nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nn0ltexp2 10619

Description: Special case of ltexp2 13460 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 13380 which is used in the current proof of ltexp2 13460. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1026	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1027	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9307	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1028	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9307	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 520	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 109	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 10503	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1236	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 114	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 5849	. . . . 5
12	11	breq1d 3991	. . . 4
13		breq1 3984	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 233	. . 3
15		simpl3 992	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 990	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 109	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 5849	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 3993	. . . . . . . . 9
20		breq2 3985	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 233	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2465	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 5849	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 3993	. . . . . . . . 9
26		breq2 3985	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 233	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2465	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 5849	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 3993	. . . . . . . . 9
32		breq2 3985	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 233	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2465	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 5849	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 3993	. . . . . . . . 9
38		breq2 3985	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 233	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2465	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 7882	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 10578	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 7894	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2256	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 519	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 10601	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 7910	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 8013	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 10603	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 4003	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8016	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 609	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2538	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 5849	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 3991	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 3984	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2691	. . . . . . . . 9
63		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 7923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 10585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 10601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 10601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 7896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 7910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 9625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9242	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9139	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 4003	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9112	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 788	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2538	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	syl5bir 152	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 114	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9301	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 123	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1226	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 991	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2834	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 128	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

wral 2443 class class class wbr 3981 (class class class)co 5841

cc 7747

cr 7748

cc0 7749

c1 7750

caddc 7752

cmul 7754

clt 7929

cle 7930

cmin 8065

cn 8853

cn0 9110

cz 9187

crp 9585

cexp 10450

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4096 ax-sep 4099 ax-nul 4107 ax-pow 4152 ax-pr 4186 ax-un 4410 ax-setind 4513 ax-iinf 4564 ax-cnex 7840 ax-resscn 7841 ax-1cn 7842 ax-1re 7843 ax-icn 7844 ax-addcl 7845 ax-addrcl 7846 ax-mulcl 7847 ax-mulrcl 7848 ax-addcom 7849 ax-mulcom 7850 ax-addass 7851 ax-mulass 7852 ax-distr 7853 ax-i2m1 7854 ax-0lt1 7855 ax-1rid 7856 ax-0id 7857 ax-rnegex 7858 ax-precex 7859 ax-cnre 7860 ax-pre-ltirr 7861 ax-pre-ltwlin 7862 ax-pre-lttrn 7863 ax-pre-apti 7864 ax-pre-ltadd 7865 ax-pre-mulgt0 7866 ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2296 df-ne 2336 df-nel 2431 df-ral 2448 df-rex 2449 df-reu 2450 df-rmo 2451 df-rab 2452 df-v 2727 df-sbc 2951 df-csb 3045 df-dif 3117 df-un 3119 df-in 3121 df-ss 3128 df-nul 3409 df-if 3520 df-pw 3560 df-sn 3581 df-pr 3582 df-op 3584 df-uni 3789 df-int 3824 df-iun 3867 df-br 3982 df-opab 4043 df-mpt 4044 df-tr 4080 df-id 4270 df-po 4273 df-iso 4274 df-iord 4343 df-on 4345 df-ilim 4346 df-suc 4348 df-iom 4567 df-xp 4609 df-rel 4610 df-cnv 4611 df-co 4612 df-dm 4613 df-rn 4614 df-res 4615 df-ima 4616 df-iota 5152 df-fun 5189 df-fn 5190 df-f 5191 df-f1 5192 df-fo 5193 df-f1o 5194 df-fv 5195 df-riota 5797 df-ov 5844 df-oprab 5845 df-mpo 5846 df-1st 6105 df-2nd 6106 df-recs 6269 df-frec 6355 df-pnf 7931 df-mnf 7932 df-xr 7933 df-ltxr 7934 df-le 7935 df-sub 8067 df-neg 8068 df-reap 8469 df-ap 8476 df-div 8565 df-inn 8854 df-n0 9111 df-z 9188 df-uz 9463 df-rp 9586 df-seqfrec 10377 df-exp 10451

This theorem is referenced by: nn0leexp2 10620 isprm5 12070 pclemub 12215

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