Theorem nn0ltexp2 11147

Description: Special case of ltexp2 16043 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 15960 which is used in the current proof of ltexp2 16043. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ltexp2	|- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem nn0ltexp2

Dummy variables k m p w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1067	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> A e. RR )
2		simpll2 1068	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M e. NN0 )
3	2	nn0zd 9766	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M e. ZZ )
4		simpll3 1069	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> N e. NN0 )
5	4	nn0zd 9766	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> N e. ZZ )
6		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> 1 < A )
7		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M < N )
8		ltexp2a 11028	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 < A /\ M < N ) ) -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) )
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1286	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) )
10	9	ex 115	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )
11		oveq2 6093	. . . . 5 |- ( m = M -> ( A ^ m ) = ( A ^ M ) )
12	11	breq1d 4140	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )
13		breq1 4133	. . . 4 |- ( m = M -> ( m < N <-> M < N ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 |- ( m = M -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) <-> ( ( A ^ M ) < ( A ^ N ) -> M < N ) ) )
15		simpl3 1033	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> N e. NN0 )
16		simpl1 1031	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
18		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( w = 0 -> ( A ^ w ) = ( A ^ 0 ) )
19	18	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 |- ( w = 0 -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) ) )
20		breq2 4134	. . . . . . . . 9 |- ( w = 0 -> ( m < w <-> m < 0 ) )
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = 0 -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) )
22	21	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) ) )
24		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( w = k -> ( A ^ w ) = ( A ^ k ) )
25	24	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ k ) ) )
26		breq2 4134	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( m < w <-> m < k ) )
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
28	27	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) ) )
30		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ w ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
31	30	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) )
32		breq2 4134	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( m < w <-> m < ( k + 1 ) ) )
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
34	33	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
36		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( w = N -> ( A ^ w ) = ( A ^ N ) )
37	36	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 |- ( w = N -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ N ) ) )
38		breq2 4134	. . . . . . . . 9 |- ( w = N -> ( m < w <-> m < N ) )
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
40	39	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) ) )
42		recn 8312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> A e. CC )
43	42	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> A e. CC )
44	43	exp0d 11105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) = 1 )
45		1re 8325	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
46	44, 45	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) e. RR )
47		simpll 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> A e. RR )
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
49	47, 48	reexpcld 11128	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ m ) e. RR )
50		1red 8341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 e. RR )
51		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 < A )
52	50, 47, 51	ltled 8445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 <_ A )
53	47, 48, 52	expge1d 11130	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 <_ ( A ^ m ) )
54	44, 53	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( A ^ m ) )
55	46, 49, 54	lensymd 8448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> -. ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) )
56	55	pm2.21d 628	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) )
57	56	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) )
58		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = m -> ( A ^ p ) = ( A ^ m ) )
59	58	breq1d 4140	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = m -> ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ k ) ) )
60		breq1 4133	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = m -> ( p < k <-> m < k ) )
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( p = m -> ( ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
62	61	cbvralv 2786	. . . . . . . . 9 |- ( A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) )
63		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) )
64		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A e. RR )
65	64	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. RR )
66	65	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. CC )
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
68		expm1t 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) = ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) )
69	66, 67, 68	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) = ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) )
70		simp-5l 549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> k e. NN0 )
71	66, 70	expp1d 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
72	63, 69, 71	3brtr3d 4161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) < ( ( A ^ k ) x. A ) )
73		nnm1nn0 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. NN0 )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m - 1 ) e. NN0 )
75	65, 74	reexpcld 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( m - 1 ) ) e. RR )
76	65, 70	reexpcld 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ k ) e. RR )
77		0red 8327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 e. RR )
78		1red 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 1 e. RR )
79		0lt1 8453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 < 1
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 < 1 )
81		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 1 < A )
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 < A )
83	64, 82	elrpd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A e. RR+ )
84	83	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. RR+ )
85	75, 76, 84	ltmul1d 10139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) <-> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) < ( ( A ^ k ) x. A ) ) )
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) )
87		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( A ^ p ) = ( A ^ ( m - 1 ) ) )
88	87	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) <-> ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) ) )
89		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( p < k <-> ( m - 1 ) < k ) )
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) -> ( m - 1 ) < k ) ) )
91		simp-4r 548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) )
92	90, 91, 74	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) -> ( m - 1 ) < k ) )
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m - 1 ) < k )
94		nnz 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
96	70	nn0zd 9766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> k e. ZZ )
97		zlem1lt 9701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m <_ k <-> ( m - 1 ) < k ) )
98	95, 96, 97	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m <_ k <-> ( m - 1 ) < k ) )
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m <_ k )
100		zleltp1 9700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m <_ k <-> m < ( k + 1 ) ) )
101	95, 96, 100	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m <_ k <-> m < ( k + 1 ) ) )
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m < ( k + 1 ) )
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> m = 0 )
104		nn0p1gt0 9592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> 0 < ( k + 1 ) )
105	104	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> 0 < ( k + 1 ) )
106	103, 105	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> m < ( k + 1 ) )
107		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> m e. NN0 )
108		elnn0 9565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 <-> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
110	102, 106, 109	mpjaodan 810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> m < ( k + 1 ) )
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) )
112	111	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) )
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> ( A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
115	114	ex 115	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
116	115	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9760	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
118	117	imp 124	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) )
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1276	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) )
120		simpl2 1032	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> M e. NN0 )
121	14, 119, 120	rspcdva 2934	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) < ( A ^ N ) -> M < N ) )
122	10, 121	impbid 129	1 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   RR+crp 10054   ^cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

This theorem is used by:  nn0leexp2  11148  bitsfzolem  12721  bitsfzo  12722  isprm5  12920  pclemub  13066