Theorem lssintclm 13476

Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssintclm	|- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A e. S )

Distinct variable groups:   w, A   w, W

Allowed substitution hint:   S( w)

Proof of Theorem lssintclm

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2178	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) )
2		eqidd 2178	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
3		eqidd 2178	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
4		eqidd 2178	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
5		eqidd 2178	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( .s ` W ) = ( .s ` W ) )
6		lssintcl.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> S = ( LSubSp ` W ) )
8		intssuni2m 3870	. . . 4 |- ( ( A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ U. S )
9	8	3adant1 1015	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ U. S )
10		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10, 6	lssssg 13452	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> y C_ ( Base ` W ) )
12		velpw 3584	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ( Base ` W ) <-> y C_ ( Base ` W ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> y e. ~P ( Base ` W ) )
14	13	ex 115	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( y e. S -> y e. ~P ( Base ` W ) ) )
15	14	ssrdv 3163	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> S C_ ~P ( Base ` W ) )
16		sspwuni 3973	. . . . 5 |- ( S C_ ~P ( Base ` W ) <-> U. S C_ ( Base ` W ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( W e. LMod -> U. S C_ ( Base ` W ) )
18	17	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> U. S C_ ( Base ` W ) )
19	9, 18	sstrd 3167	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ ( Base ` W ) )
20		simpl1 1000	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> W e. LMod )
21		simp2 998	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> A C_ S )
22	21	sselda 3157	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> y e. S )
23		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
24	23, 6	lss0cl 13460	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> ( 0g ` W ) e. y )
25	20, 22, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> ( 0g ` W ) e. y )
26	25	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y )
27	10, 23	lmod0vcl 13412	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) )
28		elintg 3854	. . . . . 6 |- ( ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
30	29	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
31	26, 30	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( 0g ` W ) e. |^| A )
32		elex2 2755	. . 3 |- ( ( 0g ` W ) e. |^| A -> E. w w e. |^| A )
33	31, 32	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> E. w w e. |^| A )
34	20	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> W e. LMod )
35	22	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> y e. S )
36		simplr1 1039	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
37		simplr2 1040	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> a e. |^| A )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
39		elinti 3855	. . . . . 6 |- ( a e. |^| A -> ( y e. A -> a e. y ) )
40	37, 38, 39	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> a e. y )
41		simplr3 1041	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> b e. |^| A )
42		elinti 3855	. . . . . 6 |- ( b e. |^| A -> ( y e. A -> b e. y ) )
43	41, 38, 42	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> b e. y )
44		eqid 2177	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
45		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
46		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
47		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
48	44, 45, 46, 47, 6	lssclg 13456	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. y /\ b e. y ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
49	34, 35, 36, 40, 43, 48	syl113anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
50	49	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
51		vex 2742	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
52	51	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> x e. _V )
53		vscaslid 12623	. . . . . . . . 9 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
54	53	slotex 12491	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
55		vex 2742	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
56	55	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> a e. _V )
57		ovexg 5911	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ ( .s ` W ) e. _V /\ a e. _V ) -> ( x ( .s ` W ) a ) e. _V )
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( x ( .s ` W ) a ) e. _V )
59		plusgslid 12573	. . . . . . . 8 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
60	59	slotex 12491	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( +g ` W ) e. _V )
61		vex 2742	. . . . . . . 8 |- b e. _V
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> b e. _V )
63		ovexg 5911	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ( .s ` W ) a ) e. _V /\ ( +g ` W ) e. _V /\ b e. _V ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
65		elintg 3854	. . . . . 6 |- ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
67	66	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
68	67	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
69	50, 68	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A )
70		simp1 997	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> W e. LMod )
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70	islssmd 13451	1 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   U.cuni 3811   |^|cint 3846   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538  Scalarcsca 12541   .scvsca 12542   0gc0g 12710   LModclmod 13382   LSubSpclss 13447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448

This theorem is referenced by:  lssincl  13477  lspf  13481