Theorem lssintclm 14480

Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssintclm	|- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A e. S )

Distinct variable groups:   w, A   w, W

Allowed substitution hint:   S( w)

Proof of Theorem lssintclm

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) )
2		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
3		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
4		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
5		eqidd 2232	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( .s ` W ) = ( .s ` W ) )
6		lssintcl.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> S = ( LSubSp ` W ) )
8		intssuni2m 3957	. . . 4 |- ( ( A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ U. S )
9	8	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ U. S )
10		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10, 6	lssssg 14456	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> y C_ ( Base ` W ) )
12		velpw 3663	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ( Base ` W ) <-> y C_ ( Base ` W ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> y e. ~P ( Base ` W ) )
14	13	ex 115	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( y e. S -> y e. ~P ( Base ` W ) ) )
15	14	ssrdv 3234	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> S C_ ~P ( Base ` W ) )
16		sspwuni 4060	. . . . 5 |- ( S C_ ~P ( Base ` W ) <-> U. S C_ ( Base ` W ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( W e. LMod -> U. S C_ ( Base ` W ) )
18	17	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> U. S C_ ( Base ` W ) )
19	9, 18	sstrd 3238	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ ( Base ` W ) )
20		simpl1 1027	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> W e. LMod )
21		simp2 1025	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> A C_ S )
22	21	sselda 3228	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> y e. S )
23		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
24	23, 6	lss0cl 14465	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> ( 0g ` W ) e. y )
25	20, 22, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> ( 0g ` W ) e. y )
26	25	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y )
27	10, 23	lmod0vcl 14413	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) )
28		elintg 3941	. . . . . 6 |- ( ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
30	29	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
31	26, 30	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( 0g ` W ) e. |^| A )
32		elex2 2820	. . 3 |- ( ( 0g ` W ) e. |^| A -> E. w w e. |^| A )
33	31, 32	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> E. w w e. |^| A )
34	20	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> W e. LMod )
35	22	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> y e. S )
36		simplr1 1066	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
37		simplr2 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> a e. |^| A )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
39		elinti 3942	. . . . . 6 |- ( a e. |^| A -> ( y e. A -> a e. y ) )
40	37, 38, 39	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> a e. y )
41		simplr3 1068	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> b e. |^| A )
42		elinti 3942	. . . . . 6 |- ( b e. |^| A -> ( y e. A -> b e. y ) )
43	41, 38, 42	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> b e. y )
44		eqid 2231	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
45		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
46		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
47		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
48	44, 45, 46, 47, 6	lssclg 14460	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. y /\ b e. y ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
49	34, 35, 36, 40, 43, 48	syl113anc 1286	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
50	49	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
51		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
52	51	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> x e. _V )
53		vscaslid 13326	. . . . . . . . 9 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
54	53	slotex 13189	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
55		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
56	55	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> a e. _V )
57		ovexg 6062	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ ( .s ` W ) e. _V /\ a e. _V ) -> ( x ( .s ` W ) a ) e. _V )
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( x ( .s ` W ) a ) e. _V )
59		plusgslid 13275	. . . . . . . 8 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
60	59	slotex 13189	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( +g ` W ) e. _V )
61		vex 2806	. . . . . . . 8 |- b e. _V
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> b e. _V )
63		ovexg 6062	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ( .s ` W ) a ) e. _V /\ ( +g ` W ) e. _V /\ b e. _V ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
65		elintg 3941	. . . . . 6 |- ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
67	66	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
68	67	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
69	50, 68	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A )
70		simp1 1024	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> W e. LMod )
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70	islssmd 14455	1 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   U.cuni 3898   |^|cint 3933   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240  Scalarcsca 13243   .scvsca 13244   0gc0g 13419   LModclmod 14383   LSubSpclss 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-sbg 13668  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092  df-lmod 14385  df-lssm 14449

This theorem is referenced by:  lssincl  14481  lspf  14485