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Theorem seq3f1olemqsumk 10227
Description: Lemma for seq3f1o 10232. 
Q gives the same sum as 
J in the range  ( K ... N ). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
iseqf1olemnk  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
iseqf1olemqres.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqsumk.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumk  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  N )
)
Distinct variable groups:    u, J    u, K, x    u, M, x   
u, N    x, J    x, Q    ph, x    x,  .+ , y, z    f, G, x   
f, J, y, z   
y, K, z    f, M    f, N, x, y, z    x, P, y, z    Q, f, y, z   
x, S, y, z    ph, u    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    P( u, f)    .+ ( u, f)    Q( u)    S( u, f)    F( x, y, z, u, f)    G( y, z, u)    K( f)    M( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumk
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqf1o.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
3 iseqf1o.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4 iseqf1o.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 iseqf1o.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6 iseqf1o.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7 iseqf1olemstep.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
8 iseqf1olemstep.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9 iseqf1olemstep.const . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
10 iseqf1olemnk . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
11 iseqf1olemqres.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
12 iseqf1olemqsumk.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12seq3f1olemqsumkj 10226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
1413adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
15 f1ocnv 5348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
168, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
17 f1of 5335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1918, 7ffvelrnd 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
20 elfzelz 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2221adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2322peano2zd 9134 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  ZZ )
24 elfzel2 9759 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
257, 24syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2625adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
27 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  <  N )
28 zltp1le 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( `' J `  K )  <  N  <->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  N ) )
2922, 26, 28syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  <  N  <->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
)
3027, 29mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
31 eluz2 9288 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  <->  ( (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
)
3223, 26, 30, 31syl3anbrc 1150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )
337ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
348ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
35 elfzel1 9760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3736ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
3833, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 elfzelz 9761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  v  e.  ZZ )
4039adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  ZZ )
4137, 38, 403jca 1146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )
4236zred 9131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4342ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  e.  RR )
4421zred 9131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
45 peano2re 7866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' J `  K )  e.  RR  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4746ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4840zred 9131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  RR )
49 elfzelz 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
507, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
5150zred 9131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
52 elfzle1 9762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
537, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
544, 7, 8, 9iseqf1olemkle 10212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
5542, 51, 44, 53, 54letrd 7854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  <_  ( `' J `  K )
)
5644lep1d 8653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  <_  (
( `' J `  K )  +  1 ) )
5742, 44, 46, 55, 56letrd 7854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
5857ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
59 elfzle1 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  v )
6059adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_ 
v )
6143, 47, 48, 58, 60letrd 7854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  <_  v )
62 elfzle2 9763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  v  <_  N )
6362adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  <_  N )
6461, 63jca 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) )
65 elfz2 9752 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
6641, 64, 65sylanbrc 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  ( M ... N ) )
6733, 34, 66, 11iseqf1olemqval 10215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  v )  =  if ( v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( v  =  K ,  K ,  ( J `  ( v  -  1 ) ) ) ,  ( J `  v
) ) )
6844ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
6968, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
7048adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  v  e.  RR )
7168ltp1d 8652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  <  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
7260adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  v )
7368, 69, 70, 71, 72ltletrd 8153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  <  v )
74 elfzle2 9763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  ->  v  <_  ( `' J `  K ) )
7574adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  v  <_  ( `' J `  K ) )
7670, 68, 75lensymd 7852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  -.  ( `' J `  K )  <  v )
7773, 76pm2.65da 635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  -.  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7877iffalsed 3454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  if (
v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( v  =  K ,  K , 
( J `  (
v  -  1 ) ) ) ,  ( J `  v ) )  =  ( J `
 v ) )
7967, 78eqtrd 2150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  v )  =  ( J `  v ) )
8079fveq2d 5393 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( G `  ( Q `  v
) )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
8133, 34, 11iseqf1olemqf1o 10221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  Q :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
826ralrimiva 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
8382ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  x
)  e.  S )
8483r19.21bi 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
8533, 81, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  v )  =  ( G `  ( Q `
 v ) ) )
8633, 34, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
8780, 85, 863eqtr4rd 2161 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  (
[_ Q  /  f ]_ P `  v ) )
8836ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
89 eluzelz 9291 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
9089adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
9142ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
9246ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
9390zred 9131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
9457ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
95 eluzle 9294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  x )
9695adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  x )
9791, 92, 93, 94, 96letrd 7854 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  x )
98 eluz2 9288 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
9988, 90, 97, 98syl3anbrc 1150 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1007adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
1018adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
1026adantlr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
103100, 101, 11, 102, 12iseqf1olemjpcl 10223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
10499, 103syldan 280 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
1057, 8, 11, 6, 12iseqf1olemqpcl 10224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
106105adantlr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
10799, 106syldan 280 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
1081adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
10932, 87, 104, 107, 108seq3fveq 10199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
11014, 109oveq12d 5760 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
1113adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
112 eluz2 9288 . . . . . 6  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
11350, 21, 54, 112syl3anbrc 1150 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
114113adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
115 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
1167adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )
117 elfzuz 9757 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
118116, 117syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
119 uztrn 9298 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
120115, 118, 119syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1217, 8, 11, 6, 12iseqf1olemjpcl 10223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
122120, 121syldan 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
123122adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
124108, 111, 32, 114, 123seq3split 10207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
125120, 105syldan 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
126125adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
127108, 111, 32, 114, 126seq3split 10207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
128110, 124, 1273eqtr4d 2160 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
12913adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
130 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  ( `' J `  K )  =  N )
131130fveq2d 5393 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) )
132130fveq2d 5393 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
133129, 131, 1323eqtr3d 2158 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
134 elfzle2 9763 . . . 4  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  <_  N )
13519, 134syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  <_  N
)
136 zleloe 9059 . . . 4  |-  ( ( ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( `' J `  K )  <_  N  <->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) ) )
13721, 25, 136syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  <_  N  <->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) ) )
138135, 137mpbid 146 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) )
139128, 133, 138mpjaodan 772 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   A.wral 2393   [_csb 2975   ifcif 3444   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   `'ccnv 4508   -->wf 5089   -1-1-onto->wf1o 5092   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   ZZcz 9012   ZZ>=cuz 9282   ...cfz 9745  ..^cfzo 9874    seqcseq 10173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-fz 9746  df-fzo 9875  df-seqfrec 10174
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsum  10228
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