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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > addmodlteq | Unicode version | ||
| Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| addmodlteq |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^       
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | elfzoelz 10222 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 2 | 1 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 3 | zq 9700 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 2, 3 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 5 | simp3 1001 |
. . . . . . 7
..^ ..^ | |
| 6 | zq 9700 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 8 | elfzo0 10258 |
. . . . . . . . . 10
..^ 
  | |
| 9 | 8 | biimpi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 10 | 9 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 11 | 10 | simp2d 1012 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 12 | nnq 9707 |
. . . . . . 7
| |
| 13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 14 | 11 | nngt0d 9034 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 15 | modqaddmod 10455 |
. . . . . 6
| |
| 16 | 4, 7, 13, 14, 15 | syl22anc 1250 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 17 | 16 | eqcomd 2202 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 18 | elfzoelz 10222 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 19 | 18 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 20 | zq 9700 |
. . . . . . 7
| |
| 21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 22 | modqaddmod 10455 |
. . . . . 6
| |
| 23 | 21, 7, 13, 14, 22 | syl22anc 1250 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 24 | 23 | eqcomd 2202 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 25 | 17, 24 | eqeq12d 2211 |
. . 3
..^ ..^ |
| 26 | 2, 11 | zmodcld 10437 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 27 | 26 | nn0zd 9446 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 28 | 27, 5 | zaddcld 9452 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 29 | 28, 11 | zmodcld 10437 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 30 | 29 | nn0cnd 9304 |
. . . . 5
..^ ..^  |
| 31 | 19, 11 | zmodcld 10437 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 32 | 31 | nn0zd 9446 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 33 | 32, 5 | zaddcld 9452 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 34 | 33, 11 | zmodcld 10437 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 35 | 34 | nn0cnd 9304 |
. . . . 5
..^ ..^ |
| 36 | 30, 35 | subeq0ad 8347 |
. . . 4
..^ ..^  |
| 37 | oveq1 5929 |
. . . . 5
| |
| 38 | 4, 13, 14 | modqcld 10420 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 39 | qaddcl 9709 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 40 | 38, 7, 39 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 41 | 21, 13, 14 | modqcld 10420 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 42 | qaddcl 9709 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 43 | 41, 7, 42 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 44 | modqsubmodmod 10475 |
. . . . . . . . 9
| |
| 45 | 40, 43, 13, 14, 44 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 46 | 26 | nn0cnd 9304 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 47 | 31 | nn0cnd 9304 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 48 | 5 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 49 | 46, 47, 48 | pnpcan2d 8375 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 50 | 49 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 51 | 45, 50 | eqtrd 2229 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 52 | q0mod 10447 |
. . . . . . . 8
| |
| 53 | 13, 14, 52 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 54 | 51, 53 | eqeq12d 2211 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 55 | zmodidfzoimp 10446 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 56 | 55 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 57 | zmodidfzoimp 10446 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 58 | 57 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 59 | 56, 58 | oveq12d 5940 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 60 | 59 | oveq1d 5937 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 61 | 60 | eqeq1d 2205 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 62 | qsubcl 9712 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 63 | 4, 21, 62 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 64 | modq0 10421 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 65 | 63, 13, 14, 64 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 66 | 2, 19 | zsubcld 9453 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 67 | zdiv 9414 |
. . . . . . . . . 10
  | |
| 68 | 11, 66, 67 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 69 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
| |
| 70 | 69 | oveq2d 5938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | 11 | nncnd 9004 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 72 | 71 | mul01d 8419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 73 | 72 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 74 | 70, 73 | eqtrd 2229 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 75 | 74 | eqeq1d 2205 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 76 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 77 | 10 | simp1d 1011 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 78 | 77 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
|
| 79 | 78 | nn0cnd 9304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 80 | elfzo0 10258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^
| |
| 81 | 80 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 82 | 81 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 83 | 82 | simp1d 1011 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 84 | 83 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
|
| 85 | 84 | nn0cnd 9304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 86 | 79, 85 | subeq0ad 8347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 87 | 86 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 88 | 76, 87 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 89 | 75, 88 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 90 | 89 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 91 | 90 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 92 | subfzo0 10318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
| |
| 93 | 92 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 94 | 93 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 95 | 94 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 96 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
| |
| 97 | 71 | mulridd 8043 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^  |
| 98 | 97 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 99 | 95, 96, 98 | 3brtr4d 4065 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 100 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ | |
| 101 | 100 | zred 9448 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^  |
| 102 | 1red 8041 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ | |
| 103 | 11 | nnrpd 9769 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^  |
| 104 | 103 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 105 | 101, 102, 104 | ltmul2d 9814 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 106 | 99, 105 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 107 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ | |
| 108 | 107 | nnge1d 9033 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^  |
| 109 | 102, 101, 108 | lensymd 8148 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^  |
| 110 | 106, 109 | pm2.21dd 621 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 111 | 93 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 112 | 111 | simpld 112 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 113 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
| |
| 114 | 112, 113 | breqtrrd 4061 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 115 | 11 | nnzd 9447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 116 | 115 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ |
| 117 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ | |
| 118 | 116, 117 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
..^
|
| 119 | 118 | zred 9448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^
|
| 120 | 119 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 121 | 11 | nnred 9003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 122 | 121 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 123 | 120, 122 | possumd 8596 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 124 | 114, 123 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 125 | 97 | eqcomd 2202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 126 | 125 | oveq2d 5938 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 127 | 126 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 128 | 71 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 129 | 117 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 130 | 129 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 131 | 1cnd 8042 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ | |
| 132 | 128, 130, 131 | adddid 8051 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 133 | 127, 132 | eqtr4d 2232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 134 | 124, 133 | breqtrd 4059 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 135 | 117 | peano2zd 9451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 136 | 116, 135 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
..^
|
| 137 | 136 | zred 9448 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 138 | 137 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 139 | 0red 8027 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ | |
| 140 | 71 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 141 | 135 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 142 | 140, 141 | mulcomd 8048 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
..^
|
| 143 | 142 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 144 | 135 | zred 9448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 145 | 144 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 146 | zcn 9331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 147 | 1cnd 8042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 148 | 146, 147 | addcomd 8177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 149 | 147, 146 | subnegd 8344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 150 | 148, 149 | eqtr4d 2232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 151 | 150 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 152 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 153 | 152 | nnge1d 9033 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 154 | 1red 8041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 155 | 152 | nnred 9003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 156 | 154, 155 | suble0d 8563 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 157 | 153, 156 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 158 | 151, 157 | eqbrtrd 4055 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 159 | 11 | nnnn0d 9302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 160 | 159 | nn0ge0d 9305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 161 | 160 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 162 | mulle0r 8971 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 163 | 145, 122, 158, 161, 162 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 164 | 143, 163 | eqbrtrd 4055 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 165 | 138, 139, 164 | lensymd 8148 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 166 | 134, 165 | pm2.21dd 621 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 167 | elz 9328 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 | |
| 168 | 167 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 169 | 168 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 170 | 91, 110, 166, 169 | mpjao3dan 1318 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 171 | 170 | ex 115 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 172 | 171 | rexlimdva 2614 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 173 | 68, 172 | sylbird 170 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 174 | 65, 173 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
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. . . . . 6
..^ ..^
|
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. . . . 5
..^ ..^
|
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. . . 4
..^ ..^ |
| 178 | 36, 177 | sylbird 170 |
. . 3
..^ ..^
|
| 179 | 25, 178 | sylbid 150 |
. 2
..^ ..^
|
| 180 | oveq1 5929 |
. . 3
| |
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. 2
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| 182 | 179, 181 | impbid1 142 |
1
..^ ..^
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 104
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cmo 10414 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4151 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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