Theorem rspc 2783

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2421	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2281	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1508	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1551	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2768	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	syl5bi 151	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   F/wnf 1436   e. wcel 1480   A.wral 2416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688

This theorem is referenced by:  rspcv  2785  rspc2  2800  pofun  4234  omsinds  4535  fmptcof  5587  fliftfuns  5699  qliftfuns  6513  xpf1o  6738  finexdc  6796  ssfirab  6822  iunfidisj  6834  lble  8705  exfzdc  10017  uzsinds  10215  sumeq2  11128  sumfct  11143  sumrbdclem  11146  summodclem3  11149  summodclem2a  11150  zsumdc  11153  fsumgcl  11155  fsum3  11156  fsumf1o  11159  isumss  11160  isumss2  11162  fsum3cvg2  11163  fsumadd  11175  isummulc2  11195  fsum2dlemstep  11203  fisumcom2  11207  fsumshftm  11214  fisum0diag2  11216  fsummulc2  11217  fsum00  11231  fsumabs  11234  fsumrelem  11240  fsumiun  11246  isumshft  11259  mertenslem2  11305  prodeq2  11326  prodrbdclem  11340  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  zsupcllemstep  11638  infssuzex  11642  bezoutlemmain  11686  ctiunctlemudc  11950  iuncld  12284  txcnp  12440  fsumcncntop  12725  bj-nntrans  13149