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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdlem | Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 12643 and lcmdvds 12644. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 9157 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 9149 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 9491 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 9595 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 9491 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 9595 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 8173 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 9143 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 9161 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 8291 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 276 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 8173 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 9143 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 9161 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 8291 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 277 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 8794 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 11721 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 338 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 9164 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2421 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 9164 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2421 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 338 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 757 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 134 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 12631 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 411 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | lttri3 8252 |
. . . . . . 7
| |
| 32 | 31 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 12527 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 112 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 12530 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 9593 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 12385 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1228 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 422 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 13 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 12531 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 12350 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 9149 |
. . . . . 6
|
| 47 | 33 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 48 | 21, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 21, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 50 | 42 | nnne0d 9181 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | dvdsval2 12344 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | 48, 52 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 54 | dvdsmul1 12367 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 55 | 4, 53, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | nncn 9144 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | nncn 9144 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 59 | 58 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 42 | nncnd 9150 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | 42 | nnap0d 9182 |
. . . . . . . . . 10
# |
| 62 | 57, 59, 60, 61 | divassapd 8999 |
. . . . . . . . 9
|
| 63 | 55, 62 | breqtrrd 4114 |
. . . . . . . 8
|
| 64 | 21, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 65 | dvdsval2 12344 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 49, 50, 4, 65 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 64, 66 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | dvdsmul1 12367 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 69 | 7, 67, 68 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 70 | 57, 59 | mulcomd 8194 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 71 | 70 | oveq1d 6028 |
. . . . . . . . . 10
|
| 72 | 59, 57, 60, 61 | divassapd 8999 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 71, 72 | eqtrd 2262 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 69, 73 | breqtrrd 4114 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | 63, 74 | jca 306 |
. . . . . . 7
|
| 76 | breq2 4090 |
. . . . . . . . 9
| |
| 77 | breq2 4090 |
. . . . . . . . 9
| |
| 78 | 76, 77 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 79 | 78 | elrab 2960 |
. . . . . . 7
|
| 80 | 45, 75, 79 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
|
| 81 | 46 | adantr 276 |
. . . . . . 7
|
| 82 | elrabi 2957 |
. . . . . . . . 9
| |
| 83 | 82 | nnred 9149 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 85 | breq2 4090 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | breq2 4090 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 87 | 85, 86 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . 9
|
| 88 | 87 | elrab 2960 |
. . . . . . . 8
|
| 89 | bezout 12575 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 92 | nncn 9144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 93 | 92 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 94 | 1 | nncnd 9150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 95 | 94 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 96 | 60 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 57 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 98 | 58 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 99 | simplll 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 100 | 99 | nnap0d 9182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 101 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 101 | nnap0d 9182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 103 | 97, 98, 100, 102 | mulap0d 8831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 104 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 105 | 93, 95, 96, 103, 104 | divdivap2d 8996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 105 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | oveq2 6021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 107 | oveq1d 6028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | zcn 9477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 111 | 97, 110 | mulcld 8193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 112 | zcn 9477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 113 | 112 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 114 | 98, 113 | mulcld 8193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 115 | 93, 111, 114 | adddid 8197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 116 | 115 | oveq1d 6028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 117 | 93, 111 | mulcld 8193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 118 | 93, 114 | mulcld 8193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 119 | 117, 118, 95, 103 | divdirapd 9002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 120 | 116, 119 | eqtrd 2262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 121 | 108, 120 | sylan9eqr 2284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 93, 97, 110 | mul12d 8324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 123 | 122 | oveq1d 6028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 124 | 93, 110 | mulcld 8193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | 124, 98, 97, 102, 100 | divcanap5d 8990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 126 | 123, 125 | eqtrd 2262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 127 | 93, 98, 113 | mul12d 8324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 128 | 127 | oveq1d 6028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 129 | 70 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 129 | oveq2d 6029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 93, 113 | mulcld 8193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 132 | 131, 97, 98, 100, 102 | divcanap5d 8990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 133 | 128, 130, 132 | 3eqtrd 2266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 134 | 126, 133 | oveq12d 6031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 135 | 134 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 136 | 106, 121, 135 | 3eqtrd 2266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 137 | 136 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 138 | 137 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 139 | 138 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 140 | 6 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 141 | nnz 9491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 142 | 141 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 143 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 144 | dvdsmultr1 12385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 145 | 140, 142, 143, 144 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 146 | 24 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 147 | 142, 143 | zmulcld 9601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 148 | dvdsval2 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 149 | 140, 146, 147, 148 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 150 | 145, 149 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 151 | 150 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 151 | 3impia 1224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 153 | 3 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 154 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 155 | dvdsmultr1 12385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 156 | 153, 142, 154, 155 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 157 | 22 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 158 | 142, 154 | zmulcld 9601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 159 | dvdsval2 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 160 | 153, 157, 158, 159 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 161 | 156, 160 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 162 | 161 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 163 | 162 | 3impia 1224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 164 | 152, 163 | zaddcld 9599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 165 | 164 | 3expia 1229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 166 | 165 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 167 | 166 | impr 379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 168 | 167 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 169 | 168 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 170 | 139, 169 | eqeltrd 2306 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 45 | nnzd 9594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 172 | 171 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 173 | 45 | nnne0d 9181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 174 | 173 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 175 | 142 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 176 | dvdsval2 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 177 | 172, 174, 175, 176 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 178 | 177 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 179 | 170, 178 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 180 | 179 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 181 | 180 | anassrs 400 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 182 | 181 | reximdva 2632 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 182 | reximdva 2632 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 91, 183 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 1z 9498 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 186 | elex2 2817 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 187 | r19.9rmv 3584 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 188 | 185, 186, 187 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 189 | r19.9rmv 3584 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 185, 186, 189 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 188, 190 | bitri 184 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 184, 191 | sylibr 134 |
. . . . . . . . 9
|
| 193 | 171 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 194 | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 195 | dvdsle 12398 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 196 | 193, 194, 195 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 197 | 192, 196 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 198 | 88, 197 | sylan2b 287 |
. . . . . . 7
|
| 199 | 81, 84, 198 | lensymd 8294 |
. . . . . 6
|
| 200 | 32, 46, 80, 199 | infminti 7220 |
. . . . 5
inf
|
| 201 | 30, 200 | eqtr2d 2263 |
. . . 4
lcm |
| 202 | 201, 45 | eqeltrrd 2307 |
. . . . . 6
lcm |
| 203 | 202 | nncnd 9150 |
. . . . 5
lcm |
| 204 | 94, 203, 60, 61 | divmulap3d 8998 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 205 | 201, 204 | mpbid 147 |
. . 3
lcm |
| 206 | 20, 205 | eqtr2d 2263 |
. 2
lcm
|
| 207 | simprl 529 |
. . . 4
| |
| 208 | eleq1 2292 |
. . . . . . . 8
| |
| 209 | breq2 4090 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | breq2 4090 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 210 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | 208, 211 | anbi12d 473 |
. . . . . . 7
|
| 213 | 212 | anbi2d 464 |
. . . . . 6
|
| 214 | breq2 4090 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
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. . . . 5
lcm
lcm
|
| 216 | 201 | breq1d 4096 |
. . . . . . 7
lcm |
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. . . . . 6
lcm |
| 218 | 192, 217 | mpbid 147 |
. . . . 5
lcm
|
| 219 | 215, 218 | vtoclg 2862 |
. . . 4
lcm
|
| 220 | 207, 219 | mpcom 36 |
. . 3
lcm
|
| 221 | 220 | ex 115 |
. 2
lcm |
| 222 | 206, 221 | jca 306 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 713 w3a 1002 wceq 1395 wex 1538 wcel 2200 wne 2400 wrex 2509 crab 2512 class class class wbr 4086
cfv 5324
(class class class)co 6013 infcinf 7176
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cz 9472
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8116 ax-resscn 8117 ax-1cn 8118 ax-1re 8119 ax-icn 8120 ax-addcl 8121 ax-addrcl 8122 ax-mulcl 8123 ax-mulrcl 8124 ax-addcom 8125 ax-mulcom 8126 ax-addass 8127 ax-mulass 8128 ax-distr 8129 ax-i2m1 8130 ax-0lt1 8131 ax-1rid 8132 ax-0id 8133 ax-rnegex 8134 ax-precex 8135 ax-cnre 8136 ax-pre-ltirr 8137 ax-pre-ltwlin 8138 ax-pre-lttrn 8139 ax-pre-apti 8140 ax-pre-ltadd 8141 ax-pre-mulgt0 8142 ax-pre-mulext 8143 ax-arch 8144 ax-caucvg 8145 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-sup 7177 df-inf 7178 df-pnf 8209 df-mnf 8210 df-xr 8211 df-ltxr 8212 df-le 8213 df-sub 8345 df-neg 8346 df-reap 8748 df-ap 8755 df-div 8846 df-inn 9137 df-2 9195 df-3 9196 df-4 9197 df-n0 9396 df-z 9473 df-uz 9749 df-q 9847 df-rp 9882 df-fz 10237 df-fzo 10371 df-fl 10523 df-mod 10578 df-seqfrec 10703 df-exp 10794 df-cj 11396 df-re 11397 df-im 11398 df-rsqrt 11552 df-abs 11553 df-dvds 12342 df-gcd 12518 df-lcm 12626 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 12643 lcmdvds 12644 |
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