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Theorem ennnfonelemp1 11825
Description: Lemma for ennnfone 11844. Value of  H at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfonelemp1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemp1  |-  ( ph  ->  ( H `  ( P  +  1 ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    x, F, y   
j, G    x, H, y    j, J    x, N, y    P, j, x, y    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    P( k, n)    F( j, k, n)    G( x, y, k, n)    H( j, k, n)    J( x, y, k, n)    N( j,
k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemp1
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemp1.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
2 nn0uz 9312 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2208 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 ennnfonelemh.dceq . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
5 ennnfonelemh.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
6 ennnfonelemh.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
7 ennnfonelemh.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
8 ennnfonelemh.n . . . . 5  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
9 ennnfonelemh.j . . . . 5  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
10 ennnfonelemh.h . . . . 5  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemj0 11820 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  0
)  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemg 11822 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  (
f G j )  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemjn 11821 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( J `  f )  e.  om )
143, 11, 12, 13seqp1cd 10190 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 ( P  + 
1 ) )  =  ( (  seq 0
( G ,  J
) `  P ) G ( J `  ( P  +  1
) ) ) )
1510fveq1i 5388 . . . 4  |-  ( H `
 ( P  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 ( P  + 
1 ) )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  ( P  +  1 ) )  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `  ( P  +  1 ) ) )
1710fveq1i 5388 . . . . 5  |-  ( H `
 P )  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `
 P )
1817a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  =  (  seq 0 ( G ,  J ) `  P
) )
19 eqeq1 2122 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( P  + 
1 )  ->  (
x  =  0  <->  ( P  +  1 )  =  0 ) )
20 fvoveq1 5763 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( P  + 
1 )  ->  ( `' N `  ( x  -  1 ) )  =  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )
2119, 20ifbieq2d 3464 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( P  + 
1 )  ->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) )  =  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
22 peano2nn0 8971 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( P  +  1 )  e. 
NN0 )
231, 22syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  +  1 )  e.  NN0 )
24 nn0p1gt0 8960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN0  ->  0  < 
( P  +  1 ) )
2524gt0ne0d 8238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( P  +  1 )  =/=  0 )
2625neneqd 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  NN0  ->  -.  ( P  +  1 )  =  0 )
2726iffalsed 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN0  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )
28 nn0cn 8941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  CC )
29 1cnd 7746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3028, 29pncand 8038 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( ( P  +  1 )  -  1 )  =  P )
3130fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( `' N `  ( ( P  +  1 )  -  1 ) )  =  ( `' N `  P ) )
3227, 31eqtrd 2148 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN0  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( `' N `  P ) )
338frechashgf1o 10152 . . . . . . . . . . 11  |-  N : om
-1-1-onto-> NN0
34 f1ocnv 5346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' N : NN0
-1-1-onto-> om )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  `' N : NN0
-1-1-onto-> om
36 f1of 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' N : NN0 --> om )
3735, 36mp1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN0  ->  `' N : NN0 --> om )
38 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e. 
NN0 )
3937, 38ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( `' N `  P )  e.  om )
4032, 39eqeltrd 2192 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN0  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) )  e. 
om )
411, 40syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  +  1 )  -  1 ) ) )  e.  om )
429, 21, 23, 41fvmptd3 5480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  ( P  +  1 ) )  =  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
431, 32syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( P  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( ( P  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( `' N `  P ) )
4442, 43eqtr2d 2149 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' N `  P )  =  ( J `  ( P  +  1 ) ) )
4518, 44oveq12d 5758 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  P ) G ( `' N `  P ) )  =  ( (  seq 0 ( G ,  J ) `  P ) G ( J `  ( P  +  1 ) ) ) )
4614, 16, 453eqtr4d 2158 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  ( P  +  1 ) )  =  ( ( H `  P ) G ( `' N `  P ) ) )
474, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemh 11823 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( A 
^pm  om ) )
4847, 1ffvelrnd 5522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  e.  ( A 
^pm  om ) )
491, 39syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' N `  P )  e.  om )
5048elexd 2671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  e.  _V )
51 dmexg 4771 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  P )  e.  _V  ->  dom  ( H `  P )  e.  _V )
5250, 51syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  e.  _V )
53 fof 5313 . . . . . . . . 9  |-  ( F : om -onto-> A  ->  F : om --> A )
545, 53syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : om --> A )
5554, 49ffvelrnd 5522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  A )
56 opexg 4118 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( H `  P )  e.  _V  /\  ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  A )  ->  <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >.  e.  _V )
5752, 55, 56syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >.  e.  _V )
58 snexg 4076 . . . . . 6  |-  ( <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 ( `' N `  P ) ) >.  e.  _V  ->  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. }  e.  _V )
5957, 58syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. }  e.  _V )
60 unexg 4332 . . . . 5  |-  ( ( ( H `  P
)  e.  _V  /\  {
<. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. }  e.  _V )  ->  ( ( H `
 P )  u. 
{ <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } )  e. 
_V )
6150, 59, 60syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } )  e. 
_V )
624, 5, 49ennnfonelemdc 11818 . . . 4  |-  ( ph  -> DECID  ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) )
6350, 61, 62ifcldcd 3475 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 ( `' N `  P ) )  e.  ( F " ( `' N `  P ) ) ,  ( H `
 P ) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) )  e.  _V )
64 id 19 . . . . 5  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  x  =  ( H `  P ) )
65 dmeq 4707 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  dom  x  =  dom  ( H `
 P ) )
6665opeq1d 3679 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  <. dom  x ,  ( F `  y ) >.  =  <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >.
)
6766sneqd 3508 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. }  =  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  y ) >. } )
6864, 67uneq12d 3199 . . . . 5  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  (
x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } )  =  ( ( H `  P
)  u.  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >. } ) )
6964, 68ifeq12d 3459 . . . 4  |-  ( x  =  ( H `  P )  ->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) )  =  if ( ( F `
 y )  e.  ( F " y
) ,  ( H `
 P ) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  y )
>. } ) ) )
70 fveq2 5387 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' N `  P ) ) )
71 imaeq2 4845 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  ( F " y )  =  ( F " ( `' N `  P ) ) )
7270, 71eleq12d 2186 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" y )  <->  ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F " ( `' N `  P ) ) ) )
7370opeq2d 3680 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  y ) >.  =  <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 ( `' N `  P ) ) >.
)
7473sneqd 3508 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >. }  =  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } )
7574uneq2d 3198 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  (
( H `  P
)  u.  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >. } )  =  ( ( H `  P
)  u.  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 ( `' N `  P ) ) >. } ) )
7672, 75ifbieq2d 3464 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' N `  P )  ->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  ( H `  P ) ,  ( ( H `  P
)  u.  { <. dom  ( H `  P
) ,  ( F `
 y ) >. } ) )  =  if ( ( F `
 ( `' N `  P ) )  e.  ( F " ( `' N `  P ) ) ,  ( H `
 P ) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
7769, 76, 7ovmpog 5871 . . 3  |-  ( ( ( H `  P
)  e.  ( A 
^pm  om )  /\  ( `' N `  P )  e.  om  /\  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) )  e.  _V )  -> 
( ( H `  P ) G ( `' N `  P ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
7848, 49, 63, 77syl3anc 1199 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  P ) G ( `' N `  P ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
7946, 78eqtrd 2148 1  |-  ( ph  ->  ( H `  ( P  +  1 ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  P ) )  e.  ( F
" ( `' N `  P ) ) ,  ( H `  P
) ,  ( ( H `  P )  u.  { <. dom  ( H `  P ) ,  ( F `  ( `' N `  P ) ) >. } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391   E.wrex 2392   {crab 2395   _Vcvv 2658    u. cun 3037   (/)c0 3331   ifcif 3442   {csn 3495   <.cop 3498    |-> cmpt 3957   suc csuc 4255   omcom 4472   `'ccnv 4506   dom cdm 4507   "cima 4510   -->wf 5087   -onto->wfo 5089   -1-1-onto->wf1o 5090   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    e. cmpo 5742  freccfrec 6253    ^pm cpm 6509   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    - cmin 7897   NN0cn0 8931   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278    seqcseq 10169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pm 6511  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-seqfrec 10170
This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  11826  ennnfonelemhdmp1  11828  ennnfonelemss  11829  ennnfonelemkh  11831  ennnfonelemhf1o  11832
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