Theorem nn0ltexp2 11096

Description: Special case of ltexp2 15932 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 15850 which is used in the current proof of ltexp2 15932. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ltexp2	|- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem nn0ltexp2

Dummy variables k m p w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1063	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> A e. RR )
2		simpll2 1064	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M e. NN0 )
3	2	nn0zd 9716	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M e. ZZ )
4		simpll3 1065	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> N e. NN0 )
5	4	nn0zd 9716	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> N e. ZZ )
6		simplr 529	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> 1 < A )
7		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> M < N )
8		ltexp2a 10977	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 < A /\ M < N ) ) -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) )
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1282	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) /\ M < N ) -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) )
10	9	ex 115	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N -> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )
11		oveq2 6066	. . . . 5 |- ( m = M -> ( A ^ m ) = ( A ^ M ) )
12	11	breq1d 4124	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )
13		breq1 4117	. . . 4 |- ( m = M -> ( m < N <-> M < N ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 |- ( m = M -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) <-> ( ( A ^ M ) < ( A ^ N ) -> M < N ) ) )
15		simpl3 1029	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> N e. NN0 )
16		simpl1 1027	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
18		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( w = 0 -> ( A ^ w ) = ( A ^ 0 ) )
19	18	breq2d 4126	. . . . . . . . 9 |- ( w = 0 -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) ) )
20		breq2 4118	. . . . . . . . 9 |- ( w = 0 -> ( m < w <-> m < 0 ) )
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = 0 -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) )
22	21	ralbidv 2544	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) ) ) )
24		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( w = k -> ( A ^ w ) = ( A ^ k ) )
25	24	breq2d 4126	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ k ) ) )
26		breq2 4118	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( m < w <-> m < k ) )
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
28	27	ralbidv 2544	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) ) )
30		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ w ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
31	30	breq2d 4126	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) )
32		breq2 4118	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( m < w <-> m < ( k + 1 ) ) )
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
34	33	ralbidv 2544	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
36		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( w = N -> ( A ^ w ) = ( A ^ N ) )
37	36	breq2d 4126	. . . . . . . . 9 |- ( w = N -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ N ) ) )
38		breq2 4118	. . . . . . . . 9 |- ( w = N -> ( m < w <-> m < N ) )
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> ( ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
40	39	ralbidv 2544	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ w ) -> m < w ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) ) )
42		recn 8276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> A e. CC )
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> A e. CC )
44	43	exp0d 11054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) = 1 )
45		1re 8289	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
46	44, 45	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) e. RR )
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> A e. RR )
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
49	47, 48	reexpcld 11077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ m ) e. RR )
50		1red 8305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 e. RR )
51		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 < A )
52	50, 47, 51	ltled 8408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 <_ A )
53	47, 48, 52	expge1d 11079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> 1 <_ ( A ^ m ) )
54	44, 53	eqbrtrd 4136	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( A ^ m ) )
55	46, 49, 54	lensymd 8411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> -. ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) )
56	55	pm2.21d 624	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) )
57	56	ralrimiva 2617	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ 0 ) -> m < 0 ) )
58		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = m -> ( A ^ p ) = ( A ^ m ) )
59	58	breq1d 4124	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = m -> ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) <-> ( A ^ m ) < ( A ^ k ) ) )
60		breq1 4117	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = m -> ( p < k <-> m < k ) )
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( p = m -> ( ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) )
62	61	cbvralv 2780	. . . . . . . . 9 |- ( A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) )
63		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) )
64		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A e. RR )
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. RR )
66	65	recnd 8318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. CC )
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
68		expm1t 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) = ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) )
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) = ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) )
70		simp-5l 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> k e. NN0 )
71	66, 70	expp1d 11061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
72	63, 69, 71	3brtr3d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) < ( ( A ^ k ) x. A ) )
73		nnm1nn0 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. NN0 )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m - 1 ) e. NN0 )
75	65, 74	reexpcld 11077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( m - 1 ) ) e. RR )
76	65, 70	reexpcld 11077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ k ) e. RR )
77		0red 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 e. RR )
78		1red 8305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 1 e. RR )
79		0lt1 8416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 < 1
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 < 1 )
81		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 1 < A )
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> 0 < A )
83	64, 82	elrpd 10044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A e. RR+ )
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A e. RR+ )
85	75, 76, 84	ltmul1d 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) <-> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) x. A ) < ( ( A ^ k ) x. A ) ) )
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) )
87		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( A ^ p ) = ( A ^ ( m - 1 ) ) )
88	87	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) <-> ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) ) )
89		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( p < k <-> ( m - 1 ) < k ) )
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = ( m - 1 ) -> ( ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) <-> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) -> ( m - 1 ) < k ) ) )
91		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) )
92	90, 91, 74	rspcdva 2928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ ( m - 1 ) ) < ( A ^ k ) -> ( m - 1 ) < k ) )
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m - 1 ) < k )
94		nnz 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
96	70	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> k e. ZZ )
97		zlem1lt 9651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m <_ k <-> ( m - 1 ) < k ) )
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m <_ k <-> ( m - 1 ) < k ) )
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m <_ k )
100		zleltp1 9650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m <_ k <-> m < ( k + 1 ) ) )
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( m <_ k <-> m < ( k + 1 ) ) )
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> m < ( k + 1 ) )
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> m = 0 )
104		nn0p1gt0 9542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> 0 < ( k + 1 ) )
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> 0 < ( k + 1 ) )
106	103, 105	eqbrtrd 4136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) /\ m = 0 ) -> m < ( k + 1 ) )
107		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> m e. NN0 )
108		elnn0 9515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 <-> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> ( m e. NN \/ m = 0 ) )
110	102, 106, 109	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) /\ ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) ) -> m < ( k + 1 ) )
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) )
112	111	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) /\ A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) )
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> ( A. p e. NN0 ( ( A ^ p ) < ( A ^ k ) -> p < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) )
115	114	ex 115	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
116	115	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ k ) -> m < k ) ) -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ ( k + 1 ) ) -> m < ( k + 1 ) ) ) ) )
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9710	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) ) )
118	117	imp 124	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. RR /\ 1 < A ) ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) )
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1272	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> A. m e. NN0 ( ( A ^ m ) < ( A ^ N ) -> m < N ) )
120		simpl2 1028	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> M e. NN0 )
121	14, 119, 120	rspcdva 2928	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) < ( A ^ N ) -> M < N ) )
122	10, 121	impbid 129	1 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ 1 < A ) -> ( M < N <-> ( A ^ M ) < ( A ^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   RR+crp 10004   ^cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  nn0leexp2  11097  bitsfzolem  12665  bitsfzo  12666  isprm5  12864  pclemub  13010