Theorem rspc 2870

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2488	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2347	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1550	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1594	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2267	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2854	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	biimtrid 152	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1370   = wceq 1372   F/wnf 1482   e. wcel 2175   A.wral 2483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-v 2773

This theorem is referenced by:  rspcv  2872  rspc2  2887  rspc2vd  3161  pofun  4358  omsinds  4669  fmptcof  5746  fliftfuns  5866  qliftfuns  6705  xpf1o  6940  finexdc  6998  ssfirab  7032  opabfi  7034  iunfidisj  7047  dcfi  7082  cc3  7379  lble  9019  exfzdc  10367  zsupcllemstep  10370  infssuzex  10374  uzsinds  10587  sumeq2  11641  sumfct  11656  sumrbdclem  11659  summodclem3  11662  summodclem2a  11663  zsumdc  11666  fsumgcl  11668  fsum3  11669  fsumf1o  11672  isumss  11673  isumss2  11675  fsum3cvg2  11676  fsumadd  11688  isummulc2  11708  fsum2dlemstep  11716  fisumcom2  11720  fsumshftm  11727  fisum0diag2  11729  fsummulc2  11730  fsum00  11744  fsumabs  11747  fsumrelem  11753  fsumiun  11759  isumshft  11772  mertenslem2  11818  prodeq2  11839  prodrbdclem  11853  prodmodclem3  11857  prodmodclem2a  11858  zproddc  11861  fprodseq  11865  prodfct  11869  fprodf1o  11870  prodssdc  11871  fprodmul  11873  fprodm1s  11883  fprodp1s  11884  fprodabs  11898  fprodap0  11903  fprod2dlemstep  11904  fprodcom2fi  11908  fprodrec  11911  fprodap0f  11918  fprodle  11922  bezoutlemmain  12290  nnwosdc  12331  pcmpt  12637  ctiunctlemudc  12779  gsumfzfsumlemm  14320  iuncld  14558  txcnp  14714  fsumcncntop  15010  bj-nntrans  15849