Theorem rspc 2923

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1625	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2907	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	biimtrid 152	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcv  2925  rspc2  2941  rspc2vd  3216  pofun  4457  omsinds  4769  fmptcof  5875  fliftfuns  6004  qliftfuns  6893  xpf1o  7144  finexdc  7207  ssfirab  7244  opabfi  7247  iunfidisj  7260  dcfi  7315  cc3  7634  lble  9279  exfzdc  10669  zsupcllemstep  10672  infssuzex  10676  uzsinds  10894  sumeq2  12141  sumfct  12156  sumrbdclem  12160  summodclem3  12163  summodclem2a  12164  zsumdc  12167  fsumgcl  12169  fsum3  12170  fsumf1o  12173  isumss  12174  isumss2  12176  fsum3cvg2  12177  fsumadd  12189  isummulc2  12209  fsum2dlemstep  12217  fisumcom2  12221  fsumshftm  12228  fisum0diag2  12230  fsummulc2  12231  fsum00  12245  fsumabs  12248  fsumrelem  12254  fsumiun  12260  isumshft  12273  mertenslem2  12319  prodeq2  12340  prodrbdclem  12354  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  zproddc  12362  fprodseq  12366  prodfct  12370  fprodf1o  12371  prodssdc  12372  fprodmul  12374  fprodm1s  12384  fprodp1s  12385  fprodabs  12399  fprodap0  12404  fprod2dlemstep  12405  fprodcom2fi  12409  fprodrec  12412  fprodap0f  12419  fprodle  12423  bezoutlemmain  12791  nnwosdc  12832  pcmpt  13142  ctiunctlemudc  13377  gsummptfidmadd  14210  iuncld  15265  txcnp  15421  fsumcncntop  15717  bj-nntrans  17075