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Theorem seq3f1olemqsumk 10485
Description: Lemma for seq3f1o 10490. Q gives the same sum as J in the range ( K ... N ). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemstep.k |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.j |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemstep.const |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
iseqf1olemnk |- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
iseqf1olemqres.q |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemqsumk.p |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumk |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
Distinct variable groups:   u, J   u, K, x   u, M, x   u, N   x, J   x, Q   ph, x   x, .+ , y, z   f, G, x   f, J, y, z   y, K, z   f, M   f, N, x, y, z   x, P, y, z   Q, f, y, z   x, S, y, z   ph, u   ph, y, z
Allowed substitution hints:   ph( f)   P( u, f)   .+ ( u, f)   Q( u)   S( u, f)   F( x, y, z, u, f)   G( y, z, u)   K( f)   M( y, z)
Proof of Theorem seq3f1olemqsumk
Dummy variable v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.1 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2 iseqf1o.2 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
3 iseqf1o.3 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
4 iseqf1o.4 . . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5 iseqf1o.6 . . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
6 iseqf1o.7 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
7 iseqf1olemstep.k . . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
8 iseqf1olemstep.j . . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9 iseqf1olemstep.const . . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ K ) ( J ` x ) = x )
10 iseqf1olemnk . . . . . 6 |- ( ph -> K =/= ( `' J ` K ) )
11 iseqf1olemqres.q . . . . . 6 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
12 iseqf1olemqsumk.p . . . . . 6 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12seq3f1olemqsumkj 10484 . . . . 5 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
1413adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
15 f1ocnv 5470 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
168, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
17 f1of 5457 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> `' J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1918, 7ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) )
20 elfzelz 10011 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
2221adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( `' J ` K ) e. ZZ )
2322peano2zd 9367 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. ZZ )
24 elfzel2 10009 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
257, 24syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
2625adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> N e. ZZ )
27 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( `' J ` K ) < N )
28 zltp1le 9296 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' J ` K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( `' J ` K ) < N <-> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ N ) )
2922, 26, 28syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( ( `' J ` K ) < N <-> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ N ) )
3027, 29mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ N )
31 eluz2 9523 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) <-> ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ N ) )
3223, 26, 30, 31syl3anbrc 1181 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) )
337ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )
348ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
35 elfzel1 10010 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
3736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> M e. ZZ )
3833, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> N e. ZZ )
39 elfzelz 10011 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) -> v e. ZZ )
4039adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> v e. ZZ )
4137, 38, 403jca 1177 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ v e. ZZ ) )
4236zred 9364 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
4342ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> M e. RR )
4421zred 9364 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. RR )
45 peano2re 8083 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' J ` K ) e. RR -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
4840zred 9364 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> v e. RR )
49 elfzelz 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
507, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. ZZ )
5150zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. RR )
52 elfzle1 10013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
537, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M <_ K )
544, 7, 8, 9iseqf1olemkle 10470 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K <_ ( `' J ` K ) )
5542, 51, 44, 53, 54letrd 8071 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M <_ ( `' J ` K ) )
5644lep1d 8877 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' J ` K ) <_ ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
5742, 44, 46, 55, 56letrd 8071 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
5857ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> M <_ ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
59 elfzle1 10013 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ v )
6059adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ v )
6143, 47, 48, 58, 60letrd 8071 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> M <_ v )
62 elfzle2 10014 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) -> v <_ N )
6362adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> v <_ N )
6461, 63jca 306 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( M <_ v /\ v <_ N ) )
65 elfz2 10002 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( M <_ v /\ v <_ N ) ) )
6641, 64, 65sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> v e. ( M ... N ) )
6733, 34, 66, 11iseqf1olemqval 10473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( Q ` v ) = if ( v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( v = K , K , ( J ` ( v - 1 ) ) ) , ( J ` v ) ) )
6844ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( `' J ` K ) e. RR )
6968, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
7048adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> v e. RR )
7168ltp1d 8876 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( `' J ` K ) < ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
7260adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ v )
7368, 69, 70, 71, 72ltletrd 8370 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> ( `' J ` K ) < v )
74 elfzle2 10014 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> v <_ ( `' J ` K ) )
7574adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> v <_ ( `' J ` K ) )
7670, 68, 75lensymd 8069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) ) -> -. ( `' J ` K ) < v )
7773, 76pm2.65da 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> -. v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
7877iffalsed 3544 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> if ( v e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( v = K , K , ( J ` ( v - 1 ) ) ) , ( J ` v ) ) = ( J ` v ) )
7967, 78eqtrd 2210 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( Q ` v ) = ( J ` v ) )
8079fveq2d 5515 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` ( Q ` v ) ) = ( G ` ( J ` v ) ) )
8133, 34, 11iseqf1olemqf1o 10479 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> Q : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
826ralrimiva 2550 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
8382ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
8483r19.21bi 2565 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
8533, 81, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10483 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` v ) = ( G ` ( Q ` v ) ) )
8633, 34, 66, 84, 12iseqf1olemfvp 10483 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` v ) = ( G ` ( J ` v ) ) )
8780, 85, 863eqtr4rd 2221 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ v e. ( ( ( `' J ` K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` v ) = ( [_ Q / f ]_ P ` v ) )
8836ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
89 eluzelz 9526 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) -> x e. ZZ )
9089adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
9142ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> M e. RR )
9246ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) e. RR )
9390zred 9364 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> x e. RR )
9457ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> M <_ ( ( `' J ` K ) + 1 ) )
95 eluzle 9529 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ x )
9695adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> ( ( `' J ` K ) + 1 ) <_ x )
9791, 92, 93, 94, 96letrd 8071 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> M <_ x )
98 eluz2 9523 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
9988, 90, 97, 98syl3anbrc 1181 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
1007adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> K e. ( M ... N ) )
1018adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
1026adantlr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
103100, 101, 11, 102, 12iseqf1olemjpcl 10481 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
10499, 103syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
1057, 8, 11, 6, 12iseqf1olemqpcl 10482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
106105adantlr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
10799, 106syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( ( `' J ` K ) + 1 ) ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
1081adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
10932, 87, 104, 107, 108seq3fveq 10457 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
11014, 109oveq12d 5887 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) ) = ( ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
1113adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
112 eluz2 9523 . . . . . 6 |- ( ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ ( `' J ` K ) e. ZZ /\ K <_ ( `' J ` K ) ) )
11350, 21, 54, 112syl3anbrc 1181 . . . . 5 |- ( ph -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
114113adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( `' J ` K ) e. ( ZZ>= ` K ) )
115 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
1167adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ( M ... N ) )
117 elfzuz 10007 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
118116, 117syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
119 uztrn 9533 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
120115, 118, 119syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
1217, 8, 11, 6, 12iseqf1olemjpcl 10481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
122120, 121syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
123122adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )
124108, 111, 32, 114, 123seq3split 10465 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) ) )
125120, 105syldan 282 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
126125adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )
127108, 111, 32, 114, 126seq3split 10465 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) .+ ( seq ( ( `' J ` K ) + 1 ) ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) ) )
128110, 124, 1273eqtr4d 2220 . 2 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) < N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
12913adantr 276 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) )
130 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( `' J ` K ) = N )
131130fveq2d 5515 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) )
132130fveq2d 5515 . . 3 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` ( `' J ` K ) ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
133129, 131, 1323eqtr3d 2218 . 2 |- ( ( ph /\ ( `' J ` K ) = N ) -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
134 elfzle2 10014 . . . 4 |- ( ( `' J ` K ) e. ( M ... N ) -> ( `' J ` K ) <_ N )
13519, 134syl 14 . . 3 |- ( ph -> ( `' J ` K ) <_ N )
136 zleloe 9289 . . . 4 |- ( ( ( `' J ` K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( `' J ` K ) <_ N <-> ( ( `' J ` K ) < N \/ ( `' J ` K ) = N ) ) )
13721, 25, 136syl2anc 411 . . 3 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) <_ N <-> ( ( `' J ` K ) < N \/ ( `' J ` K ) = N ) ) )
138135, 137mpbid 147 . 2 |- ( ph -> ( ( `' J ` K ) < N \/ ( `' J ` K ) = N ) )
139128, 133, 138mpjaodan 798 1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , [_ J / f ]_ P ) ` N ) = ( seq K ( .+ , [_ Q / f ]_ P ) ` N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   [_csb 3057   ifcif 3534   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   `'ccnv 4622   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   RRcr 7801   1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995  ..^cfzo 10128   seqcseq 10431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsum  10486
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