Theorem rspc 2923

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	|- F/ x ps
rspc.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
2		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ x A
3		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ x A e. B
4		rspc.1	. . . . 5 |- F/ x ps
5	3, 4	nfim 1625	. . . 4 |- F/ x ( A e. B -> ps )
6		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
7		rspc.2	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ph ) <-> ( A e. B -> ps ) ) )
9	2, 5, 8	spcgf 2907	. . 3 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ( A e. B -> ps ) ) )
10	9	pm2.43a 51	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x ( x e. B -> ph ) -> ps ) )
11	1, 10	biimtrid 152	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcv  2925  rspc2  2941  rspc2vd  3216  pofun  4457  omsinds  4769  fmptcof  5875  fliftfuns  6004  qliftfuns  6893  xpf1o  7144  finexdc  7207  ssfirab  7244  opabfi  7247  iunfidisj  7260  dcfi  7315  cc3  7634  lble  9277  exfzdc  10659  zsupcllemstep  10662  infssuzex  10666  uzsinds  10881  sumeq2  12125  sumfct  12140  sumrbdclem  12144  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  zsumdc  12151  fsumgcl  12153  fsum3  12154  fsumf1o  12157  isumss  12158  isumss2  12160  fsum3cvg2  12161  fsumadd  12173  isummulc2  12193  fsum2dlemstep  12201  fisumcom2  12205  fsumshftm  12212  fisum0diag2  12214  fsummulc2  12215  fsum00  12229  fsumabs  12232  fsumrelem  12238  fsumiun  12244  isumshft  12257  mertenslem2  12303  prodeq2  12324  prodrbdclem  12338  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  zproddc  12346  fprodseq  12350  prodfct  12354  fprodf1o  12355  prodssdc  12356  fprodmul  12358  fprodm1s  12368  fprodp1s  12369  fprodabs  12383  fprodap0  12388  fprod2dlemstep  12389  fprodcom2fi  12393  fprodrec  12396  fprodap0f  12403  fprodle  12407  bezoutlemmain  12775  nnwosdc  12816  pcmpt  13122  ctiunctlemudc  13328  gsummptfidmadd  14161  iuncld  15216  txcnp  15372  fsumcncntop  15668  bj-nntrans  16977