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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > exp3val | Unicode version |
Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.) |
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exp3val |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 1cnd 7973 |
. . 3
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2 | simp1 997 |
. . . . . . 7
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3 | nnuz 9563 |
. . . . . . . 8
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4 | 1zzd 9280 |
. . . . . . . 8
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5 | fvconst2g 5731 |
. . . . . . . . 9
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6 | simpl 109 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . 8
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8 | mulcl 7938 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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10 | 3, 4, 7, 9 | seqf 10461 |
. . . . . . 7
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11 | 2, 10 | syl 14 |
. . . . . 6
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12 | 11 | ad2antrr 488 |
. . . . 5
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13 | simp2 998 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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15 | simpr 110 |
. . . . . 6
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16 | elnnz 9263 |
. . . . . 6
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17 | 14, 15, 16 | sylanbrc 417 |
. . . . 5
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18 | 12, 17 | ffvelcdmd 5653 |
. . . 4
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19 | 11 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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20 | 13 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | znegcld 9377 |
. . . . . . 7
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22 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | eqcom 2179 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 23, 24 | sylnib 676 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | ioran 752 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 22, 25, 26 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 0zd 9265 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | zleloe 9300 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 28, 20, 29 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 27, 30 | mtbird 673 |
. . . . . . . . 9
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32 | zltnle 9299 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 20, 28, 32 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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34 | 31, 33 | mpbird 167 |
. . . . . . . 8
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35 | 20 | zred 9375 |
. . . . . . . . 9
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36 | 35 | lt0neg1d 8472 |
. . . . . . . 8
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37 | 34, 36 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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38 | elnnz 9263 |
. . . . . . 7
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39 | 21, 37, 38 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
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40 | 19, 39 | ffvelcdmd 5653 |
. . . . 5
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41 | 2 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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42 | simpll3 1038 |
. . . . . . 7
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43 | 31, 42 | ecased 1349 |
. . . . . 6
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44 | 41, 43, 39 | exp3vallem 10521 |
. . . . 5
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45 | 40, 44 | recclapd 8738 |
. . . 4
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46 | 0zd 9265 |
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47 | simpl2 1001 |
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48 | zdclt 9330 |
. . . . 5
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49 | 46, 47, 48 | syl2anc 411 |
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50 | 18, 45, 49 | ifcldadc 3564 |
. . 3
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51 | 0zd 9265 |
. . . 4
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52 | zdceq 9328 |
. . . 4
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53 | 13, 51, 52 | syl2anc 411 |
. . 3
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54 | 1, 50, 53 | ifcldadc 3564 |
. 2
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55 | sneq 3604 |
. . . . . . . 8
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56 | 55 | xpeq2d 4651 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | seqeq3d 10453 |
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58 | 57 | fveq1d 5518 |
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59 | 57 | fveq1d 5518 |
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60 | 59 | oveq2d 5891 |
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61 | 58, 60 | ifeq12d 3554 |
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62 | 61 | ifeq2d 3553 |
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63 | eqeq1 2184 |
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64 | breq2 4008 |
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65 | fveq2 5516 |
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66 | negeq 8150 |
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67 | 66 | fveq2d 5520 |
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68 | 67 | oveq2d 5891 |
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69 | 64, 65, 68 | ifbieq12d 3561 |
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70 | 63, 69 | ifbieq2d 3559 |
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71 | df-exp 10520 |
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72 | 62, 70, 71 | ovmpog 6009 |
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73 | 54, 72 | syld3an3 1283 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-frec 6392 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 |
This theorem is referenced by: expnnval 10523 exp0 10524 expnegap0 10528 |
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