Theorem lcmgcdlem 12077

Description: Lemma for lcmgcd 12078 and lcmdvds 12079. Prove them for positive M, N, and K. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmgcdlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) /\ ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )

Proof of Theorem lcmgcdlem

Dummy variables n f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 8940	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. NN )
2	1	nnred 8932	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. RR )
3		nnz 9272	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
5	4	zred 9375	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
6		nnz 9272	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
8	7	zred 9375	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. RR )
9		0red 7958	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> 0 e. RR )
10		nnre 8926	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. RR )
11		nngt0 8944	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> 0 < M )
12	9, 10, 11	ltled 8076	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> 0 <_ M )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ M )
14		0red 7958	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
15		nnre 8926	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
16		nngt0 8944	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
17	14, 15, 16	ltled 8076	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ N )
19	5, 8, 13, 18	mulge0d 8578	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( M x. N ) )
20	2, 19	absidd 11176	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( abs ` ( M x. N ) ) = ( M x. N ) )
21	3, 6	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
22		nnne0 8947	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
23	22	neneqd 2368	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> -. M = 0 )
24		nnne0 8947	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
25	24	neneqd 2368	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
26	23, 25	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( -. M = 0 /\ -. N = 0 ) )
27		ioran 752	. . . . . . 7 |- ( -. ( M = 0 \/ N = 0 ) <-> ( -. M = 0 /\ -. N = 0 ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( M = 0 \/ N = 0 ) )
29		lcmn0val 12066	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) = inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) )
30	21, 28, 29	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) = inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) )
31		lttri3 8037	. . . . . . 7 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
32	31	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
33		gcddvds 11964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
34	33	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || M )
35		gcdcl 11967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
36	35	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
37		dvdsmultr1 11838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
38	37	3expb 1204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
39	36, 38	mpancom 422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
40	34, 39	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) )
41	21, 40	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) )
42		gcdnncl 11968	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN )
43		nndivdvds 11803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ ( M gcd N ) e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || ( M x. N ) <-> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN ) )
44	1, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || ( M x. N ) <-> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN ) )
45	41, 44	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN )
46	45	nnred 8932	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. RR )
47	33	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || N )
48	21, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || N )
49	21, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
50	42	nnne0d 8964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) =/= 0 )
51		dvdsval2 11797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
52	49, 50, 7, 51	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
53	48, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
54		dvdsmul1 11820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) -> M || ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
55	4, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M || ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
56		nncn 8927	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. CC )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
58		nncn 8927	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. CC )
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
60	42	nncnd 8933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. CC )
61	42	nnap0d 8965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) # 0 )
62	57, 59, 60, 61	divassapd 8783	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
63	55, 62	breqtrrd 4032	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
64	21, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || M )
65		dvdsval2 11797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
66	49, 50, 4, 65	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
67	64, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
68		dvdsmul1 11820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) -> N || ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
69	7, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N || ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
70	57, 59	mulcomd 7979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) = ( N x. M ) )
71	70	oveq1d 5890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( N x. M ) / ( M gcd N ) ) )
72	59, 57, 60, 61	divassapd 8783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N x. M ) / ( M gcd N ) ) = ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
73	71, 72	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
74	69, 73	breqtrrd 4032	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
75	63, 74	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
76		breq2 4008	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( M || x <-> M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
77		breq2 4008	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( N || x <-> N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
78	76, 77	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( ( M || x /\ N || x ) <-> ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) ) )
79	78	elrab 2894	. . . . . . 7 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } <-> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) ) )
80	45, 75, 79	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } )
81	46	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. RR )
82		elrabi 2891	. . . . . . . . 9 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } -> n e. NN )
83	82	nnred 8932	. . . . . . . 8 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } -> n e. RR )
84	83	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> n e. RR )
85		breq2 4008	. . . . . . . . . 10 |- ( x = n -> ( M || x <-> M || n ) )
86		breq2 4008	. . . . . . . . . 10 |- ( x = n -> ( N || x <-> N || n ) )
87	85, 86	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( ( M || x /\ N || x ) <-> ( M || n /\ N || n ) ) )
88	87	elrab 2894	. . . . . . . 8 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } <-> ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) )
89		bezout 12012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
92		nncn 8927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN -> n e. CC )
93	92	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. CC )
94	1	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. CC )
95	94	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) e. CC )
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M gcd N ) e. CC )
97	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. CC )
98	58	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. CC )
99		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. NN )
100	99	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M # 0 )
101		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. NN )
102	101	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N # 0 )
103	97, 98, 100, 102	mulap0d 8615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) # 0 )
104	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M gcd N ) # 0 )
105	93, 95, 96, 103, 104	divdivap2d 8780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) )
106	105	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) )
107		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n x. ( M gcd N ) ) = ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) )
108	107	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) )
109		zcn 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
110	109	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
111	97, 110	mulcld 7978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. x ) e. CC )
112		zcn 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
113	112	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
114	98, 113	mulcld 7978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N x. y ) e. CC )
115	93, 111, 114	adddid 7982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) = ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) )
116	115	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) )
117	93, 111	mulcld 7978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( M x. x ) ) e. CC )
118	93, 114	mulcld 7978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( N x. y ) ) e. CC )
119	117, 118, 95, 103	divdirapd 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
120	116, 119	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
121	108, 120	sylan9eqr 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
122	93, 97, 110	mul12d 8109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( M x. x ) ) = ( M x. ( n x. x ) ) )
123	122	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( M x. ( n x. x ) ) / ( M x. N ) ) )
124	93, 110	mulcld 7978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. x ) e. CC )
125	124, 98, 97, 102, 100	divcanap5d 8774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. ( n x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. x ) / N ) )
126	123, 125	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. x ) / N ) )
127	93, 98, 113	mul12d 8109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( N x. y ) ) = ( N x. ( n x. y ) ) )
128	127	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( M x. N ) ) )
129	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) = ( N x. M ) )
130	129	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( N x. M ) ) )
131	93, 113	mulcld 7978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. y ) e. CC )
132	131, 97, 98, 100, 102	divcanap5d 8774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( N x. M ) ) = ( ( n x. y ) / M ) )
133	128, 130, 132	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. y ) / M ) )
134	126, 133	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
135	134	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
136	106, 121, 135	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
137	136	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) ) )
138	137	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) ) )
139	138	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
140	6	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
141		nnz 9272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
142	141	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
143		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
144		dvdsmultr1 11838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( N || n -> N || ( n x. x ) ) )
145	140, 142, 143, 144	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || n -> N || ( n x. x ) ) )
146	24	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N =/= 0 )
147	142, 143	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. x ) e. ZZ )
148		dvdsval2 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ ( n x. x ) e. ZZ ) -> ( N || ( n x. x ) <-> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
149	140, 146, 147, 148	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || ( n x. x ) <-> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
150	145, 149	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || n -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
151	150	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
152	151	3impia 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ )
153	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
154		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
155		dvdsmultr1 11838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( M || n -> M || ( n x. y ) ) )
156	153, 142, 154, 155	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || n -> M || ( n x. y ) ) )
157	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M =/= 0 )
158	142, 154	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. y ) e. ZZ )
159		dvdsval2 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( n x. y ) e. ZZ ) -> ( M || ( n x. y ) <-> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
160	153, 157, 158, 159	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || ( n x. y ) <-> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
161	156, 160	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || n -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
162	161	adantrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
163	162	3impia 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ )
164	152, 163	zaddcld 9379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
165	164	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ ) )
166	165	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ ) )
167	166	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
168	167	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
169	168	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
170	139, 169	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ )
171	45	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
172	171	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
173	45	nnne0d 8964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 )
174	173	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 )
175	142	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
176		dvdsval2 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
177	172, 174, 175, 176	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
178	177	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
179	170, 178	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
180	179	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
181	180	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
182	181	reximdva 2579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
183	182	reximdva 2579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
184	91, 183	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
185		1z 9279	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
186		elex2 2754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> E. w w e. ZZ )
187		r19.9rmv 3515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ZZ -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
188	185, 186, 187	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
189		r19.9rmv 3515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ZZ -> ( E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
190	185, 186, 189	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
191	188, 190	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
192	184, 191	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
193	171	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
194		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> n e. NN )
195		dvdsle 11850	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ n e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n ) )
196	193, 194, 195	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n ) )
197	192, 196	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n )
198	88, 197	sylan2b 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n )
199	81, 84, 198	lensymd 8079	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> -. n < ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
200	32, 46, 80, 199	infminti 7026	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
201	30, 200	eqtr2d 2211	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M lcm N ) )
202	201, 45	eqeltrrd 2255	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) e. NN )
203	202	nncnd 8933	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) e. CC )
204	94, 203, 60, 61	divmulap3d 8782	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M lcm N ) <-> ( M x. N ) = ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) ) )
205	201, 204	mpbid 147	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) = ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) )
206	20, 205	eqtr2d 2211	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) )
207		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> K e. NN )
208		eleq1 2240	. . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( n e. NN <-> K e. NN ) )
209		breq2 4008	. . . . . . . . 9 |- ( n = K -> ( M || n <-> M || K ) )
210		breq2 4008	. . . . . . . . 9 |- ( n = K -> ( N || n <-> N || K ) )
211	209, 210	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( ( M || n /\ N || n ) <-> ( M || K /\ N || K ) ) )
212	208, 211	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( n = K -> ( ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) <-> ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) )
213	212	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( n = K -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) <-> ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) ) )
214		breq2 4008	. . . . . 6 |- ( n = K -> ( ( M lcm N ) || n <-> ( M lcm N ) || K ) )
215	213, 214	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( n = K -> ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( M lcm N ) || n ) <-> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )
216	201	breq1d 4014	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( M lcm N ) || n ) )
217	216	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( M lcm N ) || n ) )
218	192, 217	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( M lcm N ) || n )
219	215, 218	vtoclg 2798	. . . 4 |- ( K e. NN -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K ) )
220	207, 219	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K )
221	220	ex 115	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) )
222	206, 221	jca 306	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) /\ ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   E.wrex 2456   {crab 2459   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875  infcinf 6982   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   x. cmul 7816   < clt 7992   <_ cle 7993   # cap 8538   / cdiv 8629   NNcn 8919   ZZcz 9253   abscabs 11006   || cdvds 11794   gcd cgcd 11943   lcm clcm 12060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-lcm 12061

This theorem is referenced by:  lcmgcd  12078  lcmdvds  12079