Theorem lcomf 14299

Description: A linear-combination sum is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lcomf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
lcomf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
lcomf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcomf	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻):𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem lcomf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomf.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcomf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		lcomf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lcomf.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lcomf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6	2, 3, 4, 5	lmodvscl 14277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	3expb 1228	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
8	1, 7	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
9		lcomf.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
10		lcomf.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
11		lcomf.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		inidm 3413	. 2 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
13	8, 9, 10, 11, 11, 12	off 6237	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻):𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∘_𝑓 cof 6222  Basecbs 13040  Scalarcsca 13121   ·_𝑠 cvsca 13122  LModclmod 14259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-lmod 14261

This theorem is referenced by: (None)