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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdlem | Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 12216 and lcmdvds 12217. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 9003 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 8995 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 9336 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 9439 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 9336 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 9439 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 8020 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 8989 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 9007 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 8138 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 276 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 8020 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 8989 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 9007 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 8138 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 277 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 8640 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 11311 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 338 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 9010 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2385 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 9010 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2385 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 338 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 753 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 134 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 12204 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 411 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | lttri3 8099 |
. . . . . . 7
| |
| 32 | 31 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 12100 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 112 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 12103 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 9437 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 11974 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1206 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 422 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 13 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 12104 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 11939 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 8995 |
. . . . . 6
|
| 47 | 33 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 48 | 21, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 21, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 50 | 42 | nnne0d 9027 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | dvdsval2 11933 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | 48, 52 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 54 | dvdsmul1 11956 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 55 | 4, 53, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | nncn 8990 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | nncn 8990 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 59 | 58 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 42 | nncnd 8996 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | 42 | nnap0d 9028 |
. . . . . . . . . 10
# |
| 62 | 57, 59, 60, 61 | divassapd 8845 |
. . . . . . . . 9
|
| 63 | 55, 62 | breqtrrd 4057 |
. . . . . . . 8
|
| 64 | 21, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 65 | dvdsval2 11933 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 49, 50, 4, 65 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 64, 66 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | dvdsmul1 11956 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 69 | 7, 67, 68 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 70 | 57, 59 | mulcomd 8041 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 71 | 70 | oveq1d 5933 |
. . . . . . . . . 10
|
| 72 | 59, 57, 60, 61 | divassapd 8845 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 71, 72 | eqtrd 2226 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 69, 73 | breqtrrd 4057 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | 63, 74 | jca 306 |
. . . . . . 7
|
| 76 | breq2 4033 |
. . . . . . . . 9
| |
| 77 | breq2 4033 |
. . . . . . . . 9
| |
| 78 | 76, 77 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 79 | 78 | elrab 2916 |
. . . . . . 7
|
| 80 | 45, 75, 79 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
|
| 81 | 46 | adantr 276 |
. . . . . . 7
|
| 82 | elrabi 2913 |
. . . . . . . . 9
| |
| 83 | 82 | nnred 8995 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 85 | breq2 4033 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | breq2 4033 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 87 | 85, 86 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . 9
|
| 88 | 87 | elrab 2916 |
. . . . . . . 8
|
| 89 | bezout 12148 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 92 | nncn 8990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 93 | 92 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 94 | 1 | nncnd 8996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 95 | 94 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 96 | 60 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 57 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 98 | 58 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 99 | simplll 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 100 | 99 | nnap0d 9028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 101 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 101 | nnap0d 9028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 103 | 97, 98, 100, 102 | mulap0d 8677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 104 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 105 | 93, 95, 96, 103, 104 | divdivap2d 8842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 105 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | oveq2 5926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 107 | oveq1d 5933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | zcn 9322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 111 | 97, 110 | mulcld 8040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 112 | zcn 9322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 113 | 112 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 114 | 98, 113 | mulcld 8040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 115 | 93, 111, 114 | adddid 8044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 116 | 115 | oveq1d 5933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 117 | 93, 111 | mulcld 8040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 118 | 93, 114 | mulcld 8040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 119 | 117, 118, 95, 103 | divdirapd 8848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 120 | 116, 119 | eqtrd 2226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 121 | 108, 120 | sylan9eqr 2248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 93, 97, 110 | mul12d 8171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 123 | 122 | oveq1d 5933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 124 | 93, 110 | mulcld 8040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | 124, 98, 97, 102, 100 | divcanap5d 8836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 126 | 123, 125 | eqtrd 2226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 127 | 93, 98, 113 | mul12d 8171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 128 | 127 | oveq1d 5933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 129 | 70 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 129 | oveq2d 5934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 93, 113 | mulcld 8040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 132 | 131, 97, 98, 100, 102 | divcanap5d 8836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 133 | 128, 130, 132 | 3eqtrd 2230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 134 | 126, 133 | oveq12d 5936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 135 | 134 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 136 | 106, 121, 135 | 3eqtrd 2230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 137 | 136 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 138 | 137 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 139 | 138 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 140 | 6 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 141 | nnz 9336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 142 | 141 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 143 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 144 | dvdsmultr1 11974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 145 | 140, 142, 143, 144 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 146 | 24 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 147 | 142, 143 | zmulcld 9445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 148 | dvdsval2 11933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 149 | 140, 146, 147, 148 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 150 | 145, 149 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 151 | 150 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 151 | 3impia 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 153 | 3 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 154 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 155 | dvdsmultr1 11974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 156 | 153, 142, 154, 155 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 157 | 22 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 158 | 142, 154 | zmulcld 9445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 159 | dvdsval2 11933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 160 | 153, 157, 158, 159 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 161 | 156, 160 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 162 | 161 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 163 | 162 | 3impia 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 164 | 152, 163 | zaddcld 9443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 165 | 164 | 3expia 1207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 166 | 165 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 167 | 166 | impr 379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 168 | 167 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 169 | 168 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 170 | 139, 169 | eqeltrd 2270 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 45 | nnzd 9438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 172 | 171 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 173 | 45 | nnne0d 9027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 174 | 173 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 175 | 142 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 176 | dvdsval2 11933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 177 | 172, 174, 175, 176 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 178 | 177 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 179 | 170, 178 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 180 | 179 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 181 | 180 | anassrs 400 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 182 | 181 | reximdva 2596 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 182 | reximdva 2596 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 91, 183 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 1z 9343 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 186 | elex2 2776 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 187 | r19.9rmv 3538 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 188 | 185, 186, 187 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 189 | r19.9rmv 3538 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 185, 186, 189 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 188, 190 | bitri 184 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 184, 191 | sylibr 134 |
. . . . . . . . 9
|
| 193 | 171 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 194 | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 195 | dvdsle 11986 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 196 | 193, 194, 195 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 197 | 192, 196 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 198 | 88, 197 | sylan2b 287 |
. . . . . . 7
|
| 199 | 81, 84, 198 | lensymd 8141 |
. . . . . 6
|
| 200 | 32, 46, 80, 199 | infminti 7086 |
. . . . 5
inf
|
| 201 | 30, 200 | eqtr2d 2227 |
. . . 4
lcm |
| 202 | 201, 45 | eqeltrrd 2271 |
. . . . . 6
lcm |
| 203 | 202 | nncnd 8996 |
. . . . 5
lcm |
| 204 | 94, 203, 60, 61 | divmulap3d 8844 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 205 | 201, 204 | mpbid 147 |
. . 3
lcm |
| 206 | 20, 205 | eqtr2d 2227 |
. 2
lcm
|
| 207 | simprl 529 |
. . . 4
| |
| 208 | eleq1 2256 |
. . . . . . . 8
| |
| 209 | breq2 4033 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | breq2 4033 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 210 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | 208, 211 | anbi12d 473 |
. . . . . . 7
|
| 213 | 212 | anbi2d 464 |
. . . . . 6
|
| 214 | breq2 4033 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
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. . . . 5
lcm
lcm
|
| 216 | 201 | breq1d 4039 |
. . . . . . 7
lcm |
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. . . . . 6
lcm |
| 218 | 192, 217 | mpbid 147 |
. . . . 5
lcm
|
| 219 | 215, 218 | vtoclg 2820 |
. . . 4
lcm
|
| 220 | 207, 219 | mpcom 36 |
. . 3
lcm
|
| 221 | 220 | ex 115 |
. 2
lcm |
| 222 | 206, 221 | jca 306 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 w3a 980 wceq 1364 wex 1503 wcel 2164 wne 2364 wrex 2473 crab 2476 class class class wbr 4029
cfv 5254
(class class class)co 5918 infcinf 7042
cc 7870
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cz 9317
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-lcm 12199 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 12216 lcmdvds 12217 |
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