nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nn0ltexp2		Unicode version

Theorem nn0ltexp2 10674

Description: Special case of ltexp2 14027 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 13947 which is used in the current proof of ltexp2 14027. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1036	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1037	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9362	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1038	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9362	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 528	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 10558	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1246	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 5877	. . . . 5
12	11	breq1d 4010	. . . 4
13		breq1 4003	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3
15		simpl3 1002	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 1000	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 4012	. . . . . . . . 9
20		breq2 4004	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2477	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 4012	. . . . . . . . 9
26		breq2 4004	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2477	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 4012	. . . . . . . . 9
32		breq2 4004	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2477	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 4012	. . . . . . . . 9
38		breq2 4004	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2477	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 7935	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 10633	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 7947	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 10656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 7963	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 8066	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 10658	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 4022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8069	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 619	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2550	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 4010	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 4003	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9
63		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 10640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 7949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 7963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 9680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 9725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9297	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9194	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 4022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9167	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 798	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 115	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9356	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 124	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1236	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 1001	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2846	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 129	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wral 2455 class class class wbr 4000 (class class class)co 5869

cc 7800

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

clt 7982

cle 7983

cmin 8118

cn 8908

cn0 9165

cz 9242

crp 9640

cexp 10505

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-rp 9641 df-seqfrec 10432 df-exp 10506

This theorem is referenced by: nn0leexp2 10675 isprm5 12125 pclemub 12270

W3C validator