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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdlem | Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 12246 and lcmdvds 12247. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 9011 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 9003 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 9345 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 9448 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 9345 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 9448 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 8027 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 8997 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 9015 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 8145 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 276 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 8027 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 8997 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 9015 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 8145 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 277 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 8648 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 11332 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 338 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 9018 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2388 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 9018 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2388 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 338 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 753 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 134 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 12234 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 411 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | lttri3 8106 |
. . . . . . 7
| |
| 32 | 31 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 12130 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 112 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 12133 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 9446 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 11996 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1206 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 422 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 13 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 12134 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 11961 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 9003 |
. . . . . 6
|
| 47 | 33 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 48 | 21, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 21, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 50 | 42 | nnne0d 9035 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | dvdsval2 11955 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | 48, 52 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 54 | dvdsmul1 11978 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 55 | 4, 53, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | nncn 8998 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | nncn 8998 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 59 | 58 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 42 | nncnd 9004 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | 42 | nnap0d 9036 |
. . . . . . . . . 10
# |
| 62 | 57, 59, 60, 61 | divassapd 8853 |
. . . . . . . . 9
|
| 63 | 55, 62 | breqtrrd 4061 |
. . . . . . . 8
|
| 64 | 21, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 65 | dvdsval2 11955 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 49, 50, 4, 65 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 64, 66 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | dvdsmul1 11978 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 69 | 7, 67, 68 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 70 | 57, 59 | mulcomd 8048 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 71 | 70 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . 10
|
| 72 | 59, 57, 60, 61 | divassapd 8853 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 71, 72 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 69, 73 | breqtrrd 4061 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | 63, 74 | jca 306 |
. . . . . . 7
|
| 76 | breq2 4037 |
. . . . . . . . 9
| |
| 77 | breq2 4037 |
. . . . . . . . 9
| |
| 78 | 76, 77 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 79 | 78 | elrab 2920 |
. . . . . . 7
|
| 80 | 45, 75, 79 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
|
| 81 | 46 | adantr 276 |
. . . . . . 7
|
| 82 | elrabi 2917 |
. . . . . . . . 9
| |
| 83 | 82 | nnred 9003 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 85 | breq2 4037 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | breq2 4037 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 87 | 85, 86 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . 9
|
| 88 | 87 | elrab 2920 |
. . . . . . . 8
|
| 89 | bezout 12178 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 92 | nncn 8998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 93 | 92 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 94 | 1 | nncnd 9004 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 95 | 94 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 96 | 60 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 57 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 98 | 58 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 99 | simplll 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 100 | 99 | nnap0d 9036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 101 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 101 | nnap0d 9036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 103 | 97, 98, 100, 102 | mulap0d 8685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 104 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 105 | 93, 95, 96, 103, 104 | divdivap2d 8850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 105 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | oveq2 5930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 107 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | zcn 9331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 111 | 97, 110 | mulcld 8047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 112 | zcn 9331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 113 | 112 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 114 | 98, 113 | mulcld 8047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 115 | 93, 111, 114 | adddid 8051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 116 | 115 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 117 | 93, 111 | mulcld 8047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 118 | 93, 114 | mulcld 8047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 119 | 117, 118, 95, 103 | divdirapd 8856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 120 | 116, 119 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 121 | 108, 120 | sylan9eqr 2251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 93, 97, 110 | mul12d 8178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 123 | 122 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 124 | 93, 110 | mulcld 8047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | 124, 98, 97, 102, 100 | divcanap5d 8844 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 126 | 123, 125 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 127 | 93, 98, 113 | mul12d 8178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 128 | 127 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 129 | 70 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 129 | oveq2d 5938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 93, 113 | mulcld 8047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 132 | 131, 97, 98, 100, 102 | divcanap5d 8844 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 133 | 128, 130, 132 | 3eqtrd 2233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 134 | 126, 133 | oveq12d 5940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 135 | 134 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 136 | 106, 121, 135 | 3eqtrd 2233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 137 | 136 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 138 | 137 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 139 | 138 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 140 | 6 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 141 | nnz 9345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 142 | 141 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 143 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 144 | dvdsmultr1 11996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 145 | 140, 142, 143, 144 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 146 | 24 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 147 | 142, 143 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 148 | dvdsval2 11955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 149 | 140, 146, 147, 148 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 150 | 145, 149 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 151 | 150 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 151 | 3impia 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 153 | 3 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 154 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 155 | dvdsmultr1 11996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 156 | 153, 142, 154, 155 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 157 | 22 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 158 | 142, 154 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 159 | dvdsval2 11955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 160 | 153, 157, 158, 159 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 161 | 156, 160 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 162 | 161 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 163 | 162 | 3impia 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 164 | 152, 163 | zaddcld 9452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 165 | 164 | 3expia 1207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 166 | 165 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 167 | 166 | impr 379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 168 | 167 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 169 | 168 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 170 | 139, 169 | eqeltrd 2273 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 45 | nnzd 9447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 172 | 171 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 173 | 45 | nnne0d 9035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 174 | 173 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 175 | 142 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 176 | dvdsval2 11955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 177 | 172, 174, 175, 176 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 178 | 177 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 179 | 170, 178 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 180 | 179 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 181 | 180 | anassrs 400 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 182 | 181 | reximdva 2599 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 182 | reximdva 2599 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 91, 183 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 1z 9352 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 186 | elex2 2779 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 187 | r19.9rmv 3542 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 188 | 185, 186, 187 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 189 | r19.9rmv 3542 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 185, 186, 189 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 188, 190 | bitri 184 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 184, 191 | sylibr 134 |
. . . . . . . . 9
|
| 193 | 171 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 194 | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 195 | dvdsle 12009 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 196 | 193, 194, 195 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 197 | 192, 196 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 198 | 88, 197 | sylan2b 287 |
. . . . . . 7
|
| 199 | 81, 84, 198 | lensymd 8148 |
. . . . . 6
|
| 200 | 32, 46, 80, 199 | infminti 7093 |
. . . . 5
inf
|
| 201 | 30, 200 | eqtr2d 2230 |
. . . 4
lcm |
| 202 | 201, 45 | eqeltrrd 2274 |
. . . . . 6
lcm |
| 203 | 202 | nncnd 9004 |
. . . . 5
lcm |
| 204 | 94, 203, 60, 61 | divmulap3d 8852 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 205 | 201, 204 | mpbid 147 |
. . 3
lcm |
| 206 | 20, 205 | eqtr2d 2230 |
. 2
lcm
|
| 207 | simprl 529 |
. . . 4
| |
| 208 | eleq1 2259 |
. . . . . . . 8
| |
| 209 | breq2 4037 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | breq2 4037 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 210 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | 208, 211 | anbi12d 473 |
. . . . . . 7
|
| 213 | 212 | anbi2d 464 |
. . . . . 6
|
| 214 | breq2 4037 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
| 215 | 213, 214 | imbi12d 234 |
. . . . 5
lcm
lcm
|
| 216 | 201 | breq1d 4043 |
. . . . . . 7
lcm |
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. . . . . 6
lcm |
| 218 | 192, 217 | mpbid 147 |
. . . . 5
lcm
|
| 219 | 215, 218 | vtoclg 2824 |
. . . 4
lcm
|
| 220 | 207, 219 | mpcom 36 |
. . 3
lcm
|
| 221 | 220 | ex 115 |
. 2
lcm |
| 222 | 206, 221 | jca 306 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 w3a 980 wceq 1364 wex 1506 wcel 2167 wne 2367 wrex 2476 crab 2479 class class class wbr 4033
cfv 5258
(class class class)co 5922 infcinf 7049
cc 7877
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cz 9326
cabs 11162
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-sup 7050 df-inf 7051 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-lcm 12229 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 12246 lcmdvds 12247 |
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