. _V /\ { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V ) -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) e. _V )
61	50, 59, 60	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) e. _V )
62	4, 5, 49	ennnfonelemdc 11912	. . . 4 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
63	50, 61, 62	ifcldcd 3507	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) e. _V )
64		id 19	. . . . 5 |- ( x = ( H ` P ) -> x = ( H ` P ) )
65		dmeq 4739	. . . . . . . 8 |- ( x = ( H ` P ) -> dom x = dom ( H ` P ) )
66	65	opeq1d 3711	. . . . . . 7 |- ( x = ( H ` P ) -> <. dom x , ( F ` y ) >. = <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. )
67	66	sneqd 3540	. . . . . 6 |- ( x = ( H ` P ) -> { <. dom x , ( F ` y ) >. } = { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } )
68	64, 67	uneq12d 3231	. . . . 5 |- ( x = ( H ` P ) -> ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) )
69	64, 68	ifeq12d 3491	. . . 4 |- ( x = ( H ` P ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) ) )
70		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' N ` P ) ) )
71		imaeq2 4877	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( F " y ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
72	70, 71	eleq12d 2210	. . . . 5 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( ( F ` y ) e. ( F " y ) <-> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
73	70	opeq2d 3712	. . . . . . 7 |- ( y = ( `' N ` P ) -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. = <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. )
74	73	sneqd 3540	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } = { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
75	74	uneq2d 3230	. . . . 5 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
76	72, 75	ifbieq2d 3496	. . . 4 |- ( y = ( `' N ` P ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
77	69, 76, 7	ovmpog 5905	. . 3 |- ( ( ( H ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ ( `' N ` P ) e. om /\ if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) e. _V ) -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
78	48, 49, 63, 77	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
79	46, 78	eqtrd 2172	1 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   _Vcvv 2686   u. cun 3069   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  freccfrec 6287   ^pm cpm 6543   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  11920  ennnfonelemhdmp1  11922  ennnfonelemss  11923  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemhf1o  11926