Theorem rspc 2923

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1625	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2907	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	biimtrid 152	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcv  2925  rspc2  2941  rspc2vd  3216  pofun  4459  omsinds  4771  fmptcof  5878  fliftfuns  6007  qliftfuns  6898  xpf1o  7150  finexdc  7213  ssfirab  7250  opabfi  7253  iunfidisj  7266  dcfi  7320  cc3  7640  lble  9285  exfzdc  10675  zsupcllemstep  10678  infssuzex  10682  uzsinds  10901  sumeq2  12149  sumfct  12164  sumrbdclem  12168  summodclem3  12171  summodclem2a  12172  zsumdc  12175  fsumgcl  12177  fsum3  12178  fsumf1o  12181  isumss  12182  isumss2  12184  fsum3cvg2  12185  fsumadd  12197  isummulc2  12217  fsum2dlemstep  12225  fisumcom2  12229  fsumshftm  12236  fisum0diag2  12238  fsummulc2  12239  fsum00  12253  fsumabs  12256  fsumrelem  12262  fsumiun  12268  isumshft  12281  mertenslem2  12327  prodeq2  12348  prodrbdclem  12362  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  zproddc  12370  fprodseq  12374  prodfct  12378  fprodf1o  12379  prodssdc  12380  fprodmul  12382  fprodm1s  12392  fprodp1s  12393  fprodabs  12407  fprodap0  12412  fprod2dlemstep  12413  fprodcom2fi  12417  fprodrec  12420  fprodap0f  12427  fprodle  12431  bezoutlemmain  12799  nnwosdc  12840  pcmpt  13150  ctiunctlemudc  13385  gsummptfidmadd  14250  gsummptfidmsplit  14253  gsumsnfdcmn  14256  idjusnfi  14269  iuncld  15358  txcnp  15514  fsumcncntop  15810  bj-nntrans  17199