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Theorem lble 8918
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑦,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 8916 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
2 nfcv 2329 . . . . . . 7 𝑥𝑆
3 nfriota1 5851 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
4 nfcv 2329 . . . . . . . 8 𝑥
5 nfcv 2329 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
63, 4, 5nfbr 4061 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦
72, 6nfralxy 2525 . . . . . 6 𝑥𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦
8 eqid 2187 . . . . . 6 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
9 nfra1 2518 . . . . . . . . 9 𝑦𝑦𝑆 𝑥𝑦
10 nfcv 2329 . . . . . . . . 9 𝑦𝑆
119, 10nfriota 5853 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
1211nfeq2 2341 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
13 breq1 4018 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
1412, 13ralbid 2485 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
157, 8, 14riotaprop 5867 . . . . 5 (∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
161, 15syl 14 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
1716simprd 114 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦)
18 nfcv 2329 . . . . 5 𝑦
19 nfcv 2329 . . . . 5 𝑦𝐴
2011, 18, 19nfbr 4061 . . . 4 𝑦(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴
21 breq2 4019 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦 ↔ (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴))
2220, 21rspc 2847 . . 3 (𝐴𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴))
2317, 22mpan9 281 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
24233impa 1195 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  wral 2465  wrex 2466  ∃!wreu 2467  wss 3141   class class class wbr 4015  crio 5843  cr 7824  cle 8007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-apti 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-iota 5190  df-riota 5844  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012
This theorem is referenced by:  lbinf  8919  lbinfle  8921
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