Theorem rspc 2923

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1625	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2907	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	biimtrid 152	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcv  2925  rspc2  2941  rspc2vd  3216  pofun  4459  omsinds  4771  fmptcof  5878  fliftfuns  6007  qliftfuns  6897  xpf1o  7148  finexdc  7211  ssfirab  7248  opabfi  7251  iunfidisj  7264  dcfi  7320  cc3  7640  lble  9285  exfzdc  10676  zsupcllemstep  10679  infssuzex  10683  uzsinds  10902  sumeq2  12150  sumfct  12165  sumrbdclem  12169  summodclem3  12172  summodclem2a  12173  zsumdc  12176  fsumgcl  12178  fsum3  12179  fsumf1o  12182  isumss  12183  isumss2  12185  fsum3cvg2  12186  fsumadd  12198  isummulc2  12218  fsum2dlemstep  12226  fisumcom2  12230  fsumshftm  12237  fisum0diag2  12239  fsummulc2  12240  fsum00  12254  fsumabs  12257  fsumrelem  12263  fsumiun  12269  isumshft  12282  mertenslem2  12328  prodeq2  12349  prodrbdclem  12363  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  zproddc  12371  fprodseq  12375  prodfct  12379  fprodf1o  12380  prodssdc  12381  fprodmul  12383  fprodm1s  12393  fprodp1s  12394  fprodabs  12408  fprodap0  12413  fprod2dlemstep  12414  fprodcom2fi  12418  fprodrec  12421  fprodap0f  12428  fprodle  12432  bezoutlemmain  12800  nnwosdc  12841  pcmpt  13151  ctiunctlemudc  13386  gsummptfidmadd  14251  gsummptfidmsplit  14254  gsumsnfdcmn  14257  idjusnfi  14270  iuncld  15341  txcnp  15497  fsumcncntop  15793  bj-nntrans  17182