Theorem lssintclm 14397

Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssintclm	|- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A e. S )

Distinct variable groups:   w, A   w, W

Allowed substitution hint:   S( w)

Proof of Theorem lssintclm

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) )
2		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
3		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
4		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
5		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( .s ` W ) = ( .s ` W ) )
6		lssintcl.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> S = ( LSubSp ` W ) )
8		intssuni2m 3952	. . . 4 |- ( ( A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ U. S )
9	8	3adant1 1041	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ U. S )
10		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10, 6	lssssg 14373	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> y C_ ( Base ` W ) )
12		velpw 3659	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ( Base ` W ) <-> y C_ ( Base ` W ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> y e. ~P ( Base ` W ) )
14	13	ex 115	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( y e. S -> y e. ~P ( Base ` W ) ) )
15	14	ssrdv 3233	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> S C_ ~P ( Base ` W ) )
16		sspwuni 4055	. . . . 5 |- ( S C_ ~P ( Base ` W ) <-> U. S C_ ( Base ` W ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( W e. LMod -> U. S C_ ( Base ` W ) )
18	17	3ad2ant1 1044	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> U. S C_ ( Base ` W ) )
19	9, 18	sstrd 3237	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ ( Base ` W ) )
20		simpl1 1026	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> W e. LMod )
21		simp2 1024	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> A C_ S )
22	21	sselda 3227	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> y e. S )
23		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
24	23, 6	lss0cl 14382	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> ( 0g ` W ) e. y )
25	20, 22, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> ( 0g ` W ) e. y )
26	25	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y )
27	10, 23	lmod0vcl 14330	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) )
28		elintg 3936	. . . . . 6 |- ( ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
30	29	3ad2ant1 1044	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
31	26, 30	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( 0g ` W ) e. |^| A )
32		elex2 2819	. . 3 |- ( ( 0g ` W ) e. |^| A -> E. w w e. |^| A )
33	31, 32	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> E. w w e. |^| A )
34	20	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> W e. LMod )
35	22	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> y e. S )
36		simplr1 1065	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
37		simplr2 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> a e. |^| A )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
39		elinti 3937	. . . . . 6 |- ( a e. |^| A -> ( y e. A -> a e. y ) )
40	37, 38, 39	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> a e. y )
41		simplr3 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> b e. |^| A )
42		elinti 3937	. . . . . 6 |- ( b e. |^| A -> ( y e. A -> b e. y ) )
43	41, 38, 42	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> b e. y )
44		eqid 2231	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
45		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
46		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
47		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
48	44, 45, 46, 47, 6	lssclg 14377	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. y /\ b e. y ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
49	34, 35, 36, 40, 43, 48	syl113anc 1285	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
50	49	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
51		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
52	51	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> x e. _V )
53		vscaslid 13245	. . . . . . . . 9 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
54	53	slotex 13108	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
55		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
56	55	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> a e. _V )
57		ovexg 6051	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ ( .s ` W ) e. _V /\ a e. _V ) -> ( x ( .s ` W ) a ) e. _V )
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( x ( .s ` W ) a ) e. _V )
59		plusgslid 13194	. . . . . . . 8 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
60	59	slotex 13108	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( +g ` W ) e. _V )
61		vex 2805	. . . . . . . 8 |- b e. _V
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> b e. _V )
63		ovexg 6051	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ( .s ` W ) a ) e. _V /\ ( +g ` W ) e. _V /\ b e. _V ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
65		elintg 3936	. . . . . 6 |- ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
67	66	3ad2ant1 1044	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
68	67	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
69	50, 68	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A )
70		simp1 1023	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> W e. LMod )
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70	islssmd 14372	1 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893   |^|cint 3928   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   0gc0g 13338   LModclmod 14300   LSubSpclss 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-lmod 14302  df-lssm 14366

This theorem is referenced by:  lssincl  14398  lspf  14402