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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > exp3val | Unicode version |
Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.) |
Ref | Expression |
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exp3val |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 1cnd 7806 |
. . 3
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2 | simp1 982 |
. . . . . . 7
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3 | nnuz 9385 |
. . . . . . . 8
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4 | 1zzd 9105 |
. . . . . . . 8
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5 | fvconst2g 5642 |
. . . . . . . . 9
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6 | simpl 108 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | eqeltrd 2217 |
. . . . . . . 8
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8 | mulcl 7771 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
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10 | 3, 4, 7, 9 | seqf 10265 |
. . . . . . 7
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11 | 2, 10 | syl 14 |
. . . . . 6
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12 | 11 | ad2antrr 480 |
. . . . 5
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13 | simp2 983 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | ad2antrr 480 |
. . . . . 6
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15 | simpr 109 |
. . . . . 6
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16 | elnnz 9088 |
. . . . . 6
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17 | 14, 15, 16 | sylanbrc 414 |
. . . . 5
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18 | 12, 17 | ffvelrnd 5564 |
. . . 4
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19 | 11 | ad2antrr 480 |
. . . . . 6
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20 | 13 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | znegcld 9199 |
. . . . . . 7
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22 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | eqcom 2142 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 23, 24 | sylnib 666 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | ioran 742 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 22, 25, 26 | sylanbrc 414 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 0zd 9090 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | zleloe 9125 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 28, 20, 29 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 27, 30 | mtbird 663 |
. . . . . . . . 9
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32 | zltnle 9124 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 20, 28, 32 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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34 | 31, 33 | mpbird 166 |
. . . . . . . 8
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35 | 20 | zred 9197 |
. . . . . . . . 9
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36 | 35 | lt0neg1d 8301 |
. . . . . . . 8
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37 | 34, 36 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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38 | elnnz 9088 |
. . . . . . 7
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39 | 21, 37, 38 | sylanbrc 414 |
. . . . . 6
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40 | 19, 39 | ffvelrnd 5564 |
. . . . 5
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41 | 2 | ad2antrr 480 |
. . . . . 6
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42 | simpll3 1023 |
. . . . . . 7
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43 | 31, 42 | ecased 1328 |
. . . . . 6
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44 | 41, 43, 39 | exp3vallem 10325 |
. . . . 5
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45 | 40, 44 | recclapd 8565 |
. . . 4
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46 | 0zd 9090 |
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47 | simpl2 986 |
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48 | zdclt 9152 |
. . . . 5
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49 | 46, 47, 48 | syl2anc 409 |
. . . 4
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50 | 18, 45, 49 | ifcldadc 3506 |
. . 3
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51 | 0zd 9090 |
. . . 4
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52 | zdceq 9150 |
. . . 4
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53 | 13, 51, 52 | syl2anc 409 |
. . 3
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54 | 1, 50, 53 | ifcldadc 3506 |
. 2
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55 | sneq 3543 |
. . . . . . . 8
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56 | 55 | xpeq2d 4571 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | seqeq3d 10257 |
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58 | 57 | fveq1d 5431 |
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59 | 57 | fveq1d 5431 |
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61 | 58, 60 | ifeq12d 3496 |
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62 | 61 | ifeq2d 3495 |
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63 | eqeq1 2147 |
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64 | breq2 3941 |
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65 | fveq2 5429 |
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66 | negeq 7979 |
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67 | 66 | fveq2d 5433 |
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68 | 67 | oveq2d 5798 |
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69 | 64, 65, 68 | ifbieq12d 3503 |
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70 | 63, 69 | ifbieq2d 3501 |
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71 | df-exp 10324 |
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72 | 62, 70, 71 | ovmpog 5913 |
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73 | 54, 72 | syld3an3 1262 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 |
This theorem is referenced by: expnnval 10327 exp0 10328 expnegap0 10332 |
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