Theorem nn0ltexp2 10780

Description: Special case of ltexp2 15074 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 14994 which is used in the current proof of ltexp2 15074. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ltexp2	|- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem nn0ltexp2

Dummy variables k m p w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1038	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> A e. RR )
2		simpll2 1039	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M e. NN0 )
3	2	nn0zd 9437	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M e. ZZ )
4		simpll3 1040	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> N e. NN0 )
5	4	nn0zd 9437	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> N e. ZZ )
6		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> 1 < A )
7		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M < N )
8		ltexp2a 10662	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 < A /\ M < N ) ) -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) )
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1257	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) )
10	9	ex 115	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )
11		oveq2 5926	. . . . 5 |- ( m = M -> ( A ^ m ) = ( A ^ M ) )
12	11	breq1d 4039	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )
13		breq1 4032	. . . 4 |- ( m = M -> ( m < N <-> M < N ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 |- ( m = M -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) <-> ( ( A ^ M ) < ( A ^ N ) -> M < N ) ) )
15		simpl3 1004	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> N e. NN0 )
16		simpl1 1002	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
18		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( w = 0 -> ( A ^ w ) = ( A ^ 0 ) )
19	18	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 |- ( w = 0 -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) ) )
20		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( w = 0 -> ( m < w <-> m < 0 ) )
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = 0 -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) )
22	21	ralbidv 2494	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) ) )
24		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( w = k -> ( A ^ w ) = ( A ^ k ) )
25	24	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ k ) ) )
26		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( m < w <-> m < k ) )
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
28	27	ralbidv 2494	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) ) )
30		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ w ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
31	30	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) )
32		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( m < w <-> m < ( k + 1 ) ) )
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
34	33	ralbidv 2494	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
36		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( w = N -> ( A ^ w ) = ( A ^ N ) )
37	36	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 |- ( w = N -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ N ) ) )
38		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( w = N -> ( m < w <-> m < N ) )
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
40	39	ralbidv 2494	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) ) )
42		recn 8005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> A e. CC )
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> A e. CC )
44	43	exp0d 10738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) = 1 )
45		1re 8018	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
46	44, 45	eqeltrdi 2284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) e. RR )
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> A e. RR )
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
49	47, 48	reexpcld 10761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ m ) e. RR )
50		1red 8034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 e. RR )
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 < A )
52	50, 47, 51	ltled 8138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 <_ A )
53	47, 48, 52	expge1d 10763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 <_ ( A ^ m ) )
54	44, 53	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( A ^ m ) )
55	46, 49, 54	lensymd 8141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> -. ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) )
56	55	pm2.21d 620	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) )
57	56	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) )
58		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = m -> ( A ^ p ) = ( A ^ m ) )
59	58	breq1d 4039	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = m -> ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ k ) ) )
60		breq1 4032	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = m -> ( p < k <-> m < k ) )
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( p = m -> ( ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
62	61	cbvralv 2726	. . . . . . . . 9 |- ( A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) )
63		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) )
64		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A e. RR )
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. RR )
66	65	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. CC )
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
68		expm1t 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) = ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) )
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) = ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) )
70		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> k e. NN0 )
71	66, 70	expp1d 10745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
72	63, 69, 71	3brtr3d 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) < ( ( A ^ k ) x. A ) )
73		nnm1nn0 9281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. NN0 )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m - 1 ) e. NN0 )
75	65, 74	reexpcld 10761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( m - 1 ) ) e. RR )
76	65, 70	reexpcld 10761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ k ) e. RR )
77		0red 8020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 e. RR )
78		1red 8034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 1 e. RR )
79		0lt1 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 < 1
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 < 1 )
81		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 1 < A )
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 < A )
83	64, 82	elrpd 9759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A e. RR+ )
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. RR+ )
85	75, 76, 84	ltmul1d 9804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) <-> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) < ( ( A ^ k ) x. A ) ) )
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) )
87		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( A ^ p ) = ( A ^ ( m - 1 ) ) )
88	87	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) <-> ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) ) )
89		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( p < k <-> ( m - 1 ) < k ) )
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) -> ( m - 1 ) < k ) ) )
91		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) )
92	90, 91, 74	rspcdva 2869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) -> ( m - 1 ) < k ) )
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m - 1 ) < k )
94		nnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
96	70	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> k e. ZZ )
97		zlem1lt 9373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m <_ k <-> ( m - 1 ) < k ) )
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m <_ k <-> ( m - 1 ) < k ) )
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m <_ k )
100		zleltp1 9372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m <_ k <-> m < ( k + 1 ) ) )
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m <_ k <-> m < ( k + 1 ) ) )
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m < ( k + 1 ) )
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> m = 0 )
104		nn0p1gt0 9269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> 0 < ( k + 1 ) )
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> 0 < ( k + 1 ) )
106	103, 105	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> m < ( k + 1 ) )
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> m e. NN0 )
108		elnn0 9242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 <-> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
110	102, 106, 109	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> m < ( k + 1 ) )
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) )
112	111	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) )
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> ( A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
115	114	ex 115	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
116	115	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9431	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
118	117	imp 124	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) )
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1247	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) )
120		simpl2 1003	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> M e. NN0 )
121	14, 119, 120	rspcdva 2869	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) < ( A ^ N ) -> M < N ) )
122	10, 121	impbid 129	1 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   RR+crp 9719   ^cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  nn0leexp2  10781  isprm5  12280  pclemub  12425