Theorem exmidsbthr 14020

Description: The Schroeder-Bernstein Theorem implies excluded middle. Theorem 1 of [PradicBrown2022], p. 1. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthr	|- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidsbthr

Dummy variables i j p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2177	. . . . 5 |- ( j = i -> ( j = (/) <-> i = (/) ) )
2		unieq 3803	. . . . . 6 |- ( j = i -> U. j = U. i )
3	2	fveq2d 5498	. . . . 5 |- ( j = i -> ( p ` U. j ) = ( p ` U. i ) )
4	1, 3	ifbieq2d 3549	. . . 4 |- ( j = i -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) )
5	4	cbvmptv 4083	. . 3 |- ( j e. om |-> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) )
6	5	mpteq2i 4074	. 2 |- ( p e. ℕ∞ |-> ( j e. om |-> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) ) ) = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
7	6	exmidsbthrlem 14019	1 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   = wceq 1348   (/)c0 3414   ifcif 3525   U.cuni 3794   class class class wbr 3987   |-> cmpt 4048  EXMIDwem 4178   omcom 4572   ` cfv 5196   1oc1o 6386   ~~ cen 6714   ~<_ cdom 6715  ℕ_∞xnninf 7094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-exmid 4179  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-1o 6393  df-2o 6394  df-map 6626  df-en 6717  df-dom 6718  df-dju 7013  df-inl 7022  df-inr 7023  df-case 7059  df-nninf 7095  df-omni 7109

This theorem is referenced by:  exmidsbth  14021