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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdlem | Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 11759 and lcmdvds 11760. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 8741 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 8733 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 9073 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 9173 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 9073 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 275 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 9173 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 7767 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 8727 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 8745 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 7881 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 274 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 7767 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 8727 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 8745 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 7881 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 275 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 8383 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 10939 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 336 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 8748 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2329 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 8748 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2329 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 336 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 741 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 133 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 11747 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 408 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | lttri3 7844 |
. . . . . . 7
| |
| 32 | 31 | adantl 275 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 11652 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 111 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 11655 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 9171 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 11531 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1182 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 418 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 13 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 11656 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 11499 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 408 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 8733 |
. . . . . 6
|
| 47 | 33 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 48 | 21, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 21, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 50 | 42 | nnne0d 8765 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | dvdsval2 11496 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | 48, 52 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
|
| 54 | dvdsmul1 11515 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 55 | 4, 53, 54 | syl2anc 408 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | nncn 8728 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 57 | 56 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | nncn 8728 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 59 | 58 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 42 | nncnd 8734 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | 42 | nnap0d 8766 |
. . . . . . . . . 10
# |
| 62 | 57, 59, 60, 61 | divassapd 8586 |
. . . . . . . . 9
|
| 63 | 55, 62 | breqtrrd 3956 |
. . . . . . . 8
|
| 64 | 21, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 65 | dvdsval2 11496 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 49, 50, 4, 65 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 64, 66 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | dvdsmul1 11515 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 69 | 7, 67, 68 | syl2anc 408 |
. . . . . . . . 9
|
| 70 | 57, 59 | mulcomd 7787 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 71 | 70 | oveq1d 5789 |
. . . . . . . . . 10
|
| 72 | 59, 57, 60, 61 | divassapd 8586 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 71, 72 | eqtrd 2172 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 69, 73 | breqtrrd 3956 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | 63, 74 | jca 304 |
. . . . . . 7
|
| 76 | breq2 3933 |
. . . . . . . . 9
| |
| 77 | breq2 3933 |
. . . . . . . . 9
| |
| 78 | 76, 77 | anbi12d 464 |
. . . . . . . 8
|
| 79 | 78 | elrab 2840 |
. . . . . . 7
|
| 80 | 45, 75, 79 | sylanbrc 413 |
. . . . . 6
|
| 81 | 46 | adantr 274 |
. . . . . . 7
|
| 82 | elrabi 2837 |
. . . . . . . . 9
| |
| 83 | 82 | nnred 8733 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 83 | adantl 275 |
. . . . . . 7
|
| 85 | breq2 3933 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | breq2 3933 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 87 | 85, 86 | anbi12d 464 |
. . . . . . . . 9
|
| 88 | 87 | elrab 2840 |
. . . . . . . 8
|
| 89 | bezout 11699 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 91 | 90 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 92 | nncn 8728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 93 | 92 | ad2antlr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 94 | 1 | nncnd 8734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 95 | 94 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 96 | 60 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 57 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 98 | 58 | ad3antlr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 99 | simplll 522 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 100 | 99 | nnap0d 8766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 101 | simpllr 523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 101 | nnap0d 8766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 103 | 97, 98, 100, 102 | mulap0d 8419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 104 | 61 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 105 | 93, 95, 96, 103, 104 | divdivap2d 8583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 105 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | oveq2 5782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 107 | oveq1d 5789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | zcn 9059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 110 | 109 | ad2antrl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 111 | 97, 110 | mulcld 7786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 112 | zcn 9059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 113 | 112 | ad2antll 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 114 | 98, 113 | mulcld 7786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 115 | 93, 111, 114 | adddid 7790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 116 | 115 | oveq1d 5789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 117 | 93, 111 | mulcld 7786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 118 | 93, 114 | mulcld 7786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 119 | 117, 118, 95, 103 | divdirapd 8589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 120 | 116, 119 | eqtrd 2172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 121 | 108, 120 | sylan9eqr 2194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 93, 97, 110 | mul12d 7914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 123 | 122 | oveq1d 5789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 124 | 93, 110 | mulcld 7786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | 124, 98, 97, 102, 100 | divcanap5d 8577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 126 | 123, 125 | eqtrd 2172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 127 | 93, 98, 113 | mul12d 7914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 128 | 127 | oveq1d 5789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 129 | 70 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 129 | oveq2d 5790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 93, 113 | mulcld 7786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 132 | 131, 97, 98, 100, 102 | divcanap5d 8577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 133 | 128, 130, 132 | 3eqtrd 2176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 134 | 126, 133 | oveq12d 5792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 135 | 134 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 136 | 106, 121, 135 | 3eqtrd 2176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 137 | 136 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 138 | 137 | adantlrr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 139 | 138 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 140 | 6 | ad3antlr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 141 | nnz 9073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 142 | 141 | ad2antlr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 143 | simprl 520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 144 | dvdsmultr1 11531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 145 | 140, 142, 143, 144 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 146 | 24 | ad3antlr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 147 | 142, 143 | zmulcld 9179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 148 | dvdsval2 11496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 149 | 140, 146, 147, 148 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 150 | 145, 149 | sylibd 148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 151 | 150 | adantld 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 151 | 3impia 1178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 153 | 3 | ad3antrrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 154 | simprr 521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 155 | dvdsmultr1 11531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 156 | 153, 142, 154, 155 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 157 | 22 | ad3antrrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 158 | 142, 154 | zmulcld 9179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 159 | dvdsval2 11496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 160 | 153, 157, 158, 159 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 161 | 156, 160 | sylibd 148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 162 | 161 | adantrd 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 163 | 162 | 3impia 1178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 164 | 152, 163 | zaddcld 9177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 165 | 164 | 3expia 1183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 166 | 165 | an32s 557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 167 | 166 | impr 376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 168 | 167 | an32s 557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 169 | 168 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 170 | 139, 169 | eqeltrd 2216 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 45 | nnzd 9172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 172 | 171 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 173 | 45 | nnne0d 8765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 174 | 173 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 175 | 142 | adantlrr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 176 | dvdsval2 11496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 177 | 172, 174, 175, 176 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 178 | 177 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 179 | 170, 178 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 180 | 179 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 181 | 180 | anassrs 397 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 182 | 181 | reximdva 2534 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 182 | reximdva 2534 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 91, 183 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 1z 9080 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 186 | elex2 2702 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 187 | r19.9rmv 3454 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 188 | 185, 186, 187 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 189 | r19.9rmv 3454 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 185, 186, 189 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 188, 190 | bitri 183 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 184, 191 | sylibr 133 |
. . . . . . . . 9
|
| 193 | 171 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 194 | simprl 520 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 195 | dvdsle 11542 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 196 | 193, 194, 195 | syl2anc 408 |
. . . . . . . . 9
|
| 197 | 192, 196 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
| 198 | 88, 197 | sylan2b 285 |
. . . . . . 7
|
| 199 | 81, 84, 198 | lensymd 7884 |
. . . . . 6
|
| 200 | 32, 46, 80, 199 | infminti 6914 |
. . . . 5
inf
|
| 201 | 30, 200 | eqtr2d 2173 |
. . . 4
lcm |
| 202 | 201, 45 | eqeltrrd 2217 |
. . . . . 6
lcm |
| 203 | 202 | nncnd 8734 |
. . . . 5
lcm |
| 204 | 94, 203, 60, 61 | divmulap3d 8585 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 205 | 201, 204 | mpbid 146 |
. . 3
lcm |
| 206 | 20, 205 | eqtr2d 2173 |
. 2
lcm
|
| 207 | simprl 520 |
. . . 4
| |
| 208 | eleq1 2202 |
. . . . . . . 8
| |
| 209 | breq2 3933 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | breq2 3933 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 210 | anbi12d 464 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | 208, 211 | anbi12d 464 |
. . . . . . 7
|
| 213 | 212 | anbi2d 459 |
. . . . . 6
|
| 214 | breq2 3933 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
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. . . . 5
lcm
lcm
|
| 216 | 201 | breq1d 3939 |
. . . . . . 7
lcm |
| 217 | 216 | adantr 274 |
. . . . . 6
lcm |
| 218 | 192, 217 | mpbid 146 |
. . . . 5
lcm
|
| 219 | 215, 218 | vtoclg 2746 |
. . . 4
lcm
|
| 220 | 207, 219 | mpcom 36 |
. . 3
lcm
|
| 221 | 220 | ex 114 |
. 2
lcm |
| 222 | 206, 221 | jca 304 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 697 w3a 962 wceq 1331 wex 1468 wcel 1480 wne 2308 wrex 2417 crab 2420 class class class wbr 3929
cfv 5123
(class class class)co 5774 infcinf 6870
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cz 9054
cabs 10769
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738 ax-arch 7739 ax-caucvg 7740 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-isom 5132 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-sup 6871 df-inf 6872 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-3 8780 df-4 8781 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-q 9412 df-rp 9442 df-fz 9791 df-fzo 9920 df-fl 10043 df-mod 10096 df-seqfrec 10219 df-exp 10293 df-cj 10614 df-re 10615 df-im 10616 df-rsqrt 10770 df-abs 10771 df-dvds 11494 df-gcd 11636 df-lcm 11742 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 11759 lcmdvds 11760 |
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