Theorem exmidsbthr 16134

Description: The Schroeder-Bernstein Theorem implies excluded middle. Theorem 1 of [PradicBrown2022], p. 1. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthr	|- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidsbthr

Dummy variables i j p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2213	. . . . 5 |- ( j = i -> ( j = (/) <-> i = (/) ) )
2		unieq 3868	. . . . . 6 |- ( j = i -> U. j = U. i )
3	2	fveq2d 5598	. . . . 5 |- ( j = i -> ( p ` U. j ) = ( p ` U. i ) )
4	1, 3	ifbieq2d 3600	. . . 4 |- ( j = i -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) )
5	4	cbvmptv 4151	. . 3 |- ( j e. om |-> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) )
6	5	mpteq2i 4142	. 2 |- ( p e. ℕ∞ |-> ( j e. om |-> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) ) ) = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
7	6	exmidsbthrlem 16133	1 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   = wceq 1373   (/)c0 3464   ifcif 3575   U.cuni 3859   class class class wbr 4054   |-> cmpt 4116  EXMIDwem 4249   omcom 4651   ` cfv 5285   1oc1o 6513   ~~ cen 6843   ~<_ cdom 6844  ℕ_∞xnninf 7242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-exmid 4250  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-1o 6520  df-2o 6521  df-map 6755  df-en 6846  df-dom 6847  df-dju 7161  df-inl 7170  df-inr 7171  df-case 7207  df-nninf 7243  df-omni 7258

This theorem is referenced by:  exmidsbth  16135