ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lensymd GIF version

Theorem lensymd 8066
Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lensymd (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd
StepHypRef Expression
1 lensymd.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3lenltd 8062 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
51, 4mpbid 147 1 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2148   class class class wbr 4000  cr 7798   < clt 7979  cle 7980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-cnv 4631  df-xr 7983  df-le 7985
This theorem is referenced by:  lbinf  8891  addmodlteq  10381  iseqf1olemab  10472  seq3f1olemqsumk  10482  seq3f1olemqsum  10483  nn0ltexp2  10671  zfz1isolemiso  10800  seq3coll  10803  maxleim  11195  maxabslemval  11198  cvgratz  11521  divalglemnqt  11905  suprzubdc  11933  zsupssdc  11935  bezoutlemsup  11990  dfgcd2  11995  lcmgcdlem  12057  lgsval2lem  14071  trilpolemgt1  14436  trilpolemlt1  14438
  Copyright terms: Public domain W3C validator