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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > addmodlteq | Unicode version | ||
| Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| addmodlteq |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^       
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | elfzoelz 9955 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 2 | 1 | 3ad2ant1 1003 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 3 | zq 9445 |
. . . . . . 7
 | |
| 4 | 2, 3 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 5 | simp3 984 |
. . . . . . 7
..^ ..^ | |
| 6 | zq 9445 |
. . . . . . 7
| |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 8 | elfzo0 9990 |
. . . . . . . . . 10
..^ 
  | |
| 9 | 8 | biimpi 119 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 10 | 9 | 3ad2ant1 1003 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 11 | 10 | simp2d 995 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 12 | nnq 9452 |
. . . . . . 7
| |
| 13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 14 | 11 | nngt0d 8788 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 15 | modqaddmod 10167 |
. . . . . 6
| |
| 16 | 4, 7, 13, 14, 15 | syl22anc 1218 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 17 | 16 | eqcomd 2146 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 18 | elfzoelz 9955 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 19 | 18 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 20 | zq 9445 |
. . . . . . 7
| |
| 21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 22 | modqaddmod 10167 |
. . . . . 6
| |
| 23 | 21, 7, 13, 14, 22 | syl22anc 1218 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 24 | 23 | eqcomd 2146 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 25 | 17, 24 | eqeq12d 2155 |
. . 3
..^ ..^ |
| 26 | 2, 11 | zmodcld 10149 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 27 | 26 | nn0zd 9195 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 28 | 27, 5 | zaddcld 9201 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 29 | 28, 11 | zmodcld 10149 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 30 | 29 | nn0cnd 9056 |
. . . . 5
..^ ..^  |
| 31 | 19, 11 | zmodcld 10149 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 32 | 31 | nn0zd 9195 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 33 | 32, 5 | zaddcld 9201 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 34 | 33, 11 | zmodcld 10149 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 35 | 34 | nn0cnd 9056 |
. . . . 5
..^ ..^ |
| 36 | 30, 35 | subeq0ad 8107 |
. . . 4
..^ ..^  |
| 37 | oveq1 5789 |
. . . . 5
| |
| 38 | 4, 13, 14 | modqcld 10132 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 39 | qaddcl 9454 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 40 | 38, 7, 39 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 41 | 21, 13, 14 | modqcld 10132 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 42 | qaddcl 9454 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 43 | 41, 7, 42 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 44 | modqsubmodmod 10187 |
. . . . . . . . 9
| |
| 45 | 40, 43, 13, 14, 44 | syl22anc 1218 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 46 | 26 | nn0cnd 9056 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 47 | 31 | nn0cnd 9056 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 48 | 5 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 49 | 46, 47, 48 | pnpcan2d 8135 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 50 | 49 | oveq1d 5797 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 51 | 45, 50 | eqtrd 2173 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 52 | q0mod 10159 |
. . . . . . . 8
| |
| 53 | 13, 14, 52 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 54 | 51, 53 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 55 | zmodidfzoimp 10158 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 56 | 55 | 3ad2ant1 1003 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 57 | zmodidfzoimp 10158 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 58 | 57 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 59 | 56, 58 | oveq12d 5800 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 60 | 59 | oveq1d 5797 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 61 | 60 | eqeq1d 2149 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 62 | qsubcl 9457 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 63 | 4, 21, 62 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 64 | modq0 10133 |
. . . . . . . . 9
 | |
| 65 | 63, 13, 14, 64 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 66 | 2, 19 | zsubcld 9202 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 67 | zdiv 9163 |
. . . . . . . . . 10
  | |
| 68 | 11, 66, 67 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 69 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
| |
| 70 | 69 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 71 | 11 | nncnd 8758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 72 | 71 | mul01d 8179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 73 | 72 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 74 | 70, 73 | eqtrd 2173 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 75 | 74 | eqeq1d 2149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 76 | eqcom 2142 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 77 | 10 | simp1d 994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 78 | 77 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
|
| 79 | 78 | nn0cnd 9056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 80 | elfzo0 9990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^
| |
| 81 | 80 | biimpi 119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 82 | 81 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^
|
| 83 | 82 | simp1d 994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 84 | 83 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
|
| 85 | 84 | nn0cnd 9056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 86 | 79, 85 | subeq0ad 8107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 87 | 86 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 88 | 76, 87 | syl5bi 151 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 89 | 75, 88 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 90 | 89 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 91 | 90 | an32s 558 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 92 | subfzo0 10050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
| |
| 93 | 92 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 94 | 93 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 95 | 94 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 96 | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
| |
| 97 | 71 | mulid1d 7807 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^  |
| 98 | 97 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 99 | 95, 96, 98 | 3brtr4d 3968 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 100 | simpllr 524 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ | |
| 101 | 100 | zred 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^  |
| 102 | 1red 7805 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ | |
| 103 | 11 | nnrpd 9511 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^  |
| 104 | 103 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 105 | 101, 102, 104 | ltmul2d 9556 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 106 | 99, 105 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 107 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ | |
| 108 | 107 | nnge1d 8787 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^  |
| 109 | 102, 101, 108 | lensymd 7908 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^  |
| 110 | 106, 109 | pm2.21dd 610 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 111 | 93 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 112 | 111 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 113 | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
| |
| 114 | 112, 113 | breqtrrd 3964 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 115 | 11 | nnzd 9196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 116 | 115 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ |
| 117 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ | |
| 118 | 116, 117 | zmulcld 9203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
..^
|
| 119 | 118 | zred 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^
|
| 120 | 119 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
|
| 121 | 11 | nnred 8757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 122 | 121 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 123 | 120, 122 | possumd 8355 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 124 | 114, 123 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 125 | 97 | eqcomd 2146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 126 | 125 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 127 | 126 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 128 | 71 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 129 | 117 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 130 | 129 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 131 | 1cnd 7806 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ | |
| 132 | 128, 130, 131 | adddid 7814 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 133 | 127, 132 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 134 | 124, 133 | breqtrd 3962 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 135 | 117 | peano2zd 9200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 136 | 116, 135 | zmulcld 9203 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
..^
|
| 137 | 136 | zred 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 138 | 137 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 139 | 0red 7791 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ | |
| 140 | 71 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 141 | 135 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 142 | 140, 141 | mulcomd 7811 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
..^
|
| 143 | 142 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
|
| 144 | 135 | zred 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 145 | 144 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 146 | zcn 9083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 147 | 1cnd 7806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 148 | 146, 147 | addcomd 7937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 149 | 147, 146 | subnegd 8104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 150 | 148, 149 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 151 | 150 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 152 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 153 | 152 | nnge1d 8787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 154 | 1red 7805 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 155 | 152 | nnred 8757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 156 | 154, 155 | suble0d 8322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^
|
| 157 | 153, 156 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
|
| 158 | 151, 157 | eqbrtrd 3958 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 159 | 11 | nnnn0d 9054 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 160 | 159 | nn0ge0d 9057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 161 | 160 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 162 | mulle0r 8726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 163 | 145, 122, 158, 161, 162 | syl22anc 1218 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^ |
| 164 | 143, 163 | eqbrtrd 3958 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 165 | 138, 139, 164 | lensymd 7908 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 166 | 134, 165 | pm2.21dd 610 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 167 | elz 9080 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 | |
| 168 | 167 | simprbi 273 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 169 | 168 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^
|
| 170 | 91, 110, 166, 169 | mpjao3dan 1286 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^
|
| 171 | 170 | ex 114 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 172 | 171 | rexlimdva 2552 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 173 | 68, 172 | sylbird 169 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 174 | 65, 173 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
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. . . . . 6
..^ ..^
|
| 176 | 54, 175 | sylbid 149 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 177 | 37, 176 | syl5 32 |
. . . 4
..^ ..^ |
| 178 | 36, 177 | sylbird 169 |
. . 3
..^ ..^
|
| 179 | 25, 178 | sylbid 149 |
. 2
..^ ..^
|
| 180 | oveq1 5789 |
. . 3
| |
| 181 | 180 | oveq1d 5797 |
. 2
|
| 182 | 179, 181 | impbid1 141 |
1
..^ ..^
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wi 4
wa 103
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cmo 10126 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-fl 10074 df-mod 10127 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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