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Theorem nn0ltexp2 10613
Description: Special case of ltexp2 13427 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 13347 which is used in the current proof of ltexp2 13427. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
nn0ltexp2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  -> 
( M  <  N  <->  ( A ^ M )  <  ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem nn0ltexp2
Dummy variables  k  m  p  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1025 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  < 
A )  /\  M  <  N )  ->  A  e.  RR )
2 simpll2 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  < 
A )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  NN0 )
32nn0zd 9303 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  < 
A )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ZZ )
4 simpll3 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  < 
A )  /\  M  <  N )  ->  N  e.  NN0 )
54nn0zd 9303 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  < 
A )  /\  M  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
6 simplr 520 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  < 
A )  /\  M  <  N )  ->  1  <  A )
7 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  < 
A )  /\  M  <  N )  ->  M  <  N )
8 ltexp2a 10498 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  A  /\  M  <  N ) )  ->  ( A ^ M )  <  ( A ^ N ) )
91, 3, 5, 6, 7, 8syl32anc 1235 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  < 
A )  /\  M  <  N )  ->  ( A ^ M )  < 
( A ^ N
) )
109ex 114 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  -> 
( M  <  N  ->  ( A ^ M
)  <  ( A ^ N ) ) )
11 oveq2 5845 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( A ^ m )  =  ( A ^ M
) )
1211breq1d 3987 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( A ^ m
)  <  ( A ^ N )  <->  ( A ^ M )  <  ( A ^ N ) ) )
13 breq1 3980 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
m  <  N  <->  M  <  N ) )
1412, 13imbi12d 233 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( A ^
m )  <  ( A ^ N )  ->  m  <  N )  <->  ( ( A ^ M )  < 
( A ^ N
)  ->  M  <  N ) ) )
15 simpl3 991 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  ->  N  e.  NN0 )
16 simpl1 989 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  ->  A  e.  RR )
17 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  -> 
1  <  A )
18 oveq2 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  0  ->  ( A ^ w )  =  ( A ^ 0 ) )
1918breq2d 3989 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  0  ->  (
( A ^ m
)  <  ( A ^ w )  <->  ( A ^ m )  < 
( A ^ 0 ) ) )
20 breq2 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  0  ->  (
m  <  w  <->  m  <  0 ) )
2119, 20imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  0  ->  (
( ( A ^
m )  <  ( A ^ w )  ->  m  <  w )  <->  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ 0 )  ->  m  <  0 ) ) )
2221ralbidv 2464 . . . . . . 7  |-  ( w  =  0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( ( A ^
m )  <  ( A ^ w )  ->  m  <  w )  <->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ 0 )  ->  m  <  0 ) ) )
2322imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( w  =  0  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  1  < 
A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ w
)  ->  m  <  w ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ 0 )  ->  m  <  0 ) ) ) )
24 oveq2 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  k  ->  ( A ^ w )  =  ( A ^ k
) )
2524breq2d 3989 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  k  ->  (
( A ^ m
)  <  ( A ^ w )  <->  ( A ^ m )  < 
( A ^ k
) ) )
26 breq2 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  k  ->  (
m  <  w  <->  m  <  k ) )
2725, 26imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( A ^
m )  <  ( A ^ w )  ->  m  <  w )  <->  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ k
)  ->  m  <  k ) ) )
2827ralbidv 2464 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( A. m  e.  NN0  ( ( A ^
m )  <  ( A ^ w )  ->  m  <  w )  <->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ k
)  ->  m  <  k ) ) )
2928imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  1  < 
A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ w
)  ->  m  <  w ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ k
)  ->  m  <  k ) ) ) )
30 oveq2 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ w )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
3130breq2d 3989 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ m
)  <  ( A ^ w )  <->  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) ) )
32 breq2 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
m  <  w  <->  m  <  ( k  +  1 ) ) )
3331, 32imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A ^
m )  <  ( A ^ w )  ->  m  <  w )  <->  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) ) )
3433ralbidv 2464 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. m  e.  NN0  ( ( A ^
m )  <  ( A ^ w )  ->  m  <  w )  <->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) ) )
3534imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  1  < 
A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ w
)  ->  m  <  w ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) ) ) )
36 oveq2 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  N  ->  ( A ^ w )  =  ( A ^ N
) )
3736breq2d 3989 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  N  ->  (
( A ^ m
)  <  ( A ^ w )  <->  ( A ^ m )  < 
( A ^ N
) ) )
38 breq2 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  N  ->  (
m  <  w  <->  m  <  N ) )
3937, 38imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( A ^
m )  <  ( A ^ w )  ->  m  <  w )  <->  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ N
)  ->  m  <  N ) ) )
4039ralbidv 2464 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( A. m  e.  NN0  ( ( A ^
m )  <  ( A ^ w )  ->  m  <  w )  <->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ N
)  ->  m  <  N ) ) )
4140imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  1  < 
A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ w
)  ->  m  <  w ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ N
)  ->  m  <  N ) ) ) )
42 recn 7878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4342ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
4443exp0d 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A ^
0 )  =  1 )
45 1re 7890 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
4644, 45eqeltrdi 2255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A ^
0 )  e.  RR )
47 simpll 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
48 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
4947, 48reexpcld 10595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A ^
m )  e.  RR )
50 1red 7906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
51 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  <  A
)
5250, 47, 51ltled 8009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  <_  A
)
5347, 48, 52expge1d 10597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  <_  ( A ^ m ) )
5444, 53eqbrtrd 3999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A ^
0 )  <_  ( A ^ m ) )
5546, 49, 54lensymd 8012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  -.  ( A ^ m )  < 
( A ^ 0 ) )
5655pm2.21d 609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ 0 )  ->  m  <  0 ) )
5756ralrimiva 2537 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^
m )  <  ( A ^ 0 )  ->  m  <  0 ) )
58 oveq2 5845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  m  ->  ( A ^ p )  =  ( A ^ m
) )
5958breq1d 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  m  ->  (
( A ^ p
)  <  ( A ^ k )  <->  ( A ^ m )  < 
( A ^ k
) ) )
60 breq1 3980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  m  ->  (
p  <  k  <->  m  <  k ) )
6159, 60imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  m  ->  (
( ( A ^
p )  <  ( A ^ k )  ->  p  <  k )  <->  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ k
)  ->  m  <  k ) ) )
6261cbvralv 2690 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  <  ( A ^
k )  ->  p  <  k )  <->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ k
)  ->  m  <  k ) )
63 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )
64 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  A  e.  RR )
6564ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
6665recnd 7919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
67 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
68 expm1t 10474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^ m
)  =  ( ( A ^ ( m  -  1 ) )  x.  A ) )
6966, 67, 68syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^ m )  =  ( ( A ^
( m  -  1 ) )  x.  A
) )
70 simp-5l 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
7166, 70expp1d 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^
k )  x.  A
) )
7263, 69, 713brtr3d 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( A ^ (
m  -  1 ) )  x.  A )  <  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
73 nnm1nn0 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  NN0 )
7473adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  -  1 )  e.  NN0 )
7565, 74reexpcld 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^ ( m  - 
1 ) )  e.  RR )
7665, 70reexpcld 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  RR )
77 0red 7892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  0  e.  RR )
78 1red 7906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  1  e.  RR )
79 0lt1 8017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <  1
8079a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  0  <  1 )
81 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  1  <  A )
8277, 78, 64, 80, 81lttrd 8016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  0  <  A )
8364, 82elrpd 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  A  e.  RR+ )
8483ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
8575, 76, 84ltmul1d 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( A ^ (
m  -  1 ) )  <  ( A ^ k )  <->  ( ( A ^ ( m  - 
1 ) )  x.  A )  <  (
( A ^ k
)  x.  A ) ) )
8672, 85mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A ^ ( m  - 
1 ) )  < 
( A ^ k
) )
87 oveq2 5845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  ( m  - 
1 )  ->  ( A ^ p )  =  ( A ^ (
m  -  1 ) ) )
8887breq1d 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( m  - 
1 )  ->  (
( A ^ p
)  <  ( A ^ k )  <->  ( A ^ ( m  - 
1 ) )  < 
( A ^ k
) ) )
89 breq1 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( m  - 
1 )  ->  (
p  <  k  <->  ( m  -  1 )  < 
k ) )
9088, 89imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( m  - 
1 )  ->  (
( ( A ^
p )  <  ( A ^ k )  ->  p  <  k )  <->  ( ( A ^ ( m  - 
1 ) )  < 
( A ^ k
)  ->  ( m  -  1 )  < 
k ) ) )
91 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )
9290, 91, 74rspcdva 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( A ^ (
m  -  1 ) )  <  ( A ^ k )  -> 
( m  -  1 )  <  k ) )
9386, 92mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  -  1 )  <  k )
94 nnz 9202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
9594adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
9670nn0zd 9303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
97 zlem1lt 9239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  k  <->  ( m  -  1 )  <  k ) )
9895, 96, 97syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  <_  k  <->  ( m  -  1 )  < 
k ) )
9993, 98mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <_  k )
100 zleltp1 9238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  k  <->  m  <  ( k  +  1 ) ) )
10195, 96, 100syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  <_  k  <->  m  <  ( k  +  1 ) ) )
10299, 101mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( k  +  1 ) )
103 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  =  0 )  ->  m  =  0 )
104 nn0p1gt0 9135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
105104ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  =  0 )  -> 
0  <  ( k  +  1 ) )
106103, 105eqbrtrd 3999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) ) )  /\  m  =  0 )  ->  m  <  ( k  +  1 ) )
107 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  (
( A ^ p
)  <  ( A ^ k )  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^
m )  <  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
108 elnn0 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  <->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
109107, 108sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  (
( A ^ p
)  <  ( A ^ k )  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^
m )  <  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  ->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
110102, 106, 109mpjaodan 788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  (
( A ^ p
)  <  ( A ^ k )  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( A ^
m )  <  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  ->  m  <  (
k  +  1 ) )
111110ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  < 
A ) )  /\  A. p  e.  NN0  (
( A ^ p
)  <  ( A ^ k )  ->  p  <  k ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) )
112111ralrimiva 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  /\  A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  < 
( A ^ k
)  ->  p  <  k ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) )
113112ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  ( A. p  e.  NN0  ( ( A ^ p )  <  ( A ^
k )  ->  p  <  k )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) ) )
11462, 113syl5bir 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  ( A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  <  ( A ^
k )  ->  m  <  k )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) ) )
115114ex 114 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( A. m  e. 
NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ k
)  ->  m  <  k )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) ) ) )
116115a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^
m )  <  ( A ^ k )  ->  m  <  k ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ (
k  +  1 ) )  ->  m  <  ( k  +  1 ) ) ) ) )
11723, 29, 35, 41, 57, 116nn0ind 9297 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^
m )  <  ( A ^ N )  ->  m  <  N ) ) )
118117imp 123 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  RR  /\  1  <  A ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^ m )  < 
( A ^ N
)  ->  m  <  N ) )
11915, 16, 17, 118syl12anc 1225 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  ->  A. m  e.  NN0  ( ( A ^
m )  <  ( A ^ N )  ->  m  <  N ) )
120 simpl2 990 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  ->  M  e.  NN0 )
12114, 119, 120rspcdva 2831 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  -> 
( ( A ^ M )  <  ( A ^ N )  ->  M  <  N ) )
12210, 121impbid 128 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  1  <  A )  -> 
( M  <  N  <->  ( A ^ M )  <  ( A ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    /\ w3a 967    = wceq 1342    e. wcel 2135   A.wral 2442   class class class wbr 3977  (class class class)co 5837   CCcc 7743   RRcr 7744   0cc0 7745   1c1 7746    + caddc 7748    x. cmul 7750    < clt 7925    <_ cle 7926    - cmin 8061   NNcn 8849   NN0cn0 9106   ZZcz 9183   RR+crp 9581   ^cexp 10445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-mulrcl 7844  ax-addcom 7845  ax-mulcom 7846  ax-addass 7847  ax-mulass 7848  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-1rid 7852  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-precex 7855  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861  ax-pre-mulgt0 7862  ax-pre-mulext 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-if 3517  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-reap 8465  df-ap 8472  df-div 8561  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-rp 9582  df-seqfrec 10372  df-exp 10446
This theorem is referenced by:  nn0leexp2  10614  isprm5  12063  pclemub  12208
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