Theorem ennnfonelemp1 12563

Description: Lemma for ennnfone 12582. Value of H at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemp1.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemp1	|- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemp1

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemp1.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		nn0uz 9627	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtrdi 2286	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
5		ennnfonelemh.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
6		ennnfonelemh.ne	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
7		ennnfonelemh.g	. . . . 5 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
8		ennnfonelemh.n	. . . . 5 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10		ennnfonelemh.h	. . . . 5 |- H = seq 0 ( G , J )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemj0 12558	. . . 4 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemg 12560	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemjn 12559	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
14	3, 11, 12, 13	seqp1cd 10541	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) G ( J ` ( P + 1 ) ) ) )
15	10	fveq1i 5555	. . . 4 |- ( H ` ( P + 1 ) ) = ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) ) )
17	10	fveq1i 5555	. . . . 5 |- ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) )
19		eqeq1 2200	. . . . . . 7 |- ( x = ( P + 1 ) -> ( x = 0 <-> ( P + 1 ) = 0 ) )
20		fvoveq1 5941	. . . . . . 7 |- ( x = ( P + 1 ) -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) )
21	19, 20	ifbieq2d 3581	. . . . . 6 |- ( x = ( P + 1 ) -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) )
22		peano2nn0 9280	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> ( P + 1 ) e. NN0 )
23	1, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. NN0 )
24		nn0p1gt0 9269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN0 -> 0 < ( P + 1 ) )
25	24	gt0ne0d 8531	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> ( P + 1 ) =/= 0 )
26	25	neneqd 2385	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN0 -> -. ( P + 1 ) = 0 )
27	26	iffalsed 3567	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) )
28		nn0cn 9250	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> P e. CC )
29		1cnd 8035	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> 1 e. CC )
30	28, 29	pncand 8331	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN0 -> ( ( P + 1 ) - 1 ) = P )
31	30	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) = ( `' N ` P ) )
32	27, 31	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` P ) )
33	8	frechashgf1o 10499	. . . . . . . . . . 11 |- N : om -1-1-onto-> NN0
34		f1ocnv 5513	. . . . . . . . . . 11 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
36		f1of 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> `' N : NN0 --> om )
38		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> P e. NN0 )
39	37, 38	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> ( `' N ` P ) e. om )
40	32, 39	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) e. om )
41	1, 40	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) e. om )
42	9, 21, 23, 41	fvmptd3 5651	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ` ( P + 1 ) ) = if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) )
43	1, 32	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` P ) )
44	42, 43	eqtr2d 2227	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) = ( J ` ( P + 1 ) ) )
45	18, 44	oveq12d 5936	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) G ( J ` ( P + 1 ) ) ) )
46	14, 16, 45	3eqtr4d 2236	. 2 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) )
47	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemh 12561	. . . 4 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
48	47, 1	ffvelcdmd 5694	. . 3 |- ( ph -> ( H ` P ) e. ( A ^pm om ) )
49	1, 39	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
50	48	elexd 2773	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` P ) e. _V )
51		dmexg 4926	. . . . . . . 8 |- ( ( H ` P ) e. _V -> dom ( H ` P ) e. _V )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` P ) e. _V )
53		fof 5476	. . . . . . . . 9 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
54	5, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om --> A )
55	54, 49	ffvelcdmd 5694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A )
56		opexg 4257	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( H ` P ) e. _V /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A ) -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V )
57	52, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V )
58		snexg 4213	. . . . . 6 |- ( <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V )
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V )
60		unexg 4474	. . . . 5 |- ( ( ( H ` P ) e. _V /\ { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V ) -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) e. _V )
61	50, 59, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) e. _V )
62	4, 5, 49	ennnfonelemdc 12556	. . . 4 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
63	50, 61, 62	ifcldcd 3593	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) e. _V )
64		id 19	. . . . 5 |- ( x = ( H ` P ) -> x = ( H ` P ) )
65		dmeq 4862	. . . . . . . 8 |- ( x = ( H ` P ) -> dom x = dom ( H ` P ) )
66	65	opeq1d 3810	. . . . . . 7 |- ( x = ( H ` P ) -> <. dom x , ( F ` y ) >. = <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. )
67	66	sneqd 3631	. . . . . 6 |- ( x = ( H ` P ) -> { <. dom x , ( F ` y ) >. } = { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } )
68	64, 67	uneq12d 3314	. . . . 5 |- ( x = ( H ` P ) -> ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) )
69	64, 68	ifeq12d 3576	. . . 4 |- ( x = ( H ` P ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) ) )
70		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' N ` P ) ) )
71		imaeq2 5001	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( F " y ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
72	70, 71	eleq12d 2264	. . . . 5 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( ( F ` y ) e. ( F " y ) <-> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
73	70	opeq2d 3811	. . . . . . 7 |- ( y = ( `' N ` P ) -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. = <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. )
74	73	sneqd 3631	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } = { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
75	74	uneq2d 3313	. . . . 5 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
76	72, 75	ifbieq2d 3581	. . . 4 |- ( y = ( `' N ` P ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
77	69, 76, 7	ovmpog 6053	. . 3 |- ( ( ( H ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ ( `' N ` P ) e. om /\ if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) e. _V ) -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
78	48, 49, 63, 77	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
79	46, 78	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   _Vcvv 2760   u. cun 3151   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   "cima 4662   -->wf 5250   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  freccfrec 6443   ^pm cpm 6703   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  12564  ennnfonelemhdmp1  12566  ennnfonelemss  12567  ennnfonelemkh  12569  ennnfonelemhf1o  12570