ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lble GIF version

Theorem lble 8380
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑦,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 8378 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
2 nfcv 2228 . . . . . . 7 𝑥𝑆
3 nfriota1 5597 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
4 nfcv 2228 . . . . . . . 8 𝑥
5 nfcv 2228 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
63, 4, 5nfbr 3881 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦
72, 6nfralxy 2414 . . . . . 6 𝑥𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦
8 eqid 2088 . . . . . 6 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
9 nfra1 2409 . . . . . . . . 9 𝑦𝑦𝑆 𝑥𝑦
10 nfcv 2228 . . . . . . . . 9 𝑦𝑆
119, 10nfriota 5599 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
1211nfeq2 2240 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
13 breq1 3840 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
1412, 13ralbid 2378 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
157, 8, 14riotaprop 5613 . . . . 5 (∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
161, 15syl 14 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
1716simprd 112 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦)
18 nfcv 2228 . . . . 5 𝑦
19 nfcv 2228 . . . . 5 𝑦𝐴
2011, 18, 19nfbr 3881 . . . 4 𝑦(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴
21 breq2 3841 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦 ↔ (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴))
2220, 21rspc 2716 . . 3 (𝐴𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴))
2317, 22mpan9 275 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
24233impa 1138 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  ∃!wreu 2361  wss 2997   class class class wbr 3837  crio 5589  cr 7328  cle 7502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-apti 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-iota 4967  df-riota 5590  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507
This theorem is referenced by:  lbinf  8381  lbinfle  8383
  Copyright terms: Public domain W3C validator