Theorem ennnfonelemp1 12648

Description: Lemma for ennnfone 12667. Value of H at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemp1.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemp1	|- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemp1

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemp1.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		nn0uz 9653	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtrdi 2289	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		ennnfonelemh.dceq	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
5		ennnfonelemh.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
6		ennnfonelemh.ne	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
7		ennnfonelemh.g	. . . . 5 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
8		ennnfonelemh.n	. . . . 5 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
9		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
10		ennnfonelemh.h	. . . . 5 |- H = seq 0 ( G , J )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemj0 12643	. . . 4 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemg 12645	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemjn 12644	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
14	3, 11, 12, 13	seqp1cd 10579	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) G ( J ` ( P + 1 ) ) ) )
15	10	fveq1i 5562	. . . 4 |- ( H ` ( P + 1 ) ) = ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( seq 0 ( G , J ) ` ( P + 1 ) ) )
17	10	fveq1i 5562	. . . . 5 |- ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` P ) = ( seq 0 ( G , J ) ` P ) )
19		eqeq1 2203	. . . . . . 7 |- ( x = ( P + 1 ) -> ( x = 0 <-> ( P + 1 ) = 0 ) )
20		fvoveq1 5948	. . . . . . 7 |- ( x = ( P + 1 ) -> ( `' N ` ( x - 1 ) ) = ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) )
21	19, 20	ifbieq2d 3586	. . . . . 6 |- ( x = ( P + 1 ) -> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) = if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) )
22		peano2nn0 9306	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> ( P + 1 ) e. NN0 )
23	1, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. NN0 )
24		nn0p1gt0 9295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN0 -> 0 < ( P + 1 ) )
25	24	gt0ne0d 8556	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> ( P + 1 ) =/= 0 )
26	25	neneqd 2388	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN0 -> -. ( P + 1 ) = 0 )
27	26	iffalsed 3572	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) )
28		nn0cn 9276	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> P e. CC )
29		1cnd 8059	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN0 -> 1 e. CC )
30	28, 29	pncand 8355	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN0 -> ( ( P + 1 ) - 1 ) = P )
31	30	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) = ( `' N ` P ) )
32	27, 31	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` P ) )
33	8	frechashgf1o 10537	. . . . . . . . . . 11 |- N : om -1-1-onto-> NN0
34		f1ocnv 5520	. . . . . . . . . . 11 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
36		f1of 5507	. . . . . . . . . 10 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> `' N : NN0 --> om )
38		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN0 -> P e. NN0 )
39	37, 38	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> ( `' N ` P ) e. om )
40	32, 39	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) e. om )
41	1, 40	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) e. om )
42	9, 21, 23, 41	fvmptd3 5658	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ` ( P + 1 ) ) = if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) )
43	1, 32	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( P + 1 ) = 0 , (/) , ( `' N ` ( ( P + 1 ) - 1 ) ) ) = ( `' N ` P ) )
44	42, 43	eqtr2d 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) = ( J ` ( P + 1 ) ) )
45	18, 44	oveq12d 5943	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = ( ( seq 0 ( G , J ) ` P ) G ( J ` ( P + 1 ) ) ) )
46	14, 16, 45	3eqtr4d 2239	. 2 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) )
47	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ennnfonelemh 12646	. . . 4 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
48	47, 1	ffvelcdmd 5701	. . 3 |- ( ph -> ( H ` P ) e. ( A ^pm om ) )
49	1, 39	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
50	48	elexd 2776	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` P ) e. _V )
51		dmexg 4931	. . . . . . . 8 |- ( ( H ` P ) e. _V -> dom ( H ` P ) e. _V )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` P ) e. _V )
53		fof 5483	. . . . . . . . 9 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
54	5, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om --> A )
55	54, 49	ffvelcdmd 5701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A )
56		opexg 4262	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( H ` P ) e. _V /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A ) -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V )
57	52, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V )
58		snexg 4218	. . . . . 6 |- ( <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. e. _V -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V )
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V )
60		unexg 4479	. . . . 5 |- ( ( ( H ` P ) e. _V /\ { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } e. _V ) -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) e. _V )
61	50, 59, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) e. _V )
62	4, 5, 49	ennnfonelemdc 12641	. . . 4 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
63	50, 61, 62	ifcldcd 3598	. . 3 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) e. _V )
64		id 19	. . . . 5 |- ( x = ( H ` P ) -> x = ( H ` P ) )
65		dmeq 4867	. . . . . . . 8 |- ( x = ( H ` P ) -> dom x = dom ( H ` P ) )
66	65	opeq1d 3815	. . . . . . 7 |- ( x = ( H ` P ) -> <. dom x , ( F ` y ) >. = <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. )
67	66	sneqd 3636	. . . . . 6 |- ( x = ( H ` P ) -> { <. dom x , ( F ` y ) >. } = { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } )
68	64, 67	uneq12d 3319	. . . . 5 |- ( x = ( H ` P ) -> ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) )
69	64, 68	ifeq12d 3581	. . . 4 |- ( x = ( H ` P ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) ) )
70		fveq2 5561	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' N ` P ) ) )
71		imaeq2 5006	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( F " y ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
72	70, 71	eleq12d 2267	. . . . 5 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( ( F ` y ) e. ( F " y ) <-> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
73	70	opeq2d 3816	. . . . . . 7 |- ( y = ( `' N ` P ) -> <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. = <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. )
74	73	sneqd 3636	. . . . . 6 |- ( y = ( `' N ` P ) -> { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } = { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
75	74	uneq2d 3318	. . . . 5 |- ( y = ( `' N ` P ) -> ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
76	72, 75	ifbieq2d 3586	. . . 4 |- ( y = ( `' N ` P ) -> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` y ) >. } ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
77	69, 76, 7	ovmpog 6061	. . 3 |- ( ( ( H ` P ) e. ( A ^pm om ) /\ ( `' N ` P ) e. om /\ if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) e. _V ) -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
78	48, 49, 63, 77	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( H ` P ) G ( `' N ` P ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
79	46, 78	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   _Vcvv 2763   u. cun 3155   (/)c0 3451   ifcif 3562   {csn 3623   <.cop 3626   |-> cmpt 4095   suc csuc 4401   omcom 4627   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   "cima 4667   -->wf 5255   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927  freccfrec 6457   ^pm cpm 6717   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   - cmin 8214   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pm 6719  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  12649  ennnfonelemhdmp1  12651  ennnfonelemss  12652  ennnfonelemkh  12654  ennnfonelemhf1o  12655