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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulgval | Unicode version |
Description: Value of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
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mulgval.b |
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mulgval.p |
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mulgval.o |
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mulgval.i |
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mulgval.t |
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mulgval.s |
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Ref | Expression |
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mulgval |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | mulgval.b |
. . . 4
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2 | 1 | basmex 12503 |
. . 3
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3 | 2 | adantl 277 |
. 2
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4 | mulgval.p |
. . . . 5
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5 | mulgval.o |
. . . . 5
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6 | mulgval.i |
. . . . 5
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7 | mulgval.t |
. . . . 5
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8 | 1, 4, 5, 6, 7 | mulgfvalg 12874 |
. . . 4
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9 | 8 | adantl 277 |
. . 3
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10 | simpl 109 |
. . . . . 6
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11 | 10 | eqeq1d 2186 |
. . . . 5
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12 | 10 | breq2d 4012 |
. . . . . 6
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13 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 13 | sneqd 3604 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 14 | xpeq2d 4647 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | seqeq3d 10439 |
. . . . . . . 8
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17 | mulgval.s |
. . . . . . . 8
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18 | 16, 17 | eqtr4di 2228 |
. . . . . . 7
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19 | 18, 10 | fveq12d 5518 |
. . . . . 6
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20 | 10 | negeqd 8142 |
. . . . . . . 8
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21 | 18, 20 | fveq12d 5518 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | fveq2d 5515 |
. . . . . 6
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23 | 12, 19, 22 | ifbieq12d 3560 |
. . . . 5
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24 | 11, 23 | ifbieq2d 3558 |
. . . 4
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25 | 24 | adantl 277 |
. . 3
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26 | simpll 527 |
. . 3
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27 | simplr 528 |
. . 3
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28 | fn0g 12686 |
. . . . . . 7
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29 | funfvex 5528 |
. . . . . . . 8
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30 | 29 | funfni 5312 |
. . . . . . 7
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31 | 28, 30 | mpan 424 |
. . . . . 6
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32 | 5, 31 | eqeltrid 2264 |
. . . . 5
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33 | 32 | ad2antlr 489 |
. . . 4
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34 | nnuz 9552 |
. . . . . . . . 9
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35 | 1zzd 9269 |
. . . . . . . . 9
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36 | fvconst2g 5726 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 36, 37 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | elexd 2750 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | adantlr 477 |
. . . . . . . . 9
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41 | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
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42 | plusgslid 12551 |
. . . . . . . . . . . . 13
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43 | 42 | slotex 12472 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 4, 43 | eqeltrid 2264 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 44 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . 10
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46 | simprr 531 |
. . . . . . . . . 10
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47 | ovexg 5903 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 41, 45, 46, 47 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . 9
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49 | 34, 35, 40, 48 | seqf 10447 |
. . . . . . . 8
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50 | 17 | feq1i 5354 |
. . . . . . . 8
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51 | 49, 50 | sylibr 134 |
. . . . . . 7
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52 | 51 | ad5ant23 522 |
. . . . . 6
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53 | simp-4l 541 |
. . . . . . 7
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54 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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55 | elnnz 9252 |
. . . . . . 7
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56 | 53, 54, 55 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
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57 | 52, 56 | ffvelcdmd 5648 |
. . . . 5
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58 | 1, 6 | grpinvfng 12807 |
. . . . . . . 8
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59 | basfn 12502 |
. . . . . . . . . 10
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60 | funfvex 5528 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | 60 | funfni 5312 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 59, 61 | mpan 424 |
. . . . . . . . 9
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63 | 1, 62 | eqeltrid 2264 |
. . . . . . . 8
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64 | fnex 5734 |
. . . . . . . 8
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65 | 58, 63, 64 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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66 | 65 | ad3antlr 493 |
. . . . . 6
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67 | 51 | ad5ant23 522 |
. . . . . . 7
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68 | znegcl 9273 |
. . . . . . . . 9
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69 | 68 | ad4antr 494 |
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70 | simplr 528 |
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71 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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72 | ztri3or0 9284 |
. . . . . . . . . . 11
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73 | 72 | ad4antr 494 |
. . . . . . . . . 10
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74 | 70, 71, 73 | ecase23d 1350 |
. . . . . . . . 9
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75 | zre 9246 |
. . . . . . . . . . 11
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76 | 75 | ad4antr 494 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76 | lt0neg1d 8462 |
. . . . . . . . 9
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78 | 74, 77 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
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79 | elnnz 9252 |
. . . . . . . 8
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80 | 69, 78, 79 | sylanbrc 417 |
. . . . . . 7
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81 | 67, 80 | ffvelcdmd 5648 |
. . . . . 6
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82 | fvexg 5530 |
. . . . . 6
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83 | 66, 81, 82 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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84 | 0zd 9254 |
. . . . . 6
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85 | simplll 533 |
. . . . . 6
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86 | zdclt 9319 |
. . . . . 6
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87 | 84, 85, 86 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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88 | 57, 83, 87 | ifcldadc 3563 |
. . . 4
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89 | 0zd 9254 |
. . . . 5
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90 | zdceq 9317 |
. . . . 5
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91 | 26, 89, 90 | syl2anc 411 |
. . . 4
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92 | 33, 88, 91 | ifcldadc 3563 |
. . 3
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93 | 9, 25, 26, 27, 92 | ovmpod 5996 |
. 2
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94 | 3, 93 | mpdan 421 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-addcom 7902 ax-addass 7904 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-ltadd 7918 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-inn 8909 df-2 8967 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-seqfrec 10432 df-ndx 12448 df-slot 12449 df-base 12451 df-plusg 12531 df-0g 12655 df-minusg 12771 df-mulg 12873 |
This theorem is referenced by: mulg0 12877 mulgnn 12878 mulgnegnn 12882 |
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