nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nn0ltexp2 10596

Description: Special case of ltexp2 13356 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 13276 which is used in the current proof of ltexp2 13356. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1021	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1022	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9290	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1023	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9290	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 520	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 109	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 10481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1228	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 114	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 5835	. . . . 5
12	11	breq1d 3977	. . . 4
13		breq1 3970	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 233	. . 3
15		simpl3 987	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 985	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 109	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 5835	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 3979	. . . . . . . . 9
20		breq2 3971	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 233	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2457	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 5835	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 3979	. . . . . . . . 9
26		breq2 3971	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 233	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2457	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 5835	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 3979	. . . . . . . . 9
32		breq2 3971	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 233	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2457	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 5835	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 3979	. . . . . . . . 9
38		breq2 3971	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 233	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2457	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 229	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 7868	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 10555	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 7880	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2248	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 519	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 10578	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 7896	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 7999	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 10580	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 3989	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8002	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 609	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2530	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 5835	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 3977	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 3970	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2680	. . . . . . . . 9
63		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 7909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 10562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 3998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 10578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 10578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 7882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 7896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 9652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9228	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9125	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 3989	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9098	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 788	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	syl5bir 152	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 114	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9284	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 123	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1218	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 986	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2821	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 128	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 $/\$ w3a 963

wceq 1335

wcel 2128

wral 2435 class class class wbr 3967 (class class class)co 5827

cc 7733

cr 7734

cc0 7735

c1 7736

caddc 7738

cmul 7740

clt 7915

cle 7916

cmin 8051

cn 8839

cn0 9096

cz 9173

crp 9567

cexp 10428

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4082 ax-sep 4085 ax-nul 4093 ax-pow 4138 ax-pr 4172 ax-un 4396 ax-setind 4499 ax-iinf 4550 ax-cnex 7826 ax-resscn 7827 ax-1cn 7828 ax-1re 7829 ax-icn 7830 ax-addcl 7831 ax-addrcl 7832 ax-mulcl 7833 ax-mulrcl 7834 ax-addcom 7835 ax-mulcom 7836 ax-addass 7837 ax-mulass 7838 ax-distr 7839 ax-i2m1 7840 ax-0lt1 7841 ax-1rid 7842 ax-0id 7843 ax-rnegex 7844 ax-precex 7845 ax-cnre 7846 ax-pre-ltirr 7847 ax-pre-ltwlin 7848 ax-pre-lttrn 7849 ax-pre-apti 7850 ax-pre-ltadd 7851 ax-pre-mulgt0 7852 ax-pre-mulext 7853

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3396 df-if 3507 df-pw 3546 df-sn 3567 df-pr 3568 df-op 3570 df-uni 3775 df-int 3810 df-iun 3853 df-br 3968 df-opab 4029 df-mpt 4030 df-tr 4066 df-id 4256 df-po 4259 df-iso 4260 df-iord 4329 df-on 4331 df-ilim 4332 df-suc 4334 df-iom 4553 df-xp 4595 df-rel 4596 df-cnv 4597 df-co 4598 df-dm 4599 df-rn 4600 df-res 4601 df-ima 4602 df-iota 5138 df-fun 5175 df-fn 5176 df-f 5177 df-f1 5178 df-fo 5179 df-f1o 5180 df-fv 5181 df-riota 5783 df-ov 5830 df-oprab 5831 df-mpo 5832 df-1st 6091 df-2nd 6092 df-recs 6255 df-frec 6341 df-pnf 7917 df-mnf 7918 df-xr 7919 df-ltxr 7920 df-le 7921 df-sub 8053 df-neg 8054 df-reap 8455 df-ap 8462 df-div 8551 df-inn 8840 df-n0 9097 df-z 9174 df-uz 9446 df-rp 9568 df-seqfrec 10355 df-exp 10429

This theorem is referenced by: nn0leexp2 10597 pclemub 12178

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