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Theorem seq3f1olemqsumk 9916
Description: Lemma for seq3f1o 9921. 
Q gives the same sum as 
J in the range  ( K ... N ). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemstep.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
iseqf1olemnk  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
iseqf1olemqres.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemqsumk.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumk  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  N )
)
Distinct variable groups:    u, J    u, K, x    u, M, x   
u, N    x, J    x, Q    ph, x    x,  .+ , y, z    f, G, x   
f, J, y, z   
y, K, z    f, M    f, N, x, y, z    x, P, y, z    Q, f, y, z   
x, S, y, z    ph, u    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    P( u, f)    .+ ( u, f)    Q( u)    S( u, f)    F( x, y, z, u, f)    G( y, z, u)    K( f)    M( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumk
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqf1o.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
3 iseqf1o.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4 iseqf1o.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 iseqf1o.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6 iseqf1o.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7 iseqf1olemstep.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
8 iseqf1olemstep.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9 iseqf1olemstep.const . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ K ) ( J `  x )  =  x )
10 iseqf1olemnk . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =/=  ( `' J `  K ) )
11 iseqf1olemqres.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
12 iseqf1olemqsumk.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12seq3f1olemqsumkj 9915 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
1413adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
15 f1ocnv 5260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
168, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
17 f1of 5247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1918, 7ffvelrnd 5429 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ( M ... N ) )
20 elfzelz 9430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2221adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ZZ )
2322peano2zd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  ZZ )
24 elfzel2 9428 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
257, 24syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2625adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
27 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  <  N )
28 zltp1le 8794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( `' J `  K )  <  N  <->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  N ) )
2922, 26, 28syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  <  N  <->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
)
3027, 29mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
31 eluz2 9015 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  <->  ( (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  N )
)
3223, 26, 30, 31syl3anbrc 1127 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )
337ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
348ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
35 elfzel1 9429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3736ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
3833, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 elfzelz 9430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  v  e.  ZZ )
4039adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  ZZ )
4137, 38, 403jca 1123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )
4236zred 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4342ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  e.  RR )
4421zred 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
45 peano2re 7608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' J `  K )  e.  RR  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4746ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
4840zred 8858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  RR )
49 elfzelz 9430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
507, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
5150zred 8858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
52 elfzle1 9431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
537, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
544, 7, 8, 9iseqf1olemkle 9901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  <_  ( `' J `  K )
)
5542, 51, 44, 53, 54letrd 7597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  <_  ( `' J `  K )
)
5644lep1d 8382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  <_  (
( `' J `  K )  +  1 ) )
5742, 44, 46, 55, 56letrd 7597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
5857ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
59 elfzle1 9431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  v )
6059adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( `' J `  K )  +  1 )  <_ 
v )
6143, 47, 48, 58, 60letrd 7597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  M  <_  v )
62 elfzle2 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ( ( `' J `  K )  +  1 ) ... N )  ->  v  <_  N )
6362adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  <_  N )
6461, 63jca 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) )
65 elfz2 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
6641, 64, 65sylanbrc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  v  e.  ( M ... N ) )
6733, 34, 66, 11iseqf1olemqval 9904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  v )  =  if ( v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( v  =  K ,  K ,  ( J `  ( v  -  1 ) ) ) ,  ( J `  v
) ) )
6844ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  e.  RR )
6968, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
7048adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  v  e.  RR )
7168ltp1d 8381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  <  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
7260adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  v )
7368, 69, 70, 71, 72ltletrd 7891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  ( `' J `  K )  <  v )
74 elfzle2 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) )  ->  v  <_  ( `' J `  K ) )
7574adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  v  <_  ( `' J `  K ) )
7670, 68, 75lensymd 7595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )  ->  -.  ( `' J `  K )  <  v )
7773, 76pm2.65da 622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  -.  v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) )
7877iffalsed 3401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  if (
v  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( v  =  K ,  K , 
( J `  (
v  -  1 ) ) ) ,  ( J `  v ) )  =  ( J `
 v ) )
7967, 78eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  v )  =  ( J `  v ) )
8079fveq2d 5303 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( G `  ( Q `  v
) )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
8133, 34, 11iseqf1olemqf1o 9910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  Q :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
826ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
8382ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  x
)  e.  S )
8483r19.21bi 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
8533, 81, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 9914 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  v )  =  ( G `  ( Q `
 v ) ) )
8633, 34, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 9914 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  ( G `  ( J `
 v ) ) )
8780, 85, 863eqtr4rd 2131 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  v  e.  ( (
( `' J `  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  v )  =  (
[_ Q  /  f ]_ P `  v ) )
8836ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
89 eluzelz 9018 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
9089adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
9142ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
9246ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( ( `' J `  K )  +  1 )  e.  RR )
9390zred 8858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
9457ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  ( ( `' J `  K )  +  1 ) )
95 eluzle 9021 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  (
( `' J `  K )  +  1 ) )  ->  (
( `' J `  K )  +  1 )  <_  x )
9695adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( ( `' J `  K )  +  1 )  <_  x )
9791, 92, 93, 94, 96letrd 7597 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  x )
98 eluz2 9015 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
9988, 90, 97, 98syl3anbrc 1127 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1007adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
1018adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
) )
1026adantlr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
103100, 101, 11, 102, 12iseqf1olemjpcl 9912 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
10499, 103syldan 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
1057, 8, 11, 6, 12iseqf1olemqpcl 9913 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
106105adantlr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
10799, 106syldan 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( ( `' J `  K )  +  1 ) ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
1081adantlr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
10932, 87, 104, 107, 108seq3fveq 9883 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
11014, 109oveq12d 5662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  ( `' J `  K )
)  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
1113adantlr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
112 eluz2 9015 . . . . . 6  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  K  <_  ( `' J `  K ) ) )
11350, 21, 54, 112syl3anbrc 1127 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
114113adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  ( `' J `  K )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
115 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
1167adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )
117 elfzuz 9426 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
118116, 117syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
119 uztrn 9025 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
120115, 118, 119syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1217, 8, 11, 6, 12iseqf1olemjpcl 9912 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
122120, 121syldan 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
123122adantlr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
124108, 111, 32, 114, 123seq3split 9895 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
125120, 105syldan 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
126125adantlr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S )
127108, 111, 32, 114, 126seq3split 9895 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  .+  (  seq ( ( `' J `  K )  +  1 ) (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) ) )
128110, 124, 1273eqtr4d 2130 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  <  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
12913adantr 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) ) )
130 simpr 108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  ( `' J `  K )  =  N )
131130fveq2d 5303 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
) )
132130fveq2d 5303 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  ( `' J `  K ) )  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
133129, 131, 1323eqtr3d 2128 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( `' J `  K )  =  N )  ->  (  seq K (  .+  ,  [_ J  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq K (  .+  ,  [_ Q  /  f ]_ P ) `  N
) )
134 elfzle2 9432 . . . 4  |-  ( ( `' J `  K )  e.  ( M ... N )  ->  ( `' J `  K )  <_  N )
13519, 134syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' J `  K )  <_  N
)
136 zleloe 8787 . . . 4  |-  ( ( ( `' J `  K )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( `' J `  K )  <_  N  <->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) ) )
13721, 25, 136syl2anc 403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  <_  N  <->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) ) )
138135, 137mpbid 145 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' J `  K )  <  N  \/  ( `' J `  K )  =  N ) )
139128, 133, 138mpjaodan 747 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  [_ J  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  [_ Q  /  f ]_ P
) `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   [_csb 2933   ifcif 3391   class class class wbr 3843    |-> cmpt 3897   `'ccnv 4435   -->wf 5006   -1-1-onto->wf1o 5009   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   RRcr 7339   1c1 7341    + caddc 7343    < clt 7512    <_ cle 7513    - cmin 7643   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009   ...cfz 9414  ..^cfzo 9541    seqcseq 9840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-1o 6173  df-er 6282  df-en 6448  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-iseq 9841  df-seq3 9842
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsum  9917
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