nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nn0ltexp2		Unicode version

Theorem nn0ltexp2 10691

Description: Special case of ltexp2 14399 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 14319 which is used in the current proof of ltexp2 14399. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1036	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1037	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9375	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1038	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9375	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 528	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 10574	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1246	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 5885	. . . . 5
12	11	breq1d 4015	. . . 4
13		breq1 4008	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3
15		simpl3 1002	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 1000	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 4017	. . . . . . . . 9
20		breq2 4009	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2477	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 4017	. . . . . . . . 9
26		breq2 4009	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2477	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 4017	. . . . . . . . 9
32		breq2 4009	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2477	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 4017	. . . . . . . . 9
38		breq2 4009	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2477	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 7946	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 10650	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 7958	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 10673	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 7974	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 8078	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 10675	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 4027	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8081	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 619	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2550	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 4015	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 4008	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2705	. . . . . . . . 9
63		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 7988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 10657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 7960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 7974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 9740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9310	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9207	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 4027	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9180	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 798	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 115	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9369	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 124	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1236	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 1001	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2848	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 129	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wral 2455 class class class wbr 4005 (class class class)co 5877

cc 7811

cr 7812

cc0 7813

c1 7814

caddc 7816

cmul 7818

clt 7994

cle 7995

cmin 8130

cn 8921

cn0 9178

cz 9255

crp 9655

cexp 10521

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-rp 9656 df-seqfrec 10448 df-exp 10522

This theorem is referenced by: nn0leexp2 10692 isprm5 12144 pclemub 12289

W3C validator