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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmgcdlem | Unicode version | ||
Description: Lemma for lcmgcd 11599 and lcmdvds 11600. Prove them for positive  ,
 , and  . (Contributed by Steve
Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lcmgcdlem |
    "){kind=small}  lcm     
 lcm |
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | nnmulcl 8645 |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | nnred 8637 |
. . . 4
 |
| 3 | nnz 8971 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 3 | adantr 272 |
. . . . . 6
|
| 5 | 4 | zred 9071 |
. . . . 5
|
| 6 | nnz 8971 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 6 | adantl 273 |
. . . . . 6
|
| 8 | 7 | zred 9071 |
. . . . 5
|
| 9 | 0red 7685 |
. . . . . . 7
 | |
| 10 | nnre 8631 |
. . . . . . 7
| |
| 11 | nngt0 8649 |
. . . . . . 7
 | |
| 12 | 9, 10, 11 | ltled 7798 |
. . . . . 6
 |
| 13 | 12 | adantr 272 |
. . . . 5
|
| 14 | 0red 7685 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | nnre 8631 |
. . . . . . 7
| |
| 16 | nngt0 8649 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 14, 15, 16 | ltled 7798 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | adantl 273 |
. . . . 5
|
| 19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 8295 |
. . . 4
|
| 20 | 2, 19 | absidd 10825 |
. . 3
|
| 21 | 3, 6 | anim12i 334 |
. . . . . 6
|
| 22 | nnne0 8652 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 23 | 22 | neneqd 2301 |
. . . . . . . 8
|
| 24 | nnne0 8652 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | neneqd 2301 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | 23, 25 | anim12i 334 |
. . . . . . 7
|
| 27 | ioran 724 |
. . . . . . 7
 
| |
| 28 | 26, 27 | sylibr 133 |
. . . . . 6
|
| 29 | lcmn0val 11587 |
. . . . . 6
lcm inf 
  | |
| 30 | 21, 28, 29 | syl2anc 406 |
. . . . 5
lcm inf
|
| 31 | lttri3 7761 |
. . . . . . 7
| |
| 32 | 31 | adantl 273 |
. . . . . 6
|
| 33 | gcddvds 11494 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 33 | simpld 111 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | gcdcl 11497 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 36 | 35 | nn0zd 9069 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | dvdsmultr1 11373 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 38 | 37 | 3expb 1163 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 36, 38 | mpancom 416 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 34, 39 | mpd 13 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | 21, 40 | syl 14 |
. . . . . . . 8
|
| 42 | gcdnncl 11498 |
. . . . . . . . 9
| |
| 43 | nndivdvds 11341 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 44 | 1, 42, 43 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 41, 44 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
|
| 46 | 45 | nnred 8637 |
. . . . . 6
|
| 47 | 33 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 48 | 21, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 49 | 21, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 50 | 42 | nnne0d 8669 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | dvdsval2 11338 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1197 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | 48, 52 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
|
| 54 | dvdsmul1 11357 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 55 | 4, 53, 54 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | nncn 8632 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 57 | 56 | adantr 272 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | nncn 8632 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 59 | 58 | adantl 273 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 42 | nncnd 8638 |
. . . . . . . . . 10
|
| 61 | 42 | nnap0d 8670 |
. . . . . . . . . 10
# |
| 62 | 57, 59, 60, 61 | divassapd 8493 |
. . . . . . . . 9
|
| 63 | 55, 62 | breqtrrd 3919 |
. . . . . . . 8
|
| 64 | 21, 34 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 65 | dvdsval2 11338 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 49, 50, 4, 65 | syl3anc 1197 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 64, 66 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | dvdsmul1 11357 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 69 | 7, 67, 68 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . 9
|
| 70 | 57, 59 | mulcomd 7705 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 71 | 70 | oveq1d 5741 |
. . . . . . . . . 10
|
| 72 | 59, 57, 60, 61 | divassapd 8493 |
. . . . . . . . . 10
|
| 73 | 71, 72 | eqtrd 2145 |
. . . . . . . . 9
|
| 74 | 69, 73 | breqtrrd 3919 |
. . . . . . . 8
|
| 75 | 63, 74 | jca 302 |
. . . . . . 7
|
| 76 | breq2 3897 |
. . . . . . . . 9
| |
| 77 | breq2 3897 |
. . . . . . . . 9
| |
| 78 | 76, 77 | anbi12d 462 |
. . . . . . . 8
|
| 79 | 78 | elrab 2807 |
. . . . . . 7
|
| 80 | 45, 75, 79 | sylanbrc 411 |
. . . . . 6
|
| 81 | 46 | adantr 272 |
. . . . . . 7
|
| 82 | elrabi 2804 |
. . . . . . . . 9
| |
| 83 | 82 | nnred 8637 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 83 | adantl 273 |
. . . . . . 7
|
| 85 | breq2 3897 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 86 | breq2 3897 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 87 | 85, 86 | anbi12d 462 |
. . . . . . . . 9
|
| 88 | 87 | elrab 2807 |
. . . . . . . 8
|
| 89 | bezout 11539 |
. . . . . . . . . . . . 13
  | |
| 90 | 21, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 91 | 90 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 92 | nncn 8632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 93 | 92 | ad2antlr 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 94 | 1 | nncnd 8638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 95 | 94 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 96 | 60 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 57 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 98 | 58 | ad3antlr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 99 | simplll 505 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 100 | 99 | nnap0d 8670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 101 | simpllr 506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 101 | nnap0d 8670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 103 | 97, 98, 100, 102 | mulap0d 8326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 104 | 61 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 105 | 93, 95, 96, 103, 104 | divdivap2d 8490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 105 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | oveq2 5734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 108 | 107 | oveq1d 5741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 109 | zcn 8957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 110 | 109 | ad2antrl 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 111 | 97, 110 | mulcld 7704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 112 | zcn 8957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 113 | 112 | ad2antll 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 114 | 98, 113 | mulcld 7704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 115 | 93, 111, 114 | adddid 7708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 116 | 115 | oveq1d 5741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 117 | 93, 111 | mulcld 7704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 118 | 93, 114 | mulcld 7704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 119 | 117, 118, 95, 103 | divdirapd 8496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 120 | 116, 119 | eqtrd 2145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 121 | 108, 120 | sylan9eqr 2167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 93, 97, 110 | mul12d 7831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 123 | 122 | oveq1d 5741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 124 | 93, 110 | mulcld 7704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | 124, 98, 97, 102, 100 | divcanap5d 8484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 126 | 123, 125 | eqtrd 2145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 127 | 93, 98, 113 | mul12d 7831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 128 | 127 | oveq1d 5741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 129 | 70 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 129 | oveq2d 5742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 93, 113 | mulcld 7704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 132 | 131, 97, 98, 100, 102 | divcanap5d 8484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 133 | 128, 130, 132 | 3eqtrd 2149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 134 | 126, 133 | oveq12d 5744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 135 | 134 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 136 | 106, 121, 135 | 3eqtrd 2149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 137 | 136 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 138 | 137 | adantlrr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 139 | 138 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 140 | 6 | ad3antlr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 141 | nnz 8971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 142 | 141 | ad2antlr 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 143 | simprl 503 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 144 | dvdsmultr1 11373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 145 | 140, 142, 143, 144 | syl3anc 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 146 | 24 | ad3antlr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 147 | 142, 143 | zmulcld 9077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 148 | dvdsval2 11338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 149 | 140, 146, 147, 148 | syl3anc 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 150 | 145, 149 | sylibd 148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 151 | 150 | adantld 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | 151 | 3impia 1159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 153 | 3 | ad3antrrr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 154 | simprr 504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 155 | dvdsmultr1 11373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 156 | 153, 142, 154, 155 | syl3anc 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 157 | 22 | ad3antrrr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 158 | 142, 154 | zmulcld 9077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 159 | dvdsval2 11338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 160 | 153, 157, 158, 159 | syl3anc 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 161 | 156, 160 | sylibd 148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 162 | 161 | adantrd 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 163 | 162 | 3impia 1159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 164 | 152, 163 | zaddcld 9075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 165 | 164 | 3expia 1164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 166 | 165 | an32s 540 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 167 | 166 | impr 374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 168 | 167 | an32s 540 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 169 | 168 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 170 | 139, 169 | eqeltrd 2189 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 45 | nnzd 9070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 172 | 171 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 173 | 45 | nnne0d 8669 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 174 | 173 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 175 | 142 | adantlrr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 176 | dvdsval2 11338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 177 | 172, 174, 175, 176 | syl3anc 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 178 | 177 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 179 | 170, 178 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 180 | 179 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 181 | 180 | anassrs 395 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 182 | 181 | reximdva 2506 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 183 | 182 | reximdva 2506 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 184 | 91, 183 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
|
| 185 | 1z 8978 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 186 | elex2 2671 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 187 | r19.9rmv 3418 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 188 | 185, 186, 187 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 189 | r19.9rmv 3418 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 185, 186, 189 | mp2b 8 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 188, 190 | bitri 183 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 184, 191 | sylibr 133 |
. . . . . . . . 9
|
| 193 | 171 | adantr 272 |
. . . . . . . . . 10
|
| 194 | simprl 503 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 195 | dvdsle 11384 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 196 | 193, 194, 195 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . 9
|
| 197 | 192, 196 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
|
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. . . . . . 7
|
| 199 | 81, 84, 198 | lensymd 7801 |
. . . . . 6
|
| 200 | 32, 46, 80, 199 | infminti 6864 |
. . . . 5
inf
|
| 201 | 30, 200 | eqtr2d 2146 |
. . . 4
lcm |
| 202 | 201, 45 | eqeltrrd 2190 |
. . . . . 6
lcm |
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. . . . 5
lcm |
| 204 | 94, 203, 60, 61 | divmulap3d 8492 |
. . . 4
lcm
lcm |
| 205 | 201, 204 | mpbid 146 |
. . 3
lcm |
| 206 | 20, 205 | eqtr2d 2146 |
. 2
lcm
|
| 207 | simprl 503 |
. . . 4
| |
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. . . . . . . 8
| |
| 209 | breq2 3897 |
. . . . . . . . 9
| |
| 210 | breq2 3897 |
. . . . . . . . 9
| |
| 211 | 209, 210 | anbi12d 462 |
. . . . . . . 8
|
| 212 | 208, 211 | anbi12d 462 |
. . . . . . 7
|
| 213 | 212 | anbi2d 457 |
. . . . . 6
|
| 214 | breq2 3897 |
. . . . . 6
lcm
lcm | |
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. . . . 5
lcm
lcm
|
| 216 | 201 | breq1d 3903 |
. . . . . . 7
lcm |
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. . . . . 6
lcm |
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. . . . 5
lcm
|
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. . . 4
lcm
|
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. . 3
lcm
|
| 221 | 220 | ex 114 |
. 2
lcm |
| 222 | 206, 221 | jca 302 |
1
lcm
lcm |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 680 w3a 943 wceq 1312 wex 1449 wcel 1461 wne 2280 wrex 2389 crab 2392 class class class wbr 3893
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| This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-coll 4001 ax-sep 4004 ax-nul 4012 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-iinf 4460 ax-cnex 7630 ax-resscn 7631 ax-1cn 7632 ax-1re 7633 ax-icn 7634 ax-addcl 7635 ax-addrcl 7636 ax-mulcl 7637 ax-mulrcl 7638 ax-addcom 7639 ax-mulcom 7640 ax-addass 7641 ax-mulass 7642 ax-distr 7643 ax-i2m1 7644 ax-0lt1 7645 ax-1rid 7646 ax-0id 7647 ax-rnegex 7648 ax-precex 7649 ax-cnre 7650 ax-pre-ltirr 7651 ax-pre-ltwlin 7652 ax-pre-lttrn 7653 ax-pre-apti 7654 ax-pre-ltadd 7655 ax-pre-mulgt0 7656 ax-pre-mulext 7657 ax-arch 7658 ax-caucvg 7659 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-nel 2376 df-ral 2393 df-rex 2394 df-reu 2395 df-rmo 2396 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-nul 3328 df-if 3439 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-int 3736 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-tr 3985 df-id 4173 df-po 4176 df-iso 4177 df-iord 4246 df-on 4248 df-ilim 4249 df-suc 4251 df-iom 4463 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-isom 5088 df-riota 5682 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5990 df-2nd 5991 df-recs 6154 df-frec 6240 df-sup 6821 df-inf 6822 df-pnf 7720 df-mnf 7721 df-xr 7722 df-ltxr 7723 df-le 7724 df-sub 7852 df-neg 7853 df-reap 8249 df-ap 8256 df-div 8340 df-inn 8625 df-2 8683 df-3 8684 df-4 8685 df-n0 8876 df-z 8953 df-uz 9223 df-q 9308 df-rp 9338 df-fz 9678 df-fzo 9807 df-fl 9930 df-mod 9983 df-seqfrec 10106 df-exp 10180 df-cj 10501 df-re 10502 df-im 10503 df-rsqrt 10656 df-abs 10657 df-dvds 11336 df-gcd 11478 df-lcm 11582 |
| This theorem is referenced by: lcmgcd 11599 lcmdvds 11600 |
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