nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nn0ltexp2 10720

Description: Special case of ltexp2 14812 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 14732 which is used in the current proof of ltexp2 14812. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1038	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1039	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9402	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1040	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9402	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 528	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 10602	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1257	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 5903	. . . . 5
12	11	breq1d 4028	. . . 4
13		breq1 4021	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3
15		simpl3 1004	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 1002	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 5903	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 4030	. . . . . . . . 9
20		breq2 4022	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2490	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 5903	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 4030	. . . . . . . . 9
26		breq2 4022	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2490	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 5903	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 4030	. . . . . . . . 9
32		breq2 4022	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2490	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 5903	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 4030	. . . . . . . . 9
38		breq2 4022	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2490	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 7973	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 10678	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 7985	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2280	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 10701	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 8001	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 8105	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 10703	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 4040	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8108	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 620	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2563	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 5903	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 4028	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 4021	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2718	. . . . . . . . 9
63		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 8015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 4049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 7987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 9722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 5903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 4028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9337	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9234	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 4040	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9207	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2563	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 115	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9396	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 124	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1247	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 1003	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2861	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 129	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2160

wral 2468 class class class wbr 4018 (class class class)co 5895

cc 7838

cr 7839

cc0 7840

c1 7841

caddc 7843

cmul 7845

clt 8021

cle 8022

cmin 8157

cn 8948

cn0 9205

cz 9282

crp 9682

cexp 10549

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-frec 6415 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-n0 9206 df-z 9283 df-uz 9558 df-rp 9683 df-seqfrec 10476 df-exp 10550

This theorem is referenced by: nn0leexp2 10721 isprm5 12173 pclemub 12318

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