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Theorem seq3f1olemqsumk 10583
Description: Lemma for seq3f1o 10588. Q gives the same sum as J in the range ( K ... N ). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
iseqf1olemnk |- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
iseqf1olemqres.q |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqsumk.p |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumk |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
Distinct variable groups:   u, J   u, K, x   u, M, x   u, N   x, J   x, Q   ph, x   x, .+ , y, z   f, G, x   f, J, y, z   y, K, z   f, M   f, N, x, y, z   x, P, y, z   Q, f, y, z   x, S, y, z   ph, u   ph, y, z
Allowed substitution hints:   ph( f)   P( u, f)   .+ ( u, f)   Q( u)   S( u, f)   F( x, y, z, u, f)   G( y, z, u)   K( f)   M( y, z)
Proof of Theorem seq3f1olemqsumk
Dummy variable v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2 iseqf1o.2 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
3 iseqf1o.3 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
4 iseqf1o.4 . . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5 iseqf1o.6 . . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6 iseqf1o.7 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
7 iseqf1olemstep.k . . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
8 iseqf1olemstep.j . . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9 iseqf1olemstep.const . . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
10 iseqf1olemnk . . . . . 6 |- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
11 iseqf1olemqres.q . . . . . 6 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
12 iseqf1olemqsumk.p . . . . . 6 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12seq3f1olemqsumkj 10582 . . . . 5 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
1413adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
15 f1ocnv 5513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
168, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
17 f1of 5500 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1918, 7ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
20 elfzelz 10091 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
2221adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
2322peano2zd 9442 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. ZZ )
24 elfzel2 10089 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
257, 24syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
2625adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> N e. ZZ )
27 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( `' J ` K ) < N )
28 zltp1le 9371 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' J ` K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( `' J ` K ) < N <-> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ N ) )
2922, 26, 28syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( ( `' J ` K ) < N <-> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ N ) )
3027, 29mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ N )
31 eluz2 9598 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) <-> ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ N ) )
3223, 26, 30, 31syl3anbrc 1183 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) )
337ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )
348ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
35 elfzel1 10090 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
3736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> M e. ZZ )
3833, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> N e. ZZ )
39 elfzelz 10091 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) -> v e. ZZ )
4039adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> v e. ZZ )
4137, 38, 403jca 1179 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ v e. ZZ ) )
4236zred 9439 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
4342ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> M e. RR )
4421zred 9439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. RR )
45 peano2re 8155 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' J ` K ) e. RR -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
4840zred 9439 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> v e. RR )
49 elfzelz 10091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
507, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. ZZ )
5150zred 9439 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. RR )
52 elfzle1 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
537, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M <_ K )
544, 7, 8, 9iseqf1olemkle 10568 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
5542, 51, 44, 53, 54letrd 8143 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M <_ ( `' J ` K ) )
5644lep1d 8950 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' J ` K ) <_ ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
5742, 44, 46, 55, 56letrd 8143 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
5857ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> M <_ ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
59 elfzle1 10093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ v )
6059adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ v )
6143, 47, 48, 58, 60letrd 8143 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> M <_ v )
62 elfzle2 10094 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) -> v <_ N )
6362adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> v <_ N )
6461, 63jca 306 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( M <_ v /\ v <_ N ) )
65 elfz2 10081 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( M <_ v /\ v <_ N ) ) )
6641, 64, 65sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> v e. ( M ... N ) )
6733, 34, 66, 11iseqf1olemqval 10571 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( Q ` v ) = if ( v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( v = K , K , ( J ` ( v - 1 ) ) ) , ( J ` v ) ) )
6844ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( `' J ` K ) e. RR )
6968, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
7048adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> v e. RR )
7168ltp1d 8949 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( `' J ` K ) < ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
7260adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ v )
7368, 69, 70, 71, 72ltletrd 8442 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( `' J ` K ) < v )
74 elfzle2 10094 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> v <_ ( `' J ` K ) )
7574adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> v <_ ( `' J ` K ) )
7670, 68, 75lensymd 8141 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> -. ( `' J ` K ) < v )
7773, 76pm2.65da 662 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> -. v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
7877iffalsed 3567 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> if ( v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( v = K , K , ( J ` ( v - 1 ) ) ) , ( J ` v ) ) = ( J ` v ) )
7967, 78eqtrd 2226 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( Q ` v ) = ( J ` v ) )
8079fveq2d 5558 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` ( Q ` v ) ) = ( G ` ( J ` v ) ) )
8133, 34, 11iseqf1olemqf1o 10577 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> Q : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
826ralrimiva 2567 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
8382ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
8483r19.21bi 2582 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
8533, 81, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10581 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` v ) = ( G ` ( Q ` v ) ) )
8633, 34, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10581 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` v ) = ( G ` ( J ` v ) ) )
8780, 85, 863eqtr4rd 2237 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` v ) = ( [_ Q / f ]_ P ` v ) )
8836ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
89 eluzelz 9601 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) -> x e. ZZ )
9089adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
9142ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> M e. RR )
9246ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
9390zred 9439 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> x e. RR )
9457ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> M <_ ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
95 eluzle 9604 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ x )
9695adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ x )
9791, 92, 93, 94, 96letrd 8143 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> M <_ x )
98 eluz2 9598 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
9988, 90, 97, 98syl3anbrc 1183 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
1007adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> K e. ( M ... N ) )
1018adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
1026adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
103100, 101, 11, 102, 12iseqf1olemjpcl 10579 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
10499, 103syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
1057, 8, 11, 6, 12iseqf1olemqpcl 10580 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
106105adantlr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
10799, 106syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
1081adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
10932, 87, 104, 107, 108seq3fveq 10550 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
11014, 109oveq12d 5936 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) ) = ( ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
1113adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
112 eluz2 9598 . . . . . 6 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
11350, 21, 54, 112syl3anbrc 1183 . . . . 5 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
114113adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
115 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
1167adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ( M ... N ) )
117 elfzuz 10087 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
118116, 117syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
119 uztrn 9609 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
120115, 118, 119syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
1217, 8, 11, 6, 12iseqf1olemjpcl 10579 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
122120, 121syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
123122adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
124108, 111, 32, 114, 123seq3split 10559 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) ) )
125120, 105syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
126125adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
127108, 111, 32, 114, 126seq3split 10559 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
128110, 124, 1273eqtr4d 2236 . 2 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
12913adantr 276 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
130 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( `' J ` K ) = N )
131130fveq2d 5558 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
132130fveq2d 5558 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
133129, 131, 1323eqtr3d 2234 . 2 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
134 elfzle2 10094 . . . 4 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) <_ N )
13519, 134syl 14 . . 3 |- ( ph -> ( `' J ` K ) <_ N )
136 zleloe 9364 . . . 4 |- ( ( ( `' J ` K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( `' J ` K ) <_ N <-> ( ( `' J ` K ) < N \/ ( `' J ` K ) = N ) ) )
13721, 25, 136syl2anc 411 . . 3 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) <_ N <-> ( ( `' J ` K ) < N \/ ( `' J ` K ) = N ) ) )
138135, 137mpbid 147 . 2 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) < N \/ ( `' J ` K ) = N ) )
139128, 133, 138mpjaodan 799 1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   [_csb 3080   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   `'ccnv 4658   -->wf 5250   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208   seqcseq 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsum  10584
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