Theorem ifbieq2d 3646

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq2d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq2d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐶, 𝐴) = if(𝜒, 𝐶, 𝐵))

Proof of Theorem ifbieq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3643	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐶, 𝐴) = if(𝜒, 𝐶, 𝐴))
3		ifbieq2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq2d 3640	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐶, 𝐴) = if(𝜒, 𝐶, 𝐵))
5	2, 4	eqtrd 2265	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐶, 𝐴) = if(𝜒, 𝐶, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ifcif 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2814  df-un 3214  df-if 3620

This theorem is referenced by:  difinfsnlem  7389  ctmlemr  7398  xnegeq  10159  xaddval  10177  iseqf1olemqval  10861  iseqf1olemqk  10868  seq3f1olemqsum  10874  exp3val  10902  gcdval  12651  gcdass  12707  lcmval  12756  lcmass  12778  pcval  12990  ennnfonelemj0  13144  ennnfonelemjn  13145  ennnfonelem0  13148  ennnfonelemp1  13149  ennnfonelemnn0  13165  mulgval  13831  znval  14776  lgsval  15869  lgsfvalg  15870  lgsval2lem  15875  eupth2lem3lem3fi  16457  eupth2fi  16466  depindlem1  16493  nnsf  16775  peano4nninf  16776  peano3nninf  16777  exmidsbthr  16795