nn0ltexp2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nn0ltexp2 10891

Description: Special case of ltexp2 15528 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 15446 which is used in the current proof of ltexp2 15528. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0ltexp2	$/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem nn0ltexp2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1039	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simpll2 1040	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	nn0zd 9528	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simpll3 1041	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	nn0zd 9528	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplr 528	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		ltexp2a 10773	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1258	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ex 115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 5975	. . . . 5
12	11	breq1d 4069	. . . 4
13		breq1 4062	. . . 4
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3
15		simpl3 1005	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl1 1003	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 110	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		oveq2 5975	. . . . . . . . . 10
19	18	breq2d 4071	. . . . . . . . 9
20		breq2 4063	. . . . . . . . 9
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8
22	21	ralbidv 2508	. . . . . . 7
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		oveq2 5975	. . . . . . . . . 10
25	24	breq2d 4071	. . . . . . . . 9
26		breq2 4063	. . . . . . . . 9
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8
28	27	ralbidv 2508	. . . . . . 7
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
30		oveq2 5975	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 4071	. . . . . . . . 9
32		breq2 4063	. . . . . . . . 9
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8
34	33	ralbidv 2508	. . . . . . 7
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36		oveq2 5975	. . . . . . . . . 10
37	36	breq2d 4071	. . . . . . . . 9
38		breq2 4063	. . . . . . . . 9
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8
40	39	ralbidv 2508	. . . . . . 7
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
42		recn 8093	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	exp0d 10849	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45		1re 8106	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqeltrdi 2298	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	47, 48	reexpcld 10872	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		1red 8122	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	50, 47, 51	ltled 8226	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 48, 52	expge1d 10874	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54	44, 53	eqbrtrd 4081	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	46, 49, 54	lensymd 8229	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	55	pm2.21d 620	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
57	56	ralrimiva 2581	. . . . . 6 $/\$
58		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . 12
59	58	breq1d 4069	. . . . . . . . . . 11
60		breq1 4062	. . . . . . . . . . 11
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10
62	61	cbvralv 2742	. . . . . . . . 9
63		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		expm1t 10749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 70	expp1d 10856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 69, 71	3brtr3d 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		nnm1nn0 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	65, 74	reexpcld 10872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	65, 70	reexpcld 10872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0red 8108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
78		1red 8122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79		0lt1 8234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
81		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	64, 82	elrpd 9850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	75, 76, 84	ltmul1d 9895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	breq1d 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		breq1 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91, 74	rspcdva 2889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nnz 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	70	nn0zd 9528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		zlem1lt 9464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		zleltp1 9463	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		nn0p1gt0 9359	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 105	eqbrtrd 4081	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		elnn0 9332	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
110	102, 106, 109	mpjaodan 800	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	114	ex 115	. . . . . . 7 $/\$
116	115	a2d 26	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9522	. . . . 5 $/\$
118	117	imp 124	. . . 4 $/\$ $/\$
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1248	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl2 1004	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
121	14, 119, 120	rspcdva 2889	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122	10, 121	impbid 129	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178

wral 2486 class class class wbr 4059 (class class class)co 5967

cc 7958

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

clt 8142

cle 8143

cmin 8278

cn 9071

cn0 9330

cz 9407

crp 9810

cexp 10720

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-frec 6500 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-rp 9811 df-seqfrec 10630 df-exp 10721

This theorem is referenced by: nn0leexp2 10892 bitsfzolem 12380 bitsfzo 12381 isprm5 12579 pclemub 12725

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