Theorem rspc 2904

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2515	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2374	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1576	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1620	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2294	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2888	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	biimtrid 152	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   F/wnf 1508   e. wcel 2202   A.wral 2510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804

This theorem is referenced by:  rspcv  2906  rspc2  2921  rspc2vd  3196  pofun  4409  omsinds  4720  fmptcof  5814  fliftfuns  5939  qliftfuns  6788  xpf1o  7030  finexdc  7092  ssfirab  7129  opabfi  7132  iunfidisj  7145  dcfi  7180  cc3  7487  lble  9127  exfzdc  10487  zsupcllemstep  10490  infssuzex  10494  uzsinds  10707  sumeq2  11937  sumfct  11952  sumrbdclem  11956  summodclem3  11959  summodclem2a  11960  zsumdc  11963  fsumgcl  11965  fsum3  11966  fsumf1o  11969  isumss  11970  isumss2  11972  fsum3cvg2  11973  fsumadd  11985  isummulc2  12005  fsum2dlemstep  12013  fisumcom2  12017  fsumshftm  12024  fisum0diag2  12026  fsummulc2  12027  fsum00  12041  fsumabs  12044  fsumrelem  12050  fsumiun  12056  isumshft  12069  mertenslem2  12115  prodeq2  12136  prodrbdclem  12150  prodmodclem3  12154  prodmodclem2a  12155  zproddc  12158  fprodseq  12162  prodfct  12166  fprodf1o  12167  prodssdc  12168  fprodmul  12170  fprodm1s  12180  fprodp1s  12181  fprodabs  12195  fprodap0  12200  fprod2dlemstep  12201  fprodcom2fi  12205  fprodrec  12208  fprodap0f  12215  fprodle  12219  bezoutlemmain  12587  nnwosdc  12628  pcmpt  12934  ctiunctlemudc  13076  gsumfzfsumlemm  14620  iuncld  14858  txcnp  15014  fsumcncntop  15310  bj-nntrans  16597