Nearby theorems
|
|
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > addmodlteq | Unicode version | ||
| Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| addmodlteq |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^       
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | elfzoelz 10481 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 2 | 1 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 3 | zq 9958 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 2, 3 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 5 | simp3 1026 |
. . . . . . 7
..^ ..^ | |
| 6 | zq 9958 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 8 | elfzo0 10520 |
. . . . . . . . . 10
..^ 
  | |
| 9 | 8 | biimpi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 10 | 9 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 11 | 10 | simp2d 1037 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 12 | nnq 9965 |
. . . . . . 7
| |
| 13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 14 | 11 | nngt0d 9281 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 15 | modqaddmod 10725 |
. . . . . 6
| |
| 16 | 4, 7, 13, 14, 15 | syl22anc 1275 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 17 | 16 | eqcomd 2238 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 18 | elfzoelz 10481 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 19 | 18 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 20 | zq 9958 |
. . . . . . 7
| |
| 21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 22 | modqaddmod 10725 |
. . . . . 6
| |
| 23 | 21, 7, 13, 14, 22 | syl22anc 1275 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 24 | 23 | eqcomd 2238 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 25 | 17, 24 | eqeq12d 2247 |
. . 3
..^ ..^ |
| 26 | 2, 11 | zmodcld 10707 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 27 | 26 | nn0zd 9698 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 28 | 27, 5 | zaddcld 9704 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 29 | 28, 11 | zmodcld 10707 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 30 | 29 | nn0cnd 9555 |
. . . . 5
..^ ..^  |
| 31 | 19, 11 | zmodcld 10707 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 32 | 31 | nn0zd 9698 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 33 | 32, 5 | zaddcld 9704 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 34 | 33, 11 | zmodcld 10707 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 35 | 34 | nn0cnd 9555 |
. . . . 5
..^ ..^ |
| 36 | 30, 35 | subeq0ad 8594 |
. . . 4
..^ ..^  |
| 37 | oveq1 6057 |
. . . . 5
| |
| 38 | 4, 13, 14 | modqcld 10690 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 39 | qaddcl 9967 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 40 | 38, 7, 39 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 41 | 21, 13, 14 | modqcld 10690 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 42 | qaddcl 9967 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 43 | 41, 7, 42 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 44 | modqsubmodmod 10745 |
. . . . . . . . 9
| |
| 45 | 40, 43, 13, 14, 44 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 46 | 26 | nn0cnd 9555 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 47 | 31 | nn0cnd 9555 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 48 | 5 | zcnd 9701 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 49 | 46, 47, 48 | pnpcan2d 8622 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 50 | 49 | oveq1d 6065 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 51 | 45, 50 | eqtrd 2265 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 52 | q0mod 10717 |
. . . . . . . 8
| |
| 53 | 13, 14, 52 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 54 | 51, 53 | eqeq12d 2247 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 55 | zmodidfzoimp 10716 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 56 | 55 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 57 | zmodidfzoimp 10716 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 58 | 57 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 59 | 56, 58 | oveq12d 6068 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 60 | 59 | oveq1d 6065 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 61 | 60 | eqeq1d 2241 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 62 | qsubcl 9970 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 63 | 4, 21, 62 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 64 | modq0 10691 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 65 | 63, 13, 14, 64 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 66 | 2, 19 | zsubcld 9705 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 67 | zdiv 9666 |
. . . . . . . . . 10
  | |
| 68 | 11, 66, 67 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 69 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
| |
| 70 | 69 | oveq2d 6066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | 11 | nncnd 9251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 72 | 71 | mul01d 8666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 73 | 72 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 74 | 70, 73 | eqtrd 2265 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 75 | 74 | eqeq1d 2241 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 76 | eqcom 2234 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 77 | 10 | simp1d 1036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 78 | 77 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
|
| 79 | 78 | nn0cnd 9555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 80 | elfzo0 10520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^
| |
| 81 | 80 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 82 | 81 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 83 | 82 | simp1d 1036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 84 | 83 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
|
| 85 | 84 | nn0cnd 9555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 86 | 79, 85 | subeq0ad 8594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 87 | 86 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 88 | 76, 87 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 89 | 75, 88 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 90 | 89 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 91 | 90 | an32s 570 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 92 | subfzo0 10588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
| |
| 93 | 92 | 3adant3 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 94 | 93 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 95 | 94 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 96 | simplr 529 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
| |
| 97 | 71 | mulridd 8291 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^  |
| 98 | 97 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 99 | 95, 96, 98 | 3brtr4d 4141 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 100 | simpllr 536 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ | |
| 101 | 100 | zred 9700 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^  |
| 102 | 1red 8289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ | |
| 103 | 11 | nnrpd 10027 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^  |
| 104 | 103 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 105 | 101, 102, 104 | ltmul2d 10072 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 106 | 99, 105 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 107 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ | |
| 108 | 107 | nnge1d 9280 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^  |
| 109 | 102, 101, 108 | lensymd 8395 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^  |
| 110 | 106, 109 | pm2.21dd 625 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 111 | 93 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 112 | 111 | simpld 112 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 113 | simplr 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
| |
| 114 | 112, 113 | breqtrrd 4137 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 115 | 11 | nnzd 9699 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 116 | 115 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ |
| 117 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ | |
| 118 | 116, 117 | zmulcld 9706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
..^
|
| 119 | 118 | zred 9700 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^
|
| 120 | 119 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 121 | 11 | nnred 9250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 122 | 121 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 123 | 120, 122 | possumd 8843 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 124 | 114, 123 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 125 | 97 | eqcomd 2238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 126 | 125 | oveq2d 6066 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 127 | 126 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 128 | 71 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 129 | 117 | zcnd 9701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 130 | 129 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 131 | 1cnd 8290 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ | |
| 132 | 128, 130, 131 | adddid 8298 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 133 | 127, 132 | eqtr4d 2268 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 134 | 124, 133 | breqtrd 4135 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 135 | 117 | peano2zd 9703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 136 | 116, 135 | zmulcld 9706 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
..^
|
| 137 | 136 | zred 9700 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 138 | 137 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 139 | 0red 8275 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ | |
| 140 | 71 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 141 | 135 | zcnd 9701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 142 | 140, 141 | mulcomd 8295 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
..^
|
| 143 | 142 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 144 | 135 | zred 9700 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 145 | 144 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 146 | zcn 9582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 147 | 1cnd 8290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 148 | 146, 147 | addcomd 8424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 149 | 147, 146 | subnegd 8591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 150 | 148, 149 | eqtr4d 2268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 151 | 150 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 152 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 153 | 152 | nnge1d 9280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 154 | 1red 8289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 155 | 152 | nnred 9250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 156 | 154, 155 | suble0d 8810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 157 | 153, 156 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 158 | 151, 157 | eqbrtrd 4131 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 159 | 11 | nnnn0d 9553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 160 | 159 | nn0ge0d 9556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 161 | 160 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 162 | mulle0r 9218 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 163 | 145, 122, 158, 161, 162 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 164 | 143, 163 | eqbrtrd 4131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 165 | 138, 139, 164 | lensymd 8395 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 166 | 134, 165 | pm2.21dd 625 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 167 | elz 9579 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 | |
| 168 | 167 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 169 | 168 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 170 | 91, 110, 166, 169 | mpjao3dan 1344 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 171 | 170 | ex 115 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 172 | 171 | rexlimdva 2660 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 173 | 68, 172 | sylbird 170 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 174 | 65, 173 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 175 | 61, 174 | sylbid 150 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 176 | 54, 175 | sylbid 150 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 177 | 37, 176 | syl5 32 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 178 | 36, 177 | sylbird 170 |
. . 3
..^ ..^
|
| 179 | 25, 178 | sylbid 150 |
. 2
..^ ..^
|
| 180 | oveq1 6057 |
. . 3
| |
| 181 | 180 | oveq1d 6065 |
. 2
|
| 182 | 179, 181 | impbid1 142 |
1
..^ ..^
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
wb 105 w3o 1004 w3a 1005 wceq 1398 wcel 2203 wrex 2521 class class class wbr 4109
(class class class)co 6050 cc 8125 cr 8126 cc0 8127 c1 8128 caddc 8130 cmul 8132 clt 8308 cle 8309 cmin 8444 cneg 8445 cdiv 8946 cn 9237 cn0 9496 cz 9577 cq 9951 crp 9986 ..^cfzo 10476
cmo 10684 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-sep 4228 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-fv 5360 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-fl 10630 df-mod 10685 |
| This theorem is referenced by: (None) |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |