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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdlem | Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 12219 and lcmdvds 12220. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 9005 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 8997 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 9339 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 9442 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 9339 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 9442 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 8022 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 8991 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 9009 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 8140 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 276 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 8022 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 8991 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 9009 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 8140 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 277 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 8642 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 11314 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 338 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 9012 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2385 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 9012 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2385 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 338 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 753 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 134 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 12207 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 411 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | lttri3 8101 |
. . . . . . 7
| |
| 32 | 31 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 12103 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 112 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 12106 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 9440 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 11977 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1206 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 422 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 13 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 12107 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 11942 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 8997 |
. . . . . 6
|
| 47 | 33 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 48 | 21, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 21, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 50 | 42 | nnne0d 9029 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | dvdsval2 11936 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | 48, 52 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 54 | dvdsmul1 11959 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 55 | 4, 53, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | nncn 8992 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | nncn 8992 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 59 | 58 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 42 | nncnd 8998 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | 42 | nnap0d 9030 |
. . . . . . . . . 10
# |
| 62 | 57, 59, 60, 61 | divassapd 8847 |
. . . . . . . . 9
|
| 63 | 55, 62 | breqtrrd 4058 |
. . . . . . . 8
|
| 64 | 21, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 65 | dvdsval2 11936 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 49, 50, 4, 65 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 64, 66 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | dvdsmul1 11959 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 69 | 7, 67, 68 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 70 | 57, 59 | mulcomd 8043 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 71 | 70 | oveq1d 5934 |
. . . . . . . . . 10
|
| 72 | 59, 57, 60, 61 | divassapd 8847 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 71, 72 | eqtrd 2226 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 69, 73 | breqtrrd 4058 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | 63, 74 | jca 306 |
. . . . . . 7
|
| 76 | breq2 4034 |
. . . . . . . . 9
| |
| 77 | breq2 4034 |
. . . . . . . . 9
| |
| 78 | 76, 77 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 79 | 78 | elrab 2917 |
. . . . . . 7
|
| 80 | 45, 75, 79 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
|
| 81 | 46 | adantr 276 |
. . . . . . 7
|
| 82 | elrabi 2914 |
. . . . . . . . 9
| |
| 83 | 82 | nnred 8997 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 85 | breq2 4034 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | breq2 4034 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 87 | 85, 86 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . 9
|
| 88 | 87 | elrab 2917 |
. . . . . . . 8
|
| 89 | bezout 12151 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 92 | nncn 8992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 93 | 92 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 94 | 1 | nncnd 8998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 95 | 94 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 96 | 60 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 57 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 98 | 58 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 99 | simplll 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 100 | 99 | nnap0d 9030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 101 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 101 | nnap0d 9030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 103 | 97, 98, 100, 102 | mulap0d 8679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 104 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 105 | 93, 95, 96, 103, 104 | divdivap2d 8844 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 105 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | oveq2 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 107 | oveq1d 5934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | zcn 9325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 111 | 97, 110 | mulcld 8042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 112 | zcn 9325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 113 | 112 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 114 | 98, 113 | mulcld 8042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 115 | 93, 111, 114 | adddid 8046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 116 | 115 | oveq1d 5934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 117 | 93, 111 | mulcld 8042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 118 | 93, 114 | mulcld 8042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 119 | 117, 118, 95, 103 | divdirapd 8850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 120 | 116, 119 | eqtrd 2226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 121 | 108, 120 | sylan9eqr 2248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 93, 97, 110 | mul12d 8173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 123 | 122 | oveq1d 5934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 124 | 93, 110 | mulcld 8042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | 124, 98, 97, 102, 100 | divcanap5d 8838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 126 | 123, 125 | eqtrd 2226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 127 | 93, 98, 113 | mul12d 8173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 128 | 127 | oveq1d 5934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 129 | 70 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 129 | oveq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 93, 113 | mulcld 8042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 132 | 131, 97, 98, 100, 102 | divcanap5d 8838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 133 | 128, 130, 132 | 3eqtrd 2230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 134 | 126, 133 | oveq12d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 135 | 134 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 136 | 106, 121, 135 | 3eqtrd 2230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 137 | 136 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 138 | 137 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 139 | 138 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 140 | 6 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 141 | nnz 9339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 142 | 141 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 143 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 144 | dvdsmultr1 11977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 145 | 140, 142, 143, 144 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 146 | 24 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 147 | 142, 143 | zmulcld 9448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 148 | dvdsval2 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 149 | 140, 146, 147, 148 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 150 | 145, 149 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 151 | 150 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 151 | 3impia 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 153 | 3 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 154 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 155 | dvdsmultr1 11977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 156 | 153, 142, 154, 155 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 157 | 22 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 158 | 142, 154 | zmulcld 9448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 159 | dvdsval2 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 160 | 153, 157, 158, 159 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 161 | 156, 160 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 162 | 161 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 163 | 162 | 3impia 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 164 | 152, 163 | zaddcld 9446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 165 | 164 | 3expia 1207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 166 | 165 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 167 | 166 | impr 379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 168 | 167 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 169 | 168 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 170 | 139, 169 | eqeltrd 2270 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 45 | nnzd 9441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 172 | 171 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 173 | 45 | nnne0d 9029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 174 | 173 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 175 | 142 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 176 | dvdsval2 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 177 | 172, 174, 175, 176 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 178 | 177 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 179 | 170, 178 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 180 | 179 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 181 | 180 | anassrs 400 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 182 | 181 | reximdva 2596 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 182 | reximdva 2596 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 91, 183 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 1z 9346 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 186 | elex2 2776 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 187 | r19.9rmv 3539 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 188 | 185, 186, 187 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 189 | r19.9rmv 3539 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 185, 186, 189 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 188, 190 | bitri 184 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 184, 191 | sylibr 134 |
. . . . . . . . 9
|
| 193 | 171 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 194 | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 195 | dvdsle 11989 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 196 | 193, 194, 195 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 197 | 192, 196 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 198 | 88, 197 | sylan2b 287 |
. . . . . . 7
|
| 199 | 81, 84, 198 | lensymd 8143 |
. . . . . 6
|
| 200 | 32, 46, 80, 199 | infminti 7088 |
. . . . 5
inf
|
| 201 | 30, 200 | eqtr2d 2227 |
. . . 4
lcm |
| 202 | 201, 45 | eqeltrrd 2271 |
. . . . . 6
lcm |
| 203 | 202 | nncnd 8998 |
. . . . 5
lcm |
| 204 | 94, 203, 60, 61 | divmulap3d 8846 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 205 | 201, 204 | mpbid 147 |
. . 3
lcm |
| 206 | 20, 205 | eqtr2d 2227 |
. 2
lcm
|
| 207 | simprl 529 |
. . . 4
| |
| 208 | eleq1 2256 |
. . . . . . . 8
| |
| 209 | breq2 4034 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | breq2 4034 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 210 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | 208, 211 | anbi12d 473 |
. . . . . . 7
|
| 213 | 212 | anbi2d 464 |
. . . . . 6
|
| 214 | breq2 4034 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
| 215 | 213, 214 | imbi12d 234 |
. . . . 5
lcm
lcm
|
| 216 | 201 | breq1d 4040 |
. . . . . . 7
lcm |
| 217 | 216 | adantr 276 |
. . . . . 6
lcm |
| 218 | 192, 217 | mpbid 147 |
. . . . 5
lcm
|
| 219 | 215, 218 | vtoclg 2821 |
. . . 4
lcm
|
| 220 | 207, 219 | mpcom 36 |
. . 3
lcm
|
| 221 | 220 | ex 115 |
. 2
lcm |
| 222 | 206, 221 | jca 306 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 w3a 980 wceq 1364 wex 1503 wcel 2164 wne 2364 wrex 2473 crab 2476 class class class wbr 4030
cfv 5255
(class class class)co 5919 infcinf 7044
cc 7872
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cn 8984
cz 9320
cabs 11144
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-isom 5264 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-sup 7045 df-inf 7046 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-fl 10342 df-mod 10397 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-dvds 11934 df-gcd 12083 df-lcm 12202 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 12219 lcmdvds 12220 |
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