Theorem rspc 2923

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1625	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2907	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	biimtrid 152	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcv  2925  rspc2  2941  rspc2vd  3216  pofun  4457  omsinds  4769  fmptcof  5875  fliftfuns  6004  qliftfuns  6893  xpf1o  7144  finexdc  7207  ssfirab  7244  opabfi  7247  iunfidisj  7260  dcfi  7315  cc3  7635  lble  9280  exfzdc  10670  zsupcllemstep  10673  infssuzex  10677  uzsinds  10896  sumeq2  12144  sumfct  12159  sumrbdclem  12163  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  zsumdc  12170  fsumgcl  12172  fsum3  12173  fsumf1o  12176  isumss  12177  isumss2  12179  fsum3cvg2  12180  fsumadd  12192  isummulc2  12212  fsum2dlemstep  12220  fisumcom2  12224  fsumshftm  12231  fisum0diag2  12233  fsummulc2  12234  fsum00  12248  fsumabs  12251  fsumrelem  12257  fsumiun  12263  isumshft  12276  mertenslem2  12322  prodeq2  12343  prodrbdclem  12357  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  zproddc  12365  fprodseq  12369  prodfct  12373  fprodf1o  12374  prodssdc  12375  fprodmul  12377  fprodm1s  12387  fprodp1s  12388  fprodabs  12402  fprodap0  12407  fprod2dlemstep  12408  fprodcom2fi  12412  fprodrec  12415  fprodap0f  12422  fprodle  12426  bezoutlemmain  12794  nnwosdc  12835  pcmpt  13145  ctiunctlemudc  13380  gsummptfidmadd  14245  iuncld  15307  txcnp  15463  fsumcncntop  15759  bj-nntrans  17143