nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nn0ltexp2 11075

Description: Special case of ltexp2 15823 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 15741 which is used in the current proof of ltexp2 15823. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1063	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1064	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9701	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1065	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9701	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 529	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 10957	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1282	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 6060	. . . . 5
12	11	breq1d 4121	. . . 4
13		breq1 4114	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3
15		simpl3 1029	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 1027	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 4123	. . . . . . . . 9
20		breq2 4115	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2544	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 4123	. . . . . . . . 9
26		breq2 4115	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2544	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 4123	. . . . . . . . 9
32		breq2 4115	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2544	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 4123	. . . . . . . . 9
38		breq2 4115	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2544	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 8262	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 11033	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 8275	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 11056	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 8291	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 8394	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 11058	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 4133	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8397	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 624	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2617	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 4121	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 4114	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2780	. . . . . . . . 9
63		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 8304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 8277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 10074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9527	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 4133	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9500	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 115	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9695	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 124	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1272	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 1028	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2928	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 129	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205

wral 2522 class class class wbr 4111 (class class class)co 6052

cc 8127

cr 8128

cc0 8129

c1 8130

caddc 8132

cmul 8134

clt 8310

cle 8311

cmin 8446

cn 9239

cn0 9498

cz 9579

crp 9989

cexp 10904

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4227 ax-sep 4230 ax-nul 4238 ax-pow 4289 ax-pr 4324 ax-un 4556 ax-setind 4661 ax-iinf 4712 ax-cnex 8220 ax-resscn 8221 ax-1cn 8222 ax-1re 8223 ax-icn 8224 ax-addcl 8225 ax-addrcl 8226 ax-mulcl 8227 ax-mulrcl 8228 ax-addcom 8229 ax-mulcom 8230 ax-addass 8231 ax-mulass 8232 ax-distr 8233 ax-i2m1 8234 ax-0lt1 8235 ax-1rid 8236 ax-0id 8237 ax-rnegex 8238 ax-precex 8239 ax-cnre 8240 ax-pre-ltirr 8241 ax-pre-ltwlin 8242 ax-pre-lttrn 8243 ax-pre-apti 8244 ax-pre-ltadd 8245 ax-pre-mulgt0 8246 ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3045 df-csb 3141 df-dif 3215 df-un 3217 df-in 3219 df-ss 3226 df-nul 3511 df-if 3623 df-pw 3673 df-sn 3697 df-pr 3698 df-op 3700 df-uni 3917 df-int 3952 df-iun 3995 df-br 4112 df-opab 4174 df-mpt 4175 df-tr 4211 df-id 4416 df-po 4419 df-iso 4420 df-iord 4489 df-on 4491 df-ilim 4492 df-suc 4494 df-iom 4715 df-xp 4757 df-rel 4758 df-cnv 4759 df-co 4760 df-dm 4761 df-rn 4762 df-res 4763 df-ima 4764 df-iota 5314 df-fun 5356 df-fn 5357 df-f 5358 df-f1 5359 df-fo 5360 df-f1o 5361 df-fv 5362 df-riota 6005 df-ov 6055 df-oprab 6056 df-mpo 6057 df-1st 6336 df-2nd 6337 df-recs 6538 df-frec 6624 df-pnf 8312 df-mnf 8313 df-xr 8314 df-ltxr 8315 df-le 8316 df-sub 8448 df-neg 8449 df-reap 8851 df-ap 8858 df-div 8949 df-inn 9240 df-n0 9499 df-z 9580 df-uz 9857 df-rp 9990 df-seqfrec 10814 df-exp 10905

This theorem is referenced by: nn0leexp2 11076 bitsfzolem 12644 bitsfzo 12645 isprm5 12843 pclemub 12989

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