nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nn0ltexp2 10644

Description: Special case of ltexp2 13654 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 13574 which is used in the current proof of ltexp2 13654. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1031	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1032	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9332	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1033	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9332	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 525	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 109	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 10528	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1241	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 114	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 5861	. . . . 5
12	11	breq1d 3999	. . . 4
13		breq1 3992	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 233	. . 3
15		simpl3 997	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 995	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 109	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 4001	. . . . . . . . 9
20		breq2 3993	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 233	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2470	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 4001	. . . . . . . . 9
26		breq2 3993	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 233	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2470	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 4001	. . . . . . . . 9
32		breq2 3993	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 233	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2470	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 4001	. . . . . . . . 9
38		breq2 3993	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 233	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2470	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 7907	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 10603	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 7919	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 524	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 10626	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 7935	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 525	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 8038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 10628	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 4011	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8041	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 614	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2543	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 3999	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2696	. . . . . . . . 9
63		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 10610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 4020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 7921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 7935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9267	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9164	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 4011	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9137	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 793	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	syl5bir 152	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 114	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9326	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 123	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1231	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 996	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2839	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 128	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 703 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141

wral 2448 class class class wbr 3989 (class class class)co 5853

cc 7772

cr 7773

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cmul 7779

clt 7954

cle 7955

cmin 8090

cn 8878

cn0 9135

cz 9212

crp 9610

cexp 10475

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-rp 9611 df-seqfrec 10402 df-exp 10476

This theorem is referenced by: nn0leexp2 10645 isprm5 12096 pclemub 12241

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