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Theorem addmodlteq 9770
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteq  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  I  =  J
) )

Proof of Theorem addmodlteq
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9523 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  I  e.  ZZ )
213ad2ant1 964 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  I  e.  ZZ )
3 zq 9080 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  QQ )
42, 3syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  I  e.  QQ )
5 simp3 945 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  S  e.  ZZ )
6 zq 9080 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ZZ  ->  S  e.  QQ )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  S  e.  QQ )
8 elfzo0 9558 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )
98biimpi 118 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )
1093ad2ant1 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )
1110simp2d 956 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
12 nnq 9087 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
1311, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  QQ )
1411nngt0d 8437 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  0  <  N
)
15 modqaddmod 9735 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  QQ  /\  S  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  < 
N ) )  -> 
( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  =  ( ( I  +  S )  mod  N ) )
164, 7, 13, 14, 15syl22anc 1175 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  =  ( ( I  +  S
)  mod  N )
)
1716eqcomd 2093 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  +  S )  mod 
N )  =  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N ) )
18 elfzoelz 9523 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
19183ad2ant2 965 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
20 zq 9080 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  QQ )
2119, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  J  e.  QQ )
22 modqaddmod 9735 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  QQ  /\  S  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  < 
N ) )  -> 
( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
)  =  ( ( J  +  S )  mod  N ) )
2321, 7, 13, 14, 22syl22anc 1175 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod 
N )  =  ( ( J  +  S
)  mod  N )
)
2423eqcomd 2093 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  S )  mod 
N )  =  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N ) )
2517, 24eqeq12d 2102 . . 3  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  =  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N ) ) )
262, 11zmodcld 9717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  e.  NN0 )
2726nn0zd 8836 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  e.  ZZ )
2827, 5zaddcld 8842 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  mod  N )  +  S )  e.  ZZ )
2928, 11zmodcld 9717 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  e.  NN0 )
3029nn0cnd 8698 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  e.  CC )
3119, 11zmodcld 9717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  e.  NN0 )
3231nn0zd 8836 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  e.  ZZ )
3332, 5zaddcld 8842 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( J  mod  N )  +  S )  e.  ZZ )
3433, 11zmodcld 9717 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod 
N )  e.  NN0 )
3534nn0cnd 8698 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod 
N )  e.  CC )
3630, 35subeq0ad 7782 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N )  -  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
) )  =  0  <-> 
( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  =  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) ) )
37 oveq1 5641 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  -  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) )  =  0  ->  (
( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  -  (
( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )
384, 13, 14modqcld 9700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  e.  QQ )
39 qaddcl 9089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  mod  N
)  e.  QQ  /\  S  e.  QQ )  ->  ( ( I  mod  N )  +  S )  e.  QQ )
4038, 7, 39syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  mod  N )  +  S )  e.  QQ )
4121, 13, 14modqcld 9700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  e.  QQ )
42 qaddcl 9089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  mod  N
)  e.  QQ  /\  S  e.  QQ )  ->  ( ( J  mod  N )  +  S )  e.  QQ )
4341, 7, 42syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( J  mod  N )  +  S )  e.  QQ )
44 modqsubmodmod 9755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  e.  QQ  /\  ( ( J  mod  N )  +  S )  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  -  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  -  ( ( J  mod  N )  +  S ) )  mod  N ) )
4540, 43, 13, 14, 44syl22anc 1175 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N )  -  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  -  ( ( J  mod  N )  +  S ) )  mod 
N ) )
4626nn0cnd 8698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  e.  CC )
4731nn0cnd 8698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  e.  CC )
485zcnd 8839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  S  e.  CC )
4946, 47, 48pnpcan2d 7810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  -  ( ( J  mod  N )  +  S ) )  =  ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) ) )
5049oveq1d 5649 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( I  mod  N
)  +  S )  -  ( ( J  mod  N )  +  S ) )  mod 
N )  =  ( ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) )  mod  N ) )
5145, 50eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N )  -  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( I  mod  N
)  -  ( J  mod  N ) )  mod  N ) )
52 q0mod 9727 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  0  <  N )  -> 
( 0  mod  N
)  =  0 )
5313, 14, 52syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( 0  mod 
N )  =  0 )
5451, 53eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  -  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
)  <->  ( ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) )  mod  N
)  =  0 ) )
55 zmodidfzoimp 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( I  mod  N )  =  I )
56553ad2ant1 964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  =  I )
57 zmodidfzoimp 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  mod  N )  =  J )
58573ad2ant2 965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  =  J )
5956, 58oveq12d 5652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) )  =  ( I  -  J ) )
6059oveq1d 5649 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) )  mod  N
)  =  ( ( I  -  J )  mod  N ) )
6160eqeq1d 2096 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( I  mod  N
)  -  ( J  mod  N ) )  mod  N )  =  0  <->  ( ( I  -  J )  mod 
N )  =  0 ) )
62 qsubcl 9092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  QQ  /\  J  e.  QQ )  ->  ( I  -  J
)  e.  QQ )
634, 21, 62syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  -  J )  e.  QQ )
64 modq0 9701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  -  J
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  0  <  N )  ->  (
( ( I  -  J )  mod  N
)  =  0  <->  (
( I  -  J
)  /  N )  e.  ZZ ) )
6563, 13, 14, 64syl3anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  -  J )  mod  N )  =  0  <->  ( ( I  -  J )  /  N )  e.  ZZ ) )
662, 19zsubcld 8843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  -  J )  e.  ZZ )
67 zdiv 8804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( I  -  J
)  e.  ZZ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  <-> 
( ( I  -  J )  /  N
)  e.  ZZ ) )
6811, 66, 67syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  <-> 
( ( I  -  J )  /  N
)  e.  ZZ ) )
69 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  k  = 
0 )
7069oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  0 ) )
7111nncnd 8408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
7271mul01d 7850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
7372ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
7470, 73eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( N  x.  k )  =  0 )
7574eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  <->  0  =  ( I  -  J
) ) )
76 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  =  ( I  -  J )  <->  ( I  -  J )  =  0 )
7710simp1d 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  I  e.  NN0 )
7877ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  I  e.  NN0 )
7978nn0cnd 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  I  e.  CC )
80 elfzo0 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
8180biimpi 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
82813ad2ant2 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
8382simp1d 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  J  e.  NN0 )
8483ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  J  e.  NN0 )
8584nn0cnd 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  J  e.  CC )
8679, 85subeq0ad 7782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( (
I  -  J )  =  0  <->  I  =  J ) )
8786biimpd 142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( (
I  -  J )  =  0  ->  I  =  J ) )
8876, 87syl5bi 150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( 0  =  ( I  -  J )  ->  I  =  J ) )
8975, 88sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  ->  I  =  J ) )
9089imp 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J
) )  ->  I  =  J )
9190an32s 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  =  0 )  ->  I  =  J )
92 subfzo0 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u N  <  ( I  -  J
)  /\  ( I  -  J )  <  N
) )
93923adant3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( -u N  <  ( I  -  J
)  /\  ( I  -  J )  <  N
) )
9493ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u N  <  ( I  -  J )  /\  ( I  -  J
)  <  N )
)
9594simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
I  -  J )  <  N )
96 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )
9771mulid1d 7484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9897ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9995, 96, 983brtr4d 3867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( N  x.  k )  <  ( N  x.  1 ) )
100 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
101100zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
102 1red 7482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
10311nnrpd 9141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
104103ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  N  e.  RR+ )
105101, 102, 104ltmul2d 9185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  <  1  <->  ( N  x.  k )  <  ( N  x.  1 ) ) )
10699, 105mpbird 165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  <  1 )
107 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
108107nnge1d 8436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  1  <_  k )
109102, 101, 108lensymd 7584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  k  <  1 )
110106, 109pm2.21dd 585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  =  J )
11193ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( -u N  <  ( I  -  J )  /\  ( I  -  J
)  <  N )
)
112111simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -u N  <  ( I  -  J
) )
113 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )
114112, 113breqtrrd 3863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -u N  <  ( N  x.  k
) )
11511nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
116115adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
117 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
118116, 117zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  k )  e.  ZZ )
119118zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  k )  e.  RR )
120119ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  k )  e.  RR )
12111nnred 8407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
122121ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
123120, 122possumd 8022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
0  <  ( ( N  x.  k )  +  N )  <->  -u N  < 
( N  x.  k
) ) )
124114, 123mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  0  <  ( ( N  x.  k )  +  N
) )
12597eqcomd 2093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  =  ( N  x.  1 ) )
126125oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  k )  +  N )  =  ( ( N  x.  k
)  +  ( N  x.  1 ) ) )
127126ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( N  x.  k
)  +  N )  =  ( ( N  x.  k )  +  ( N  x.  1 ) ) )
12871ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
129117zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
130129ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
131 1cnd 7483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
132128, 130, 131adddid 7491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  k )  +  ( N  x.  1 ) ) )
133127, 132eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( N  x.  k
)  +  N )  =  ( N  x.  ( k  +  1 ) ) )
134124, 133breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  0  <  ( N  x.  (
k  +  1 ) ) )
135117peano2zd 8841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
136116, 135zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
137136zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
138137ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
139 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
14071adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
141135zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
142140, 141mulcomd 7488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  N ) )
143142ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  N ) )
144135zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
145144ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
146 zcn 8725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
147 1cnd 7483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
148146, 147addcomd 7612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  k ) )
149147, 146subnegd 7779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1  -  -u k
)  =  ( 1  +  k ) )
150148, 149eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  - 
-u k ) )
151150ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  - 
-u k ) )
152 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -u k  e.  NN )
153152nnge1d 8436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  1  <_ 
-u k )
154 1red 7482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
155152nnred 8407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -u k  e.  RR )
156154, 155suble0d 7989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( 1  -  -u k
)  <_  0  <->  1  <_  -u k ) )
157153, 156mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
1  -  -u k
)  <_  0 )
158151, 157eqbrtrd 3857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  <_  0 )
15911nnnn0d 8696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN0 )
160159nn0ge0d 8699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  0  <_  N
)
161160ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  0  <_  N )
162 mulle0r 8377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( ( k  +  1 )  <_ 
0  /\  0  <_  N ) )  ->  (
( k  +  1 )  x.  N )  <_  0 )
163145, 122, 158, 161, 162syl22anc 1175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( k  +  1 )  x.  N )  <_  0 )
164143, 163eqbrtrd 3857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  <_  0 )
165138, 139, 164lensymd 7584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -.  0  <  ( N  x.  ( k  +  1 ) ) )
166134, 165pm2.21dd 585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  I  =  J )
167 elz 8722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  <->  ( k  e.  RR  /\  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) ) )
168167simprbi 269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
169168ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  ->  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
17091, 110, 166, 169mpjao3dan 1243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  ->  I  =  J )
171170ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  k
)  =  ( I  -  J )  ->  I  =  J )
)
172171rexlimdva 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  ->  I  =  J ) )
17368, 172sylbird 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  -  J )  /  N )  e.  ZZ  ->  I  =  J ) )
17465, 173sylbid 148 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  -  J )  mod  N )  =  0  ->  I  =  J ) )
17561, 174sylbid 148 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( I  mod  N
)  -  ( J  mod  N ) )  mod  N )  =  0  ->  I  =  J ) )
17654, 175sylbid 148 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  -  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
)  ->  I  =  J ) )
17737, 176syl5 32 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N )  -  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
) )  =  0  ->  I  =  J ) )
17836, 177sylbird 168 . . 3  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( I  mod  N
)  +  S )  mod  N )  =  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
)  ->  I  =  J ) )
17925, 178sylbid 148 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  ->  I  =  J ) )
180 oveq1 5641 . . 3  |-  ( I  =  J  ->  (
I  +  S )  =  ( J  +  S ) )
181180oveq1d 5649 . 2  |-  ( I  =  J  ->  (
( I  +  S
)  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod 
N ) )
182179, 181impbid1 140 1  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  I  =  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ w3o 923    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   -ucneg 7633    / cdiv 8113   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   QQcq 9073   RR+crp 9103  ..^cfzo 9518    mod cmo 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695
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