Theorem ifbieq2d 3627

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq2d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq2d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐶, 𝐴) = if(𝜒, 𝐶, 𝐵))

Proof of Theorem ifbieq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3624	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐶, 𝐴) = if(𝜒, 𝐶, 𝐴))
3		ifbieq2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq2d 3621	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐶, 𝐴) = if(𝜒, 𝐶, 𝐵))
5	2, 4	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐶, 𝐴) = if(𝜒, 𝐶, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ifcif 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-if 3603

This theorem is referenced by:  difinfsnlem  7254  ctmlemr  7263  xnegeq  10011  xaddval  10029  iseqf1olemqval  10709  iseqf1olemqk  10716  seq3f1olemqsum  10722  exp3val  10750  gcdval  12466  gcdass  12522  lcmval  12571  lcmass  12593  pcval  12805  ennnfonelemj0  12958  ennnfonelemjn  12959  ennnfonelem0  12962  ennnfonelemp1  12963  ennnfonelemnn0  12979  mulgval  13645  znval  14585  lgsval  15668  lgsfvalg  15669  lgsval2lem  15674  nnsf  16302  peano4nninf  16303  peano3nninf  16304  exmidsbthr  16322