Theorem rspc 2901

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2513	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1574	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1618	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2292	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2885	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	biimtrid 152	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   F/wnf 1506   e. wcel 2200   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801

This theorem is referenced by:  rspcv  2903  rspc2  2918  rspc2vd  3193  pofun  4403  omsinds  4714  fmptcof  5804  fliftfuns  5928  qliftfuns  6774  xpf1o  7013  finexdc  7073  ssfirab  7109  opabfi  7111  iunfidisj  7124  dcfi  7159  cc3  7465  lble  9105  exfzdc  10458  zsupcllemstep  10461  infssuzex  10465  uzsinds  10678  sumeq2  11886  sumfct  11901  sumrbdclem  11904  summodclem3  11907  summodclem2a  11908  zsumdc  11911  fsumgcl  11913  fsum3  11914  fsumf1o  11917  isumss  11918  isumss2  11920  fsum3cvg2  11921  fsumadd  11933  isummulc2  11953  fsum2dlemstep  11961  fisumcom2  11965  fsumshftm  11972  fisum0diag2  11974  fsummulc2  11975  fsum00  11989  fsumabs  11992  fsumrelem  11998  fsumiun  12004  isumshft  12017  mertenslem2  12063  prodeq2  12084  prodrbdclem  12098  prodmodclem3  12102  prodmodclem2a  12103  zproddc  12106  fprodseq  12110  prodfct  12114  fprodf1o  12115  prodssdc  12116  fprodmul  12118  fprodm1s  12128  fprodp1s  12129  fprodabs  12143  fprodap0  12148  fprod2dlemstep  12149  fprodcom2fi  12153  fprodrec  12156  fprodap0f  12163  fprodle  12167  bezoutlemmain  12535  nnwosdc  12576  pcmpt  12882  ctiunctlemudc  13024  gsumfzfsumlemm  14567  iuncld  14805  txcnp  14961  fsumcncntop  15257  bj-nntrans  16397