Theorem lssintclm 13660

Description: The intersection of an inhabited set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssintclm	|- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A e. S )

Distinct variable groups:   w, A   w, W

Allowed substitution hint:   S( w)

Proof of Theorem lssintclm

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2189	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) )
2		eqidd 2189	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
3		eqidd 2189	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
4		eqidd 2189	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
5		eqidd 2189	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( .s ` W ) = ( .s ` W ) )
6		lssintcl.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> S = ( LSubSp ` W ) )
8		intssuni2m 3882	. . . 4 |- ( ( A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ U. S )
9	8	3adant1 1016	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ U. S )
10		eqid 2188	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10, 6	lssssg 13636	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> y C_ ( Base ` W ) )
12		velpw 3596	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ( Base ` W ) <-> y C_ ( Base ` W ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> y e. ~P ( Base ` W ) )
14	13	ex 115	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( y e. S -> y e. ~P ( Base ` W ) ) )
15	14	ssrdv 3175	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> S C_ ~P ( Base ` W ) )
16		sspwuni 3985	. . . . 5 |- ( S C_ ~P ( Base ` W ) <-> U. S C_ ( Base ` W ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . 4 |- ( W e. LMod -> U. S C_ ( Base ` W ) )
18	17	3ad2ant1 1019	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> U. S C_ ( Base ` W ) )
19	9, 18	sstrd 3179	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A C_ ( Base ` W ) )
20		simpl1 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> W e. LMod )
21		simp2 999	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> A C_ S )
22	21	sselda 3169	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> y e. S )
23		eqid 2188	. . . . . . 7 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
24	23, 6	lss0cl 13645	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S ) -> ( 0g ` W ) e. y )
25	20, 22, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ y e. A ) -> ( 0g ` W ) e. y )
26	25	ralrimiva 2562	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y )
27	10, 23	lmod0vcl 13593	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) )
28		elintg 3866	. . . . . 6 |- ( ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
30	29	3ad2ant1 1019	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( ( 0g ` W ) e. |^| A <-> A. y e. A ( 0g ` W ) e. y ) )
31	26, 30	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( 0g ` W ) e. |^| A )
32		elex2 2767	. . 3 |- ( ( 0g ` W ) e. |^| A -> E. w w e. |^| A )
33	31, 32	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> E. w w e. |^| A )
34	20	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> W e. LMod )
35	22	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> y e. S )
36		simplr1 1040	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
37		simplr2 1041	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> a e. |^| A )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
39		elinti 3867	. . . . . 6 |- ( a e. |^| A -> ( y e. A -> a e. y ) )
40	37, 38, 39	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> a e. y )
41		simplr3 1042	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> b e. |^| A )
42		elinti 3867	. . . . . 6 |- ( b e. |^| A -> ( y e. A -> b e. y ) )
43	41, 38, 42	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> b e. y )
44		eqid 2188	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
45		eqid 2188	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
46		eqid 2188	. . . . . 6 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
47		eqid 2188	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
48	44, 45, 46, 47, 6	lssclg 13640	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ y e. S /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. y /\ b e. y ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
49	34, 35, 36, 40, 43, 48	syl113anc 1260	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
50	49	ralrimiva 2562	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y )
51		vex 2754	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
52	51	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> x e. _V )
53		vscaslid 12639	. . . . . . . . 9 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
54	53	slotex 12506	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> ( .s ` W ) e. _V )
55		vex 2754	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
56	55	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> a e. _V )
57		ovexg 5924	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ ( .s ` W ) e. _V /\ a e. _V ) -> ( x ( .s ` W ) a ) e. _V )
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1248	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( x ( .s ` W ) a ) e. _V )
59		plusgslid 12589	. . . . . . . 8 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
60	59	slotex 12506	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( +g ` W ) e. _V )
61		vex 2754	. . . . . . . 8 |- b e. _V
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> b e. _V )
63		ovexg 5924	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ( .s ` W ) a ) e. _V /\ ( +g ` W ) e. _V /\ b e. _V ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1248	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V )
65		elintg 3866	. . . . . 6 |- ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. _V -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
67	66	3ad2ant1 1019	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
68	67	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> ( ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A <-> A. y e. A ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. y ) )
69	50, 68	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ a e. |^| A /\ b e. |^| A ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) a ) ( +g ` W ) b ) e. |^| A )
70		simp1 998	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> W e. LMod )
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 33, 69, 70	islssmd 13635	1 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ S /\ E. w w e. A ) -> |^| A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2159   A.wral 2467   _Vcvv 2751   C_ wss 3143   ~Pcpw 3589   U.cuni 3823   |^|cint 3858   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   Basecbs 12479   +g cplusg 12554  Scalarcsca 12557   .scvsca 12558   0gc0g 12726   LModclmod 13563   LSubSpclss 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-minusg 12914  df-sbg 12915  df-mgp 13235  df-ur 13274  df-ring 13312  df-lmod 13565  df-lssm 13629

This theorem is referenced by:  lssincl  13661  lspf  13665