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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdlem | Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 12771 and lcmdvds 12772. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 9257 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 9249 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 9595 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 9699 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 9595 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 9699 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 8274 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 9243 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 9261 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 8391 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 276 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 8274 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 9243 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 9261 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 8391 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 277 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 8894 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 11848 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 338 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 9264 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2433 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 9264 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2433 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 338 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 760 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 134 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 12759 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 411 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | lttri3 8352 |
. . . . . . 7
| |
| 32 | 31 | adantl 277 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 12655 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 112 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 12658 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 9697 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 12513 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1231 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 422 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 13 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 12659 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 12478 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 9249 |
. . . . . 6
|
| 47 | 33 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 48 | 21, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 21, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 50 | 42 | nnne0d 9281 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | dvdsval2 12472 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | 48, 52 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 54 | dvdsmul1 12495 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 55 | 4, 53, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | nncn 9244 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | nncn 9244 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 59 | 58 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 42 | nncnd 9250 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | 42 | nnap0d 9282 |
. . . . . . . . . 10
# |
| 62 | 57, 59, 60, 61 | divassapd 9099 |
. . . . . . . . 9
|
| 63 | 55, 62 | breqtrrd 4136 |
. . . . . . . 8
|
| 64 | 21, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 65 | dvdsval2 12472 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 49, 50, 4, 65 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 64, 66 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | dvdsmul1 12495 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 69 | 7, 67, 68 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 70 | 57, 59 | mulcomd 8294 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 71 | 70 | oveq1d 6064 |
. . . . . . . . . 10
|
| 72 | 59, 57, 60, 61 | divassapd 9099 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 71, 72 | eqtrd 2265 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 69, 73 | breqtrrd 4136 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | 63, 74 | jca 306 |
. . . . . . 7
|
| 76 | breq2 4112 |
. . . . . . . . 9
| |
| 77 | breq2 4112 |
. . . . . . . . 9
| |
| 78 | 76, 77 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 79 | 78 | elrab 2972 |
. . . . . . 7
|
| 80 | 45, 75, 79 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
|
| 81 | 46 | adantr 276 |
. . . . . . 7
|
| 82 | elrabi 2969 |
. . . . . . . . 9
| |
| 83 | 82 | nnred 9249 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 85 | breq2 4112 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | breq2 4112 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 87 | 85, 86 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . 9
|
| 88 | 87 | elrab 2972 |
. . . . . . . 8
|
| 89 | bezout 12703 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 92 | nncn 9244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 93 | 92 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 94 | 1 | nncnd 9250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 95 | 94 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 96 | 60 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 57 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 98 | 58 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 99 | simplll 535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 100 | 99 | nnap0d 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 101 | simpllr 536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 101 | nnap0d 9282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 103 | 97, 98, 100, 102 | mulap0d 8931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 104 | 61 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 105 | 93, 95, 96, 103, 104 | divdivap2d 9096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 105 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | oveq2 6057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 107 | oveq1d 6064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | zcn 9581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 111 | 97, 110 | mulcld 8293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 112 | zcn 9581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 113 | 112 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 114 | 98, 113 | mulcld 8293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 115 | 93, 111, 114 | adddid 8297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 116 | 115 | oveq1d 6064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 117 | 93, 111 | mulcld 8293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 118 | 93, 114 | mulcld 8293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 119 | 117, 118, 95, 103 | divdirapd 9102 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 120 | 116, 119 | eqtrd 2265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 121 | 108, 120 | sylan9eqr 2287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 93, 97, 110 | mul12d 8424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 123 | 122 | oveq1d 6064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 124 | 93, 110 | mulcld 8293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | 124, 98, 97, 102, 100 | divcanap5d 9090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 126 | 123, 125 | eqtrd 2265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 127 | 93, 98, 113 | mul12d 8424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 128 | 127 | oveq1d 6064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 129 | 70 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 129 | oveq2d 6065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 93, 113 | mulcld 8293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 132 | 131, 97, 98, 100, 102 | divcanap5d 9090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 133 | 128, 130, 132 | 3eqtrd 2269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 134 | 126, 133 | oveq12d 6067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 135 | 134 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 136 | 106, 121, 135 | 3eqtrd 2269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 137 | 136 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 138 | 137 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 139 | 138 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 140 | 6 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 141 | nnz 9595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 142 | 141 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 143 | simprl 531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 144 | dvdsmultr1 12513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 145 | 140, 142, 143, 144 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 146 | 24 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 147 | 142, 143 | zmulcld 9705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 148 | dvdsval2 12472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 149 | 140, 146, 147, 148 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 150 | 145, 149 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 151 | 150 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 151 | 3impia 1227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 153 | 3 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 154 | simprr 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 155 | dvdsmultr1 12513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 156 | 153, 142, 154, 155 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 157 | 22 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 158 | 142, 154 | zmulcld 9705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 159 | dvdsval2 12472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 160 | 153, 157, 158, 159 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 161 | 156, 160 | sylibd 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 162 | 161 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 163 | 162 | 3impia 1227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 164 | 152, 163 | zaddcld 9703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 165 | 164 | 3expia 1232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 166 | 165 | an32s 570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 167 | 166 | impr 379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 168 | 167 | an32s 570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 169 | 168 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 170 | 139, 169 | eqeltrd 2309 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 45 | nnzd 9698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 172 | 171 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 173 | 45 | nnne0d 9281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 174 | 173 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 175 | 142 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 176 | dvdsval2 12472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 177 | 172, 174, 175, 176 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 178 | 177 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 179 | 170, 178 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 180 | 179 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 181 | 180 | anassrs 400 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 182 | 181 | reximdva 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 182 | reximdva 2644 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 91, 183 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 1z 9602 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 186 | elex2 2829 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 187 | r19.9rmv 3600 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 188 | 185, 186, 187 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 189 | r19.9rmv 3600 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 185, 186, 189 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 188, 190 | bitri 184 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 184, 191 | sylibr 134 |
. . . . . . . . 9
|
| 193 | 171 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 194 | simprl 531 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 195 | dvdsle 12526 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 196 | 193, 194, 195 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 197 | 192, 196 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 198 | 88, 197 | sylan2b 287 |
. . . . . . 7
|
| 199 | 81, 84, 198 | lensymd 8394 |
. . . . . 6
|
| 200 | 32, 46, 80, 199 | infminti 7317 |
. . . . 5
inf
|
| 201 | 30, 200 | eqtr2d 2266 |
. . . 4
lcm |
| 202 | 201, 45 | eqeltrrd 2310 |
. . . . . 6
lcm |
| 203 | 202 | nncnd 9250 |
. . . . 5
lcm |
| 204 | 94, 203, 60, 61 | divmulap3d 9098 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 205 | 201, 204 | mpbid 147 |
. . 3
lcm |
| 206 | 20, 205 | eqtr2d 2266 |
. 2
lcm
|
| 207 | simprl 531 |
. . . 4
| |
| 208 | eleq1 2295 |
. . . . . . . 8
| |
| 209 | breq2 4112 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | breq2 4112 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 210 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | 208, 211 | anbi12d 473 |
. . . . . . 7
|
| 213 | 212 | anbi2d 464 |
. . . . . 6
|
| 214 | breq2 4112 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
| 215 | 213, 214 | imbi12d 234 |
. . . . 5
lcm
lcm
|
| 216 | 201 | breq1d 4118 |
. . . . . . 7
lcm |
| 217 | 216 | adantr 276 |
. . . . . 6
lcm |
| 218 | 192, 217 | mpbid 147 |
. . . . 5
lcm
|
| 219 | 215, 218 | vtoclg 2874 |
. . . 4
lcm
|
| 220 | 207, 219 | mpcom 36 |
. . 3
lcm
|
| 221 | 220 | ex 115 |
. 2
lcm |
| 222 | 206, 221 | jca 306 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 716 w3a 1005 wceq 1398 wex 1541 wcel 2203 wne 2412 wrex 2521 crab 2524 class class class wbr 4108
cfv 5351
(class class class)co 6049 infcinf 7273
cc 8124
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cabs 11678
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4224 ax-sep 4227 ax-nul 4235 ax-pow 4286 ax-pr 4321 ax-un 4553 ax-setind 4658 ax-iinf 4709 ax-cnex 8217 ax-resscn 8218 ax-1cn 8219 ax-1re 8220 ax-icn 8221 ax-addcl 8222 ax-addrcl 8223 ax-mulcl 8224 ax-mulrcl 8225 ax-addcom 8226 ax-mulcom 8227 ax-addass 8228 ax-mulass 8229 ax-distr 8230 ax-i2m1 8231 ax-0lt1 8232 ax-1rid 8233 ax-0id 8234 ax-rnegex 8235 ax-precex 8236 ax-cnre 8237 ax-pre-ltirr 8238 ax-pre-ltwlin 8239 ax-pre-lttrn 8240 ax-pre-apti 8241 ax-pre-ltadd 8242 ax-pre-mulgt0 8243 ax-pre-mulext 8244 ax-arch 8245 ax-caucvg 8246 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2814 df-sbc 3042 df-csb 3138 df-dif 3212 df-un 3214 df-in 3216 df-ss 3223 df-nul 3508 df-if 3620 df-pw 3670 df-sn 3694 df-pr 3695 df-op 3697 df-uni 3914 df-int 3949 df-iun 3992 df-br 4109 df-opab 4171 df-mpt 4172 df-tr 4208 df-id 4413 df-po 4416 df-iso 4417 df-iord 4486 df-on 4488 df-ilim 4489 df-suc 4491 df-iom 4712 df-xp 4754 df-rel 4755 df-cnv 4756 df-co 4757 df-dm 4758 df-rn 4759 df-res 4760 df-ima 4761 df-iota 5311 df-fun 5353 df-fn 5354 df-f 5355 df-f1 5356 df-fo 5357 df-f1o 5358 df-fv 5359 df-isom 5360 df-riota 6002 df-ov 6052 df-oprab 6053 df-mpo 6054 df-1st 6333 df-2nd 6334 df-recs 6535 df-frec 6621 df-sup 7274 df-inf 7275 df-pnf 8309 df-mnf 8310 df-xr 8311 df-ltxr 8312 df-le 8313 df-sub 8445 df-neg 8446 df-reap 8848 df-ap 8855 df-div 8946 df-inn 9237 df-2 9295 df-3 9296 df-4 9297 df-n0 9496 df-z 9577 df-uz 9853 df-q 9951 df-rp 9986 df-fz 10342 df-fzo 10476 df-fl 10629 df-mod 10684 df-seqfrec 10809 df-exp 10900 df-cj 11523 df-re 11524 df-im 11525 df-rsqrt 11679 df-abs 11680 df-dvds 12470 df-gcd 12646 df-lcm 12754 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 12771 lcmdvds 12772 |
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