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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > addmodlteq | Unicode version | ||
| Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| addmodlteq |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^       
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | elfzoelz 10427 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 2 | 1 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 3 | zq 9904 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 2, 3 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 5 | simp3 1026 |
. . . . . . 7
..^ ..^ | |
| 6 | zq 9904 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 8 | elfzo0 10466 |
. . . . . . . . . 10
..^ 
  | |
| 9 | 8 | biimpi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 10 | 9 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 11 | 10 | simp2d 1037 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 12 | nnq 9911 |
. . . . . . 7
| |
| 13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 14 | 11 | nngt0d 9229 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 15 | modqaddmod 10671 |
. . . . . 6
| |
| 16 | 4, 7, 13, 14, 15 | syl22anc 1275 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 17 | 16 | eqcomd 2237 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 18 | elfzoelz 10427 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 19 | 18 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 20 | zq 9904 |
. . . . . . 7
| |
| 21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 22 | modqaddmod 10671 |
. . . . . 6
| |
| 23 | 21, 7, 13, 14, 22 | syl22anc 1275 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 24 | 23 | eqcomd 2237 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 25 | 17, 24 | eqeq12d 2246 |
. . 3
..^ ..^ |
| 26 | 2, 11 | zmodcld 10653 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 27 | 26 | nn0zd 9644 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 28 | 27, 5 | zaddcld 9650 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 29 | 28, 11 | zmodcld 10653 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 30 | 29 | nn0cnd 9501 |
. . . . 5
..^ ..^  |
| 31 | 19, 11 | zmodcld 10653 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 32 | 31 | nn0zd 9644 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 33 | 32, 5 | zaddcld 9650 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 34 | 33, 11 | zmodcld 10653 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 35 | 34 | nn0cnd 9501 |
. . . . 5
..^ ..^ |
| 36 | 30, 35 | subeq0ad 8542 |
. . . 4
..^ ..^  |
| 37 | oveq1 6035 |
. . . . 5
| |
| 38 | 4, 13, 14 | modqcld 10636 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 39 | qaddcl 9913 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 40 | 38, 7, 39 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 41 | 21, 13, 14 | modqcld 10636 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 42 | qaddcl 9913 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 43 | 41, 7, 42 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 44 | modqsubmodmod 10691 |
. . . . . . . . 9
| |
| 45 | 40, 43, 13, 14, 44 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 46 | 26 | nn0cnd 9501 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 47 | 31 | nn0cnd 9501 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 48 | 5 | zcnd 9647 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 49 | 46, 47, 48 | pnpcan2d 8570 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 50 | 49 | oveq1d 6043 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 51 | 45, 50 | eqtrd 2264 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 52 | q0mod 10663 |
. . . . . . . 8
| |
| 53 | 13, 14, 52 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 54 | 51, 53 | eqeq12d 2246 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 55 | zmodidfzoimp 10662 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 56 | 55 | 3ad2ant1 1045 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 57 | zmodidfzoimp 10662 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 58 | 57 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 59 | 56, 58 | oveq12d 6046 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 60 | 59 | oveq1d 6043 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 61 | 60 | eqeq1d 2240 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 62 | qsubcl 9916 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 63 | 4, 21, 62 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 64 | modq0 10637 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 65 | 63, 13, 14, 64 | syl3anc 1274 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 66 | 2, 19 | zsubcld 9651 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 67 | zdiv 9612 |
. . . . . . . . . 10
  | |
| 68 | 11, 66, 67 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 69 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
| |
| 70 | 69 | oveq2d 6044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | 11 | nncnd 9199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 72 | 71 | mul01d 8614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 73 | 72 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 74 | 70, 73 | eqtrd 2264 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 75 | 74 | eqeq1d 2240 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 76 | eqcom 2233 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 77 | 10 | simp1d 1036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 78 | 77 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
|
| 79 | 78 | nn0cnd 9501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 80 | elfzo0 10466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^
| |
| 81 | 80 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 82 | 81 | 3ad2ant2 1046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 83 | 82 | simp1d 1036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 84 | 83 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
|
| 85 | 84 | nn0cnd 9501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 86 | 79, 85 | subeq0ad 8542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 87 | 86 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 88 | 76, 87 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 89 | 75, 88 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 90 | 89 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 91 | 90 | an32s 570 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 92 | subfzo0 10534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
| |
| 93 | 92 | 3adant3 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 94 | 93 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 95 | 94 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 96 | simplr 529 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
| |
| 97 | 71 | mulridd 8239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^  |
| 98 | 97 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 99 | 95, 96, 98 | 3brtr4d 4125 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 100 | simpllr 536 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ | |
| 101 | 100 | zred 9646 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^  |
| 102 | 1red 8237 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ | |
| 103 | 11 | nnrpd 9973 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^  |
| 104 | 103 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 105 | 101, 102, 104 | ltmul2d 10018 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 106 | 99, 105 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 107 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ | |
| 108 | 107 | nnge1d 9228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^  |
| 109 | 102, 101, 108 | lensymd 8343 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^  |
| 110 | 106, 109 | pm2.21dd 625 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 111 | 93 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 112 | 111 | simpld 112 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 113 | simplr 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
| |
| 114 | 112, 113 | breqtrrd 4121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 115 | 11 | nnzd 9645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 116 | 115 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ |
| 117 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ | |
| 118 | 116, 117 | zmulcld 9652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
..^
|
| 119 | 118 | zred 9646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^
|
| 120 | 119 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 121 | 11 | nnred 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 122 | 121 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 123 | 120, 122 | possumd 8791 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 124 | 114, 123 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 125 | 97 | eqcomd 2237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 126 | 125 | oveq2d 6044 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 127 | 126 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 128 | 71 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 129 | 117 | zcnd 9647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 130 | 129 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 131 | 1cnd 8238 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ | |
| 132 | 128, 130, 131 | adddid 8246 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 133 | 127, 132 | eqtr4d 2267 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 134 | 124, 133 | breqtrd 4119 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 135 | 117 | peano2zd 9649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 136 | 116, 135 | zmulcld 9652 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
..^
|
| 137 | 136 | zred 9646 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 138 | 137 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 139 | 0red 8223 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ | |
| 140 | 71 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 141 | 135 | zcnd 9647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 142 | 140, 141 | mulcomd 8243 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
..^
|
| 143 | 142 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 144 | 135 | zred 9646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 145 | 144 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 146 | zcn 9528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 147 | 1cnd 8238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 148 | 146, 147 | addcomd 8372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 149 | 147, 146 | subnegd 8539 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 150 | 148, 149 | eqtr4d 2267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 151 | 150 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 152 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 153 | 152 | nnge1d 9228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 154 | 1red 8237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 155 | 152 | nnred 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 156 | 154, 155 | suble0d 8758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 157 | 153, 156 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 158 | 151, 157 | eqbrtrd 4115 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 159 | 11 | nnnn0d 9499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 160 | 159 | nn0ge0d 9502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 161 | 160 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 162 | mulle0r 9166 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 163 | 145, 122, 158, 161, 162 | syl22anc 1275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 164 | 143, 163 | eqbrtrd 4115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 165 | 138, 139, 164 | lensymd 8343 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 166 | 134, 165 | pm2.21dd 625 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 167 | elz 9525 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 | |
| 168 | 167 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 169 | 168 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 170 | 91, 110, 166, 169 | mpjao3dan 1344 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 171 | 170 | ex 115 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 172 | 171 | rexlimdva 2651 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 173 | 68, 172 | sylbird 170 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 174 | 65, 173 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
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. . . . . 6
..^ ..^
|
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. . . . 5
..^ ..^
|
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. . . 4
..^ ..^ |
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. . 3
..^ ..^
|
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. 2
..^ ..^
|
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. . 3
| |
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. 2
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| 182 | 179, 181 | impbid1 142 |
1
..^ ..^
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
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cmo 10630 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4212 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-pnf 8258 df-mnf 8259 df-xr 8260 df-ltxr 8261 df-le 8262 df-sub 8394 df-neg 8395 df-reap 8797 df-ap 8804 df-div 8895 df-inn 9186 df-n0 9445 df-z 9524 df-uz 9800 df-q 9898 df-rp 9933 df-fz 10289 df-fzo 10423 df-fl 10576 df-mod 10631 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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