Theorem lensymd 8449

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 8445	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-xr 8364  df-le 8366

This theorem is used by:  lbinf  9280  suprzubdc  10681  zsupssdc  10683  addmodlteq  10848  iseqf1olemab  10952  seq3f1olemqsumk  10962  seq3f1olemqsum  10963  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  nn0ltexp2  11161  sshashneg  11295  zfz1isolemiso  11305  seq3coll  11308  ccatalpha  11395  sq01  11674  maxleim  11986  maxabslemval  11989  cvgratz  12315  divalglemnqt  12703  bezoutlemsup  12802  dfgcd2  12807  nninfctlemfo  12833  lcmgcdlem  12871  4sqlem11  13200  ballotfilemimin  13298  ballotfilemfrcn0  13322  gzsumfzval  13760  lgsval2lem  16227  trilpolemgt1  17186  trilpolemlt1  17188