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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdlem | Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 12032 and lcmdvds 12033. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 8899 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 8891 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 9231 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 9334 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 9231 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 275 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 9334 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 7921 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 8885 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 8903 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 8038 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 274 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 7921 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 8885 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 8903 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 8038 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 275 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 8540 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 11131 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 336 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 8906 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2361 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 8906 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2361 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 336 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 747 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 133 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 12020 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 409 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | lttri3 7999 |
. . . . . . 7
| |
| 32 | 31 | adantl 275 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 11918 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 111 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 11921 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 9332 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 11793 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1199 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 420 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 13 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 11922 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 11758 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 8891 |
. . . . . 6
|
| 47 | 33 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 48 | 21, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 21, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 50 | 42 | nnne0d 8923 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | dvdsval2 11752 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | 48, 52 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
|
| 54 | dvdsmul1 11775 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 55 | 4, 53, 54 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | nncn 8886 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 57 | 56 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | nncn 8886 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 59 | 58 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 42 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | 42 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . . 10
# |
| 62 | 57, 59, 60, 61 | divassapd 8743 |
. . . . . . . . 9
|
| 63 | 55, 62 | breqtrrd 4017 |
. . . . . . . 8
|
| 64 | 21, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 65 | dvdsval2 11752 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 49, 50, 4, 65 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 64, 66 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | dvdsmul1 11775 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 69 | 7, 67, 68 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
|
| 70 | 57, 59 | mulcomd 7941 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 71 | 70 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . 10
|
| 72 | 59, 57, 60, 61 | divassapd 8743 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 71, 72 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 69, 73 | breqtrrd 4017 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | 63, 74 | jca 304 |
. . . . . . 7
|
| 76 | breq2 3993 |
. . . . . . . . 9
| |
| 77 | breq2 3993 |
. . . . . . . . 9
| |
| 78 | 76, 77 | anbi12d 470 |
. . . . . . . 8
|
| 79 | 78 | elrab 2886 |
. . . . . . 7
|
| 80 | 45, 75, 79 | sylanbrc 415 |
. . . . . 6
|
| 81 | 46 | adantr 274 |
. . . . . . 7
|
| 82 | elrabi 2883 |
. . . . . . . . 9
| |
| 83 | 82 | nnred 8891 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 83 | adantl 275 |
. . . . . . 7
|
| 85 | breq2 3993 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | breq2 3993 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 87 | 85, 86 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . 9
|
| 88 | 87 | elrab 2886 |
. . . . . . . 8
|
| 89 | bezout 11966 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 91 | 90 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 92 | nncn 8886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 93 | 92 | ad2antlr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 94 | 1 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 95 | 94 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 96 | 60 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 57 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 98 | 58 | ad3antlr 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 99 | simplll 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 100 | 99 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 101 | simpllr 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 101 | nnap0d 8924 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 103 | 97, 98, 100, 102 | mulap0d 8576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 104 | 61 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 105 | 93, 95, 96, 103, 104 | divdivap2d 8740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 105 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | oveq2 5861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 107 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | zcn 9217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 110 | 109 | ad2antrl 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 111 | 97, 110 | mulcld 7940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 112 | zcn 9217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 113 | 112 | ad2antll 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 114 | 98, 113 | mulcld 7940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 115 | 93, 111, 114 | adddid 7944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 116 | 115 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 117 | 93, 111 | mulcld 7940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 118 | 93, 114 | mulcld 7940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 119 | 117, 118, 95, 103 | divdirapd 8746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 120 | 116, 119 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 121 | 108, 120 | sylan9eqr 2225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 93, 97, 110 | mul12d 8071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 123 | 122 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 124 | 93, 110 | mulcld 7940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | 124, 98, 97, 102, 100 | divcanap5d 8734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 126 | 123, 125 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 127 | 93, 98, 113 | mul12d 8071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 128 | 127 | oveq1d 5868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 129 | 70 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 129 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 93, 113 | mulcld 7940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 132 | 131, 97, 98, 100, 102 | divcanap5d 8734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 133 | 128, 130, 132 | 3eqtrd 2207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 134 | 126, 133 | oveq12d 5871 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 135 | 134 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 136 | 106, 121, 135 | 3eqtrd 2207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 137 | 136 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 138 | 137 | adantlrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 139 | 138 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 140 | 6 | ad3antlr 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 141 | nnz 9231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 142 | 141 | ad2antlr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 143 | simprl 526 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 144 | dvdsmultr1 11793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 145 | 140, 142, 143, 144 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 146 | 24 | ad3antlr 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 147 | 142, 143 | zmulcld 9340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 148 | dvdsval2 11752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 149 | 140, 146, 147, 148 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 150 | 145, 149 | sylibd 148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 151 | 150 | adantld 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 151 | 3impia 1195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 153 | 3 | ad3antrrr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 154 | simprr 527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 155 | dvdsmultr1 11793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 156 | 153, 142, 154, 155 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 157 | 22 | ad3antrrr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 158 | 142, 154 | zmulcld 9340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 159 | dvdsval2 11752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 160 | 153, 157, 158, 159 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 161 | 156, 160 | sylibd 148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 162 | 161 | adantrd 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 163 | 162 | 3impia 1195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 164 | 152, 163 | zaddcld 9338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 165 | 164 | 3expia 1200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 166 | 165 | an32s 563 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 167 | 166 | impr 377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 168 | 167 | an32s 563 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 169 | 168 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 170 | 139, 169 | eqeltrd 2247 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 45 | nnzd 9333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 172 | 171 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 173 | 45 | nnne0d 8923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 174 | 173 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 175 | 142 | adantlrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 176 | dvdsval2 11752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 177 | 172, 174, 175, 176 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 178 | 177 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 179 | 170, 178 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 180 | 179 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 181 | 180 | anassrs 398 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 182 | 181 | reximdva 2572 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 182 | reximdva 2572 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 91, 183 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 1z 9238 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 186 | elex2 2746 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 187 | r19.9rmv 3506 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 188 | 185, 186, 187 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 189 | r19.9rmv 3506 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 185, 186, 189 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 188, 190 | bitri 183 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 184, 191 | sylibr 133 |
. . . . . . . . 9
|
| 193 | 171 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 194 | simprl 526 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 195 | dvdsle 11804 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 196 | 193, 194, 195 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
|
| 197 | 192, 196 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 198 | 88, 197 | sylan2b 285 |
. . . . . . 7
|
| 199 | 81, 84, 198 | lensymd 8041 |
. . . . . 6
|
| 200 | 32, 46, 80, 199 | infminti 7004 |
. . . . 5
inf
|
| 201 | 30, 200 | eqtr2d 2204 |
. . . 4
lcm |
| 202 | 201, 45 | eqeltrrd 2248 |
. . . . . 6
lcm |
| 203 | 202 | nncnd 8892 |
. . . . 5
lcm |
| 204 | 94, 203, 60, 61 | divmulap3d 8742 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 205 | 201, 204 | mpbid 146 |
. . 3
lcm |
| 206 | 20, 205 | eqtr2d 2204 |
. 2
lcm
|
| 207 | simprl 526 |
. . . 4
| |
| 208 | eleq1 2233 |
. . . . . . . 8
| |
| 209 | breq2 3993 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | breq2 3993 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 210 | anbi12d 470 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | 208, 211 | anbi12d 470 |
. . . . . . 7
|
| 213 | 212 | anbi2d 461 |
. . . . . 6
|
| 214 | breq2 3993 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
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. . . . 5
lcm
lcm
|
| 216 | 201 | breq1d 3999 |
. . . . . . 7
lcm |
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. . . . . 6
lcm |
| 218 | 192, 217 | mpbid 146 |
. . . . 5
lcm
|
| 219 | 215, 218 | vtoclg 2790 |
. . . 4
lcm
|
| 220 | 207, 219 | mpcom 36 |
. . 3
lcm
|
| 221 | 220 | ex 114 |
. 2
lcm |
| 222 | 206, 221 | jca 304 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 703 w3a 973 wceq 1348 wex 1485 wcel 2141 wne 2340 wrex 2449 crab 2452 class class class wbr 3989
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(class class class)co 5853 infcinf 6960
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cz 9212
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-isom 5207 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-sup 6961 df-inf 6962 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-fl 10226 df-mod 10279 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-dvds 11750 df-gcd 11898 df-lcm 12015 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 12032 lcmdvds 12033 |
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