ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lensymd GIF version

Theorem lensymd 7852
Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lensymd (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd
StepHypRef Expression
1 lensymd.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3lenltd 7848 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
51, 4mpbid 146 1 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587   < clt 7768  cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-xr 7772  df-le 7774
This theorem is referenced by:  lbinf  8674  addmodlteq  10139  iseqf1olemab  10230  seq3f1olemqsumk  10240  seq3f1olemqsum  10241  zfz1isolemiso  10550  seq3coll  10553  maxleim  10945  maxabslemval  10948  cvgratz  11269  divalglemnqt  11544  bezoutlemsup  11624  dfgcd2  11629  lcmgcdlem  11685  trilpolemgt1  13159  trilpolemlt1  13161
  Copyright terms: Public domain W3C validator