Theorem exmidsbthr 13902

Description: The Schroeder-Bernstein Theorem implies excluded middle. Theorem 1 of [PradicBrown2022], p. 1. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthr	|- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidsbthr

Dummy variables i j p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2172	. . . . 5 |- ( j = i -> ( j = (/) <-> i = (/) ) )
2		unieq 3798	. . . . . 6 |- ( j = i -> U. j = U. i )
3	2	fveq2d 5490	. . . . 5 |- ( j = i -> ( p ` U. j ) = ( p ` U. i ) )
4	1, 3	ifbieq2d 3544	. . . 4 |- ( j = i -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) )
5	4	cbvmptv 4078	. . 3 |- ( j e. om |-> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) )
6	5	mpteq2i 4069	. 2 |- ( p e. ℕ∞ |-> ( j e. om |-> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) ) ) = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
7	6	exmidsbthrlem 13901	1 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1341   = wceq 1343   (/)c0 3409   ifcif 3520   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043  EXMIDwem 4173   omcom 4567   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ~~ cen 6704   ~<_ cdom 6705  ℕ_∞xnninf 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-en 6707  df-dom 6708  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049  df-nninf 7085  df-omni 7099

This theorem is referenced by:  exmidsbth  13903