nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nn0ltexp2 11128

Description: Special case of ltexp2 15969 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 15886 which is used in the current proof of ltexp2 15969. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1067	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1068	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9748	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1069	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9748	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 533	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 11009	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1286	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 6086	. . . . 5
12	11	breq1d 4138	. . . 4
13		breq1 4131	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3
15		simpl3 1033	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 1031	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 6086	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 4140	. . . . . . . . 9
20		breq2 4132	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2550	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 6086	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 4140	. . . . . . . . 9
26		breq2 4132	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2550	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 6086	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 4140	. . . . . . . . 9
32		breq2 4132	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2550	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 6086	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 4140	. . . . . . . . 9
38		breq2 4132	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2550	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 8305	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 11086	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 8318	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 531	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 11109	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 8334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 8438	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 11111	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 4150	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8441	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 628	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2623	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 6086	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 4138	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 4131	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2786	. . . . . . . . 9
63		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 8334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 10076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 10121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9682	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9574	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 4150	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9547	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 810	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 115	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9742	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 124	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1276	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 1032	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2934	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 129	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wral 2528 class class class wbr 4128 (class class class)co 6078

cc 8170

cr 8171

cc0 8172

c1 8173

caddc 8175

cmul 8177

clt 8353

cle 8354

cmin 8490

cn 9286

cn0 9545

cz 9626

crp 10036

cexp 10956

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8263 ax-resscn 8264 ax-1cn 8265 ax-1re 8266 ax-icn 8267 ax-addcl 8268 ax-addrcl 8269 ax-mulcl 8270 ax-mulrcl 8271 ax-addcom 8272 ax-mulcom 8273 ax-addass 8274 ax-mulass 8275 ax-distr 8276 ax-i2m1 8277 ax-0lt1 8278 ax-1rid 8279 ax-0id 8280 ax-rnegex 8281 ax-precex 8282 ax-cnre 8283 ax-pre-ltirr 8284 ax-pre-ltwlin 8285 ax-pre-lttrn 8286 ax-pre-apti 8287 ax-pre-ltadd 8288 ax-pre-mulgt0 8289 ax-pre-mulext 8290

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6031 df-ov 6081 df-oprab 6082 df-mpo 6083 df-1st 6367 df-2nd 6368 df-recs 6569 df-frec 6655 df-pnf 8355 df-mnf 8356 df-xr 8357 df-ltxr 8358 df-le 8359 df-sub 8492 df-neg 8493 df-reap 8896 df-ap 8903 df-div 8996 df-inn 9287 df-n0 9546 df-z 9627 df-uz 9904 df-rp 10037 df-seqfrec 10866 df-exp 10957

This theorem is referenced by: nn0leexp2 11129 bitsfzolem 12702 bitsfzo 12703 isprm5 12901 pclemub 13047

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