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Theorem lcmgcdlem 11670
Description: Lemma for lcmgcd 11671 and lcmdvds 11672. Prove them for positive  M,  N, and  K. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmgcdlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M lcm 
N )  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
)  /\  ( ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) ) )

Proof of Theorem lcmgcdlem
Dummy variables  n  f  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 8705 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
21nnred 8697 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  RR )
3 nnz 9031 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
54zred 9131 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
6 nnz 9031 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
87zred 9131 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
9 0red 7735 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  0  e.  RR )
10 nnre 8691 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
11 nngt0 8709 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
129, 10, 11ltled 7849 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
1312adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  M )
14 0red 7735 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15 nnre 8691 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
16 nngt0 8709 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1714, 15, 16ltled 7849 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
1817adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  N )
195, 8, 13, 18mulge0d 8350 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  x.  N ) )
202, 19absidd 10894 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( abs `  ( M  x.  N )
)  =  ( M  x.  N ) )
213, 6anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
22 nnne0 8712 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
2322neneqd 2306 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  M  =  0 )
24 nnne0 8712 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2524neneqd 2306 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
2623, 25anim12i 336 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  M  =  0  /\  -.  N  =  0 ) )
27 ioran 726 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  /\  -.  N  =  0 ) )
2826, 27sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )
29 lcmn0val 11659 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )  ->  ( M lcm  N
)  = inf ( { x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  ) )
3021, 28, 29syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  = inf ( { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  ) )
31 lttri3 7812 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
3231adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
33 gcddvds 11564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
3433simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
35 gcdcl 11567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
3635nn0zd 9129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
37 dvdsmultr1 11443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  ->  ( M  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) ) )
38373expb 1167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  ->  ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N ) ) )
3936, 38mpancom 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
4034, 39mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) )
4121, 40syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) )
42 gcdnncl 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN )
43 nndivdvds 11411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  x.  N
)  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  e.  NN )  -> 
( ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N )  <->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN ) )
441, 42, 43syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N )  <->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN ) )
4541, 44mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
4645nnred 8697 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  RR )
4733simprd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
4821, 47syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
4921, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
5042nnne0d 8729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  =/=  0 )
51 dvdsval2 11408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5249, 50, 7, 51syl3anc 1201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5348, 52mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
54 dvdsmul1 11427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
554, 53, 54syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  ||  ( M  x.  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
56 nncn 8692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
5756adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
58 nncn 8692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
5958adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
6042nncnd 8698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  CC )
6142nnap0d 8730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
) #  0 )
6257, 59, 60, 61divassapd 8553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( M  x.  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
6355, 62breqtrrd 3926 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
6421, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
65 dvdsval2 11408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
6649, 50, 4, 65syl3anc 1201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
6764, 66mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
68 dvdsmul1 11427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
697, 67, 68syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  ||  ( N  x.  ( M  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
7057, 59mulcomd 7755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  =  ( N  x.  M ) )
7170oveq1d 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( ( N  x.  M )  / 
( M  gcd  N
) ) )
7259, 57, 60, 61divassapd 8553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  M )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7371, 72eqtrd 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7469, 73breqtrrd 3926 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
7563, 74jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  /\  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
76 breq2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  ( M  ||  x  <->  M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
77 breq2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7876, 77anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  (
( M  ||  x  /\  N  ||  x )  <-> 
( M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  /\  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
7978elrab 2813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  <->  ( (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( M  ||  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  /\  N  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
8045, 75, 79sylanbrc 413 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } )
8146adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  RR )
82 elrabi 2810 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  ->  n  e.  NN )
8382nnred 8697 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  ->  n  e.  RR )
8483adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  n  e.  RR )
85 breq2 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( M  ||  x  <->  M  ||  n
) )
86 breq2 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  n
) )
8785, 86anbi12d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( M  ||  x  /\  N  ||  x )  <-> 
( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )
8887elrab 2813 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  <->  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )
89 bezout 11611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
9021, 89syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
9190adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
92 nncn 8692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9392ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  n  e.  CC )
941nncnd 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  CC )
9594ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  CC )
9660ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N )  e.  CC )
9757ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  CC )
9858ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  CC )
99 simplll 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  NN )
10099nnap0d 8730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M #  0
)
101 simpllr 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  NN )
102101nnap0d 8730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N #  0
)
10397, 98, 100, 102mulap0d 8386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N ) #  0 )
10461ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N ) #  0 )
10593, 95, 96, 103, 104divdivap2d 8550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  gcd  N
) )  /  ( M  x.  N )
) )
106105adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  gcd  N
) )  /  ( M  x.  N )
) )
107 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  (
n  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) ) )
108107oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  (
( n  x.  ( M  gcd  N ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N )
) )
109 zcn 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
110109ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  CC )
11197, 110mulcld 7754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  x )  e.  CC )
112 zcn 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
113112ad2antll 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  CC )
11498, 113mulcld 7754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  y )  e.  CC )
11593, 111, 114adddid 7758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  x.  x )
)  +  ( n  x.  ( N  x.  y ) ) ) )
116115oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  +  ( n  x.  ( N  x.  y )
) )  /  ( M  x.  N )
) )
11793, 111mulcld 7754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( M  x.  x
) )  e.  CC )
11893, 114mulcld 7754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( N  x.  y
) )  e.  CC )
119117, 118, 95, 103divdirapd 8556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  +  ( n  x.  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
120116, 119eqtrd 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
121108, 120sylan9eqr 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( (
n  x.  ( M  gcd  N ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
12293, 97, 110mul12d 7882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( M  x.  x
) )  =  ( M  x.  ( n  x.  x ) ) )
123122oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( M  x.  x ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( M  x.  ( n  x.  x
) )  /  ( M  x.  N )
) )
12493, 110mulcld 7754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  x )  e.  CC )
125124, 98, 97, 102, 100divcanap5d 8544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  ( n  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  =  ( ( n  x.  x
)  /  N ) )
126123, 125eqtrd 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( M  x.  x ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  x )  /  N
) )
12793, 98, 113mul12d 7882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( N  x.  y
) )  =  ( N  x.  ( n  x.  y ) ) )
128127oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( N  x.  y ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( N  x.  ( n  x.  y
) )  /  ( M  x.  N )
) )
12970ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  =  ( N  x.  M ) )
130129oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  ( n  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) )  =  ( ( N  x.  (
n  x.  y ) )  /  ( N  x.  M ) ) )
13193, 113mulcld 7754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  y )  e.  CC )
132131, 97, 98, 100, 102divcanap5d 8544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  ( n  x.  y ) )  / 
( N  x.  M
) )  =  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )
133128, 130, 1323eqtrd 2154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( N  x.  y ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  y )  /  M
) )
134126, 133oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  /  ( M  x.  N ) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
135134adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  /  ( M  x.  N ) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
136106, 121, 1353eqtrd 2154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
137136ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) ) )
138137adantlrr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  ( ( ( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) ) ) )
139138imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  ( ( ( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) ) )
1406ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  ZZ )
141 nnz 9031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
142141ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  n  e.  ZZ )
143 simprl 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
144 dvdsmultr1 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  n  ->  N  ||  ( n  x.  x
) ) )
145140, 142, 143, 144syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  n  ->  N  ||  (
n  x.  x ) ) )
14624ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  =/=  0 )
147142, 143zmulcld 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  x )  e.  ZZ )
148 dvdsval2 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  (
n  x.  x )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  (
n  x.  x )  <-> 
( ( n  x.  x )  /  N
)  e.  ZZ ) )
149140, 146, 147, 148syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  ( n  x.  x
)  <->  ( ( n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ ) )
150145, 149sylibd 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  n  ->  ( (
n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ ) )
151150adantld 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( n  x.  x
)  /  N )  e.  ZZ ) )
1521513impia 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ )
1533ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  ZZ )
154 simprr 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
155 dvdsmultr1 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  n  ->  M  ||  ( n  x.  y
) ) )
156153, 142, 154, 155syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  n  ->  M  ||  (
n  x.  y ) ) )
15722ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  =/=  0 )
158142, 154zmulcld 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  y )  e.  ZZ )
159 dvdsval2 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
n  x.  y )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
n  x.  y )  <-> 
( ( n  x.  y )  /  M
)  e.  ZZ ) )
160153, 157, 158, 159syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  ( n  x.  y
)  <->  ( ( n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ ) )
161156, 160sylibd 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  n  ->  ( (
n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ ) )
162161adantrd 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( n  x.  y
)  /  M )  e.  ZZ ) )
1631623impia 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ )
164152, 163zaddcld 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) )  e.  ZZ )
1651643expia 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( ( n  x.  x )  /  N
)  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) )  e.  ZZ ) )
166165an32s 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ ) )
167166impr 376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M
) )  e.  ZZ )
168167an32s 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ )
169168adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ )
170139, 169eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )
17145nnzd 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
172171ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
17345nnne0d 8729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0 )
174173ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0 )
175142adantlrr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
176 dvdsval2 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  e.  ZZ ) )
177172, 174, 175, 176syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ ) )
178177adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ ) )
179170, 178mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n )
180179ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
181180anassrs 397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
182181reximdva 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
) )
183182reximdva 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
18491, 183mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n )
185 1z 9038 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
186 elex2 2676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  E. w  w  e.  ZZ )
187 r19.9rmv 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  w  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
188185, 186, 187mp2b 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
189 r19.9rmv 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  w  e.  ZZ  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
190185, 186, 189mp2b 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
191188, 190bitri 183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
192184, 191sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
193171adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  e.  ZZ )
194 simprl 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
195 dvdsle 11454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n ) )
196193, 194, 195syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  ||  n  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n ) )
197192, 196mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  <_  n
)
19888, 197sylan2b 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n )
19981, 84, 198lensymd 7852 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  -.  n  <  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )
20032, 46, 80, 199infminti 6882 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  -> inf ( { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  )  =  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
20130, 200eqtr2d 2151 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( M lcm  N
) )
202201, 45eqeltrrd 2195 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  e.  NN )
203202nncnd 8698 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  e.  CC )
20494, 203, 60, 61divmulap3d 8552 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  =  ( M lcm  N )  <->  ( M  x.  N )  =  ( ( M lcm  N )  x.  ( M  gcd  N ) ) ) )
205201, 204mpbid 146 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  =  ( ( M lcm  N )  x.  ( M  gcd  N
) ) )
20620, 205eqtr2d 2151 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M lcm  N
)  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
) )
207 simprl 505 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  K  e.  NN )
208 eleq1 2180 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  (
n  e.  NN  <->  K  e.  NN ) )
209 breq2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  K  ->  ( M  ||  n  <->  M  ||  K
) )
210 breq2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  K  ->  ( N  ||  n  <->  N  ||  K
) )
211209, 210anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  (
( M  ||  n  /\  N  ||  n )  <-> 
( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )
212208, 211anbi12d 464 . . . . . . 7  |-  ( n  =  K  ->  (
( n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  <->  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) ) )
213212anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( n  =  K  ->  (
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  <->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) ) ) )
214 breq2 3903 . . . . . 6  |-  ( n  =  K  ->  (
( M lcm  N ) 
||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  K ) )
215213, 214imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( n  =  K  ->  (
( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( M lcm  N )  ||  n )  <-> 
( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
) )
216201breq1d 3909 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  n ) )
217216adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  ||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  n ) )
218192, 217mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  n )
219215, 218vtoclg 2720 . . . 4  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
)
220207, 219mpcom 36 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
221220ex 114 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) )
222206, 221jca 304 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M lcm 
N )  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
)  /\  ( ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    /\ w3a 947    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465    =/= wne 2285   E.wrex 2394   {crab 2397   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742  infcinf 6838   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769   # cap 8310    / cdiv 8399   NNcn 8684   ZZcz 9012   abscabs 10724    || cdvds 11405    gcd cgcd 11547   lcm clcm 11653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-3 8744  df-4 8745  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-q 9368  df-rp 9398  df-fz 9746  df-fzo 9875  df-fl 9998  df-mod 10051  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-cj 10569  df-re 10570  df-im 10571  df-rsqrt 10725  df-abs 10726  df-dvds 11406  df-gcd 11548  df-lcm 11654
This theorem is referenced by:  lcmgcd  11671  lcmdvds  11672
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