Theorem lcmgcdlem 12838

Description: Lemma for lcmgcd 12839 and lcmdvds 12840. Prove them for positive M, N, and K. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmgcdlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) /\ ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )

Proof of Theorem lcmgcdlem

Dummy variables n f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 9308	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. NN )
2	1	nnred 9300	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. RR )
3		nnz 9646	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
5	4	zred 9751	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
6		nnz 9646	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
8	7	zred 9751	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. RR )
9		0red 8321	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> 0 e. RR )
10		nnre 9294	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. RR )
11		nngt0 9312	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> 0 < M )
12	9, 10, 11	ltled 8439	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> 0 <_ M )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ M )
14		0red 8321	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
15		nnre 9294	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
16		nngt0 9312	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
17	14, 15, 16	ltled 8439	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ N )
19	5, 8, 13, 18	mulge0d 8943	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( M x. N ) )
20	2, 19	absidd 11916	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( abs ` ( M x. N ) ) = ( M x. N ) )
21	3, 6	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
22		nnne0 9315	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
23	22	neneqd 2441	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> -. M = 0 )
24		nnne0 9315	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
25	24	neneqd 2441	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
26	23, 25	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( -. M = 0 /\ -. N = 0 ) )
27		ioran 764	. . . . . . 7 |- ( -. ( M = 0 \/ N = 0 ) <-> ( -. M = 0 /\ -. N = 0 ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( M = 0 \/ N = 0 ) )
29		lcmn0val 12827	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) = inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) )
30	21, 28, 29	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) = inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) )
31		lttri3 8399	. . . . . . 7 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
32	31	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
33		gcddvds 12723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
34	33	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || M )
35		gcdcl 12726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
36	35	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
37		dvdsmultr1 12581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
38	37	3expb 1235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
39	36, 38	mpancom 426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
40	34, 39	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) )
41	21, 40	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) )
42		gcdnncl 12727	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN )
43		nndivdvds 12546	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ ( M gcd N ) e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || ( M x. N ) <-> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN ) )
44	1, 42, 43	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || ( M x. N ) <-> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN ) )
45	41, 44	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN )
46	45	nnred 9300	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. RR )
47	33	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || N )
48	21, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || N )
49	21, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
50	42	nnne0d 9332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) =/= 0 )
51		dvdsval2 12540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
52	49, 50, 7, 51	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
53	48, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
54		dvdsmul1 12563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) -> M || ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
55	4, 53, 54	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M || ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
56		nncn 9295	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. CC )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
58		nncn 9295	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. CC )
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
60	42	nncnd 9301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. CC )
61	42	nnap0d 9333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) # 0 )
62	57, 59, 60, 61	divassapd 9150	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
63	55, 62	breqtrrd 4156	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
64	21, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || M )
65		dvdsval2 12540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
66	49, 50, 4, 65	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
67	64, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
68		dvdsmul1 12563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) -> N || ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
69	7, 67, 68	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N || ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
70	57, 59	mulcomd 8341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) = ( N x. M ) )
71	70	oveq1d 6094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( N x. M ) / ( M gcd N ) ) )
72	59, 57, 60, 61	divassapd 9150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N x. M ) / ( M gcd N ) ) = ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
73	71, 72	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
74	69, 73	breqtrrd 4156	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
75	63, 74	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
76		breq2 4132	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( M || x <-> M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
77		breq2 4132	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( N || x <-> N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
78	76, 77	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( ( M || x /\ N || x ) <-> ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) ) )
79	78	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } <-> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) ) )
80	45, 75, 79	sylanbrc 421	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } )
81	46	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. RR )
82		elrabi 2979	. . . . . . . . 9 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } -> n e. NN )
83	82	nnred 9300	. . . . . . . 8 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } -> n e. RR )
84	83	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> n e. RR )
85		breq2 4132	. . . . . . . . . 10 |- ( x = n -> ( M || x <-> M || n ) )
86		breq2 4132	. . . . . . . . . 10 |- ( x = n -> ( N || x <-> N || n ) )
87	85, 86	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( ( M || x /\ N || x ) <-> ( M || n /\ N || n ) ) )
88	87	elrab 2982	. . . . . . . 8 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } <-> ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) )
89		bezout 12771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
92		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN -> n e. CC )
93	92	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. CC )
94	1	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. CC )
95	94	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) e. CC )
96	60	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M gcd N ) e. CC )
97	57	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. CC )
98	58	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. CC )
99		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. NN )
100	99	nnap0d 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M # 0 )
101		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. NN )
102	101	nnap0d 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N # 0 )
103	97, 98, 100, 102	mulap0d 8980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) # 0 )
104	61	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M gcd N ) # 0 )
105	93, 95, 96, 103, 104	divdivap2d 9147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) )
106	105	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) )
107		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n x. ( M gcd N ) ) = ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) )
108	107	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) )
109		zcn 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
110	109	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
111	97, 110	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. x ) e. CC )
112		zcn 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
113	112	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
114	98, 113	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N x. y ) e. CC )
115	93, 111, 114	adddid 8344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) = ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) )
116	115	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) )
117	93, 111	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( M x. x ) ) e. CC )
118	93, 114	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( N x. y ) ) e. CC )
119	117, 118, 95, 103	divdirapd 9153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
120	116, 119	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
121	108, 120	sylan9eqr 2293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
122	93, 97, 110	mul12d 8472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( M x. x ) ) = ( M x. ( n x. x ) ) )
123	122	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( M x. ( n x. x ) ) / ( M x. N ) ) )
124	93, 110	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. x ) e. CC )
125	124, 98, 97, 102, 100	divcanap5d 9141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. ( n x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. x ) / N ) )
126	123, 125	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. x ) / N ) )
127	93, 98, 113	mul12d 8472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( N x. y ) ) = ( N x. ( n x. y ) ) )
128	127	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( M x. N ) ) )
129	70	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) = ( N x. M ) )
130	129	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( N x. M ) ) )
131	93, 113	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. y ) e. CC )
132	131, 97, 98, 100, 102	divcanap5d 9141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( N x. M ) ) = ( ( n x. y ) / M ) )
133	128, 130, 132	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. y ) / M ) )
134	126, 133	oveq12d 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
135	134	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
136	106, 121, 135	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
137	136	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) ) )
138	137	adantlrr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) ) )
139	138	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
140	6	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
141		nnz 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
142	141	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
143		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
144		dvdsmultr1 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( N || n -> N || ( n x. x ) ) )
145	140, 142, 143, 144	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || n -> N || ( n x. x ) ) )
146	24	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N =/= 0 )
147	142, 143	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. x ) e. ZZ )
148		dvdsval2 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ ( n x. x ) e. ZZ ) -> ( N || ( n x. x ) <-> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
149	140, 146, 147, 148	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || ( n x. x ) <-> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
150	145, 149	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || n -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
151	150	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
152	151	3impia 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ )
153	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
154		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
155		dvdsmultr1 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( M || n -> M || ( n x. y ) ) )
156	153, 142, 154, 155	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || n -> M || ( n x. y ) ) )
157	22	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M =/= 0 )
158	142, 154	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. y ) e. ZZ )
159		dvdsval2 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( n x. y ) e. ZZ ) -> ( M || ( n x. y ) <-> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
160	153, 157, 158, 159	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || ( n x. y ) <-> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
161	156, 160	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || n -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
162	161	adantrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
163	162	3impia 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ )
164	152, 163	zaddcld 9755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
165	164	3expia 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ ) )
166	165	an32s 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ ) )
167	166	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
168	167	an32s 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
169	168	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
170	139, 169	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ )
171	45	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
172	171	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
173	45	nnne0d 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 )
174	173	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 )
175	142	adantlrr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
176		dvdsval2 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
177	172, 174, 175, 176	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
178	177	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
179	170, 178	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
180	179	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
181	180	anassrs 404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
182	181	reximdva 2652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
183	182	reximdva 2652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
184	91, 183	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
185		1z 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
186		elex2 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> E. w w e. ZZ )
187		r19.9rmv 3619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ZZ -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
188	185, 186, 187	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
189		r19.9rmv 3619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ZZ -> ( E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
190	185, 186, 189	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
191	188, 190	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
192	184, 191	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
193	171	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
194		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> n e. NN )
195		dvdsle 12594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ n e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n ) )
196	193, 194, 195	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n ) )
197	192, 196	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n )
198	88, 197	sylan2b 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n )
199	81, 84, 198	lensymd 8442	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> -. n < ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
200	32, 46, 80, 199	infminti 7361	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
201	30, 200	eqtr2d 2272	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M lcm N ) )
202	201, 45	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) e. NN )
203	202	nncnd 9301	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) e. CC )
204	94, 203, 60, 61	divmulap3d 9149	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M lcm N ) <-> ( M x. N ) = ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) ) )
205	201, 204	mpbid 147	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) = ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) )
206	20, 205	eqtr2d 2272	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) )
207		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> K e. NN )
208		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( n e. NN <-> K e. NN ) )
209		breq2 4132	. . . . . . . . 9 |- ( n = K -> ( M || n <-> M || K ) )
210		breq2 4132	. . . . . . . . 9 |- ( n = K -> ( N || n <-> N || K ) )
211	209, 210	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( ( M || n /\ N || n ) <-> ( M || K /\ N || K ) ) )
212	208, 211	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( n = K -> ( ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) <-> ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) )
213	212	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( n = K -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) <-> ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) ) )
214		breq2 4132	. . . . . 6 |- ( n = K -> ( ( M lcm N ) || n <-> ( M lcm N ) || K ) )
215	213, 214	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( n = K -> ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( M lcm N ) || n ) <-> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )
216	201	breq1d 4138	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( M lcm N ) || n ) )
217	216	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( M lcm N ) || n ) )
218	192, 217	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( M lcm N ) || n )
219	215, 218	vtoclg 2883	. . . 4 |- ( K e. NN -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K ) )
220	207, 219	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K )
221	220	ex 115	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) )
222	206, 221	jca 306	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) /\ ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   {crab 2532   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079  infcinf 7317   CCcc 8171   RRcr 8172   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   x. cmul 8178   < clt 8354   <_ cle 8355   # cap 8903   / cdiv 8996   NNcn 9287   ZZcz 9627   abscabs 11746   || cdvds 12537   gcd cgcd 12713   lcm clcm 12821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-lcm 12822

This theorem is referenced by:  lcmgcd  12839  lcmdvds  12840