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Theorem seq3f1olemqsumk 10425
Description: Lemma for seq3f1o 10430. 
Q gives the same sum as 
J in the range  ( K ... N ). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
iseqf1olemnk  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
iseqf1olemqres.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqsumk.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumk  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  N )
)
Distinct variable groups:    u, J    u, K, x    u, M, x   
u, N    x, J    x, Q    ph, x    x,  .+ , y, z    f, G, x   
f, J, y, z   
y, K, z    f, M    f, N, x, y, z    x, P, y, z    Q, f, y, z   
x, S, y, z    ph, u    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    P( u, f)    .+ ( u, f)    Q( u)    S( u, f)    F( x, y, z, u, f)    G( y, z, u)    K( f)    M( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumk
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqf1o.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
3 iseqf1o.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4 iseqf1o.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 iseqf1o.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6 iseqf1o.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7 iseqf1olemstep.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
8 iseqf1olemstep.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9 iseqf1olemstep.const . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
10 iseqf1olemnk . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
11 iseqf1olemqres.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
12 iseqf1olemqsumk.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12seq3f1olemqsumkj 10424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
1413adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
15 f1ocnv 5440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
168, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
17 f1of 5427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1918, 7ffvelrnd 5616 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
20 elfzelz 9952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2221adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2322peano2zd 9308 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  ZZ )
24 elfzel2 9950 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
257, 24syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2625adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
27 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  <  N )
28 zltp1le 9237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( `' J `  K )  <  N  <->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  N ) )
2922, 26, 28syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  <  N  <->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
)
3027, 29mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
31 eluz2 9464 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  <->  ( (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
)
3223, 26, 30, 31syl3anbrc 1170 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )
337ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
348ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
35 elfzel1 9951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3736ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
3833, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 elfzelz 9952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  v  e.  ZZ )
4039adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  ZZ )
4137, 38, 403jca 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )
4236zred 9305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4342ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  e.  RR )
4421zred 9305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
45 peano2re 8026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' J `  K )  e.  RR  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4746ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4840zred 9305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  RR )
49 elfzelz 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
507, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
5150zred 9305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
52 elfzle1 9953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
537, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
544, 7, 8, 9iseqf1olemkle 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
5542, 51, 44, 53, 54letrd 8014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  <_  ( `' J `  K )
)
5644lep1d 8818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  <_  (
( `' J `  K )  +  1 ) )
5742, 44, 46, 55, 56letrd 8014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
5857ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
59 elfzle1 9953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  v )
6059adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_ 
v )
6143, 47, 48, 58, 60letrd 8014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  <_  v )
62 elfzle2 9954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  v  <_  N )
6362adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  <_  N )
6461, 63jca 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) )
65 elfz2 9943 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
6641, 64, 65sylanbrc 414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  ( M ... N ) )
6733, 34, 66, 11iseqf1olemqval 10413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  v )  =  if ( v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( v  =  K ,  K ,  ( J `  ( v  -  1 ) ) ) ,  ( J `  v
) ) )
6844ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
6968, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
7048adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  v  e.  RR )
7168ltp1d 8817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  <  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
7260adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  v )
7368, 69, 70, 71, 72ltletrd 8313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  <  v )
74 elfzle2 9954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  ->  v  <_  ( `' J `  K ) )
7574adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  v  <_  ( `' J `  K ) )
7670, 68, 75lensymd 8012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  -.  ( `' J `  K )  <  v )
7773, 76pm2.65da 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  -.  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7877iffalsed 3526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  if (
v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( v  =  K ,  K , 
( J `  (
v  -  1 ) ) ) ,  ( J `  v ) )  =  ( J `
 v ) )
7967, 78eqtrd 2197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  v )  =  ( J `  v ) )
8079fveq2d 5485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( G `  ( Q `  v
) )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
8133, 34, 11iseqf1olemqf1o 10419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  Q :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
826ralrimiva 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
8382ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  x
)  e.  S )
8483r19.21bi 2552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
8533, 81, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  v )  =  ( G `  ( Q `
 v ) ) )
8633, 34, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
8780, 85, 863eqtr4rd 2208 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  (
[_ Q  /  f ]_ P `  v ) )
8836ad2antrr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
89 eluzelz 9467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
9089adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
9142ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
9246ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
9390zred 9305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
9457ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
95 eluzle 9470 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  x )
9695adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  x )
9791, 92, 93, 94, 96letrd 8014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  x )
98 eluz2 9464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
9988, 90, 97, 98syl3anbrc 1170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1007adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
1018adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
1026adantlr 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
103100, 101, 11, 102, 12iseqf1olemjpcl 10421 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
10499, 103syldan 280 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
1057, 8, 11, 6, 12iseqf1olemqpcl 10422 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
106105adantlr 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
10799, 106syldan 280 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
1081adantlr 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
10932, 87, 104, 107, 108seq3fveq 10397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
11014, 109oveq12d 5855 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
1113adantlr 469 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
112 eluz2 9464 . . . . . 6  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
11350, 21, 54, 112syl3anbrc 1170 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
114113adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
115 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
1167adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )
117 elfzuz 9948 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
118116, 117syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
119 uztrn 9474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
120115, 118, 119syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1217, 8, 11, 6, 12iseqf1olemjpcl 10421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
122120, 121syldan 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
123122adantlr 469 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
124108, 111, 32, 114, 123seq3split 10405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
125120, 105syldan 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
126125adantlr 469 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
127108, 111, 32, 114, 126seq3split 10405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
128110, 124, 1273eqtr4d 2207 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
12913adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
130 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  ( `' J `  K )  =  N )
131130fveq2d 5485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) )
132130fveq2d 5485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
133129, 131, 1323eqtr3d 2205 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
134 elfzle2 9954 . . . 4  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  <_  N )
13519, 134syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  <_  N
)
136 zleloe 9230 . . . 4  |-  ( ( ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( `' J `  K )  <_  N  <->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) ) )
13721, 25, 136syl2anc 409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  <_  N  <->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) ) )
138135, 137mpbid 146 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) )
139128, 133, 138mpjaodan 788 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    /\ w3a 967    = wceq 1342    e. wcel 2135    =/= wne 2334   A.wral 2442   [_csb 3041   ifcif 3516   class class class wbr 3977    |-> cmpt 4038   `'ccnv 4598   -->wf 5179   -1-1-onto->wf1o 5182   ` cfv 5183  (class class class)co 5837   RRcr 7744   1c1 7746    + caddc 7748    < clt 7925    <_ cle 7926    - cmin 8061   ZZcz 9183   ZZ>=cuz 9458   ...cfz 9936  ..^cfzo 10068    seqcseq 10371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-if 3517  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-1o 6376  df-er 6493  df-en 6699  df-fin 6701  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-fz 9937  df-fzo 10069  df-seqfrec 10372
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsum  10426
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