Theorem lmodvs1 13812

Description: Scalar product with the ring unity. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs1.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvs1.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs1.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs1.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs1	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Proof of Theorem lmodvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
2		lmodvs1.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
4		lmodvs1.u	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` F )
5	2, 3, 4	lmod1cl 13811	. . 3 |- ( W e. LMod -> .1. e. ( Base ` F ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` F ) )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
8		lmodvs1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
9		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
10		lmodvs1.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
11		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
12		eqid 2193	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
13	8, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4	lmodlema 13788	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( .1. .x. X ) e. V /\ ( .1. .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) /\ ( ( .1. ( +g ` F ) .1. ) .x. X ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) ) /\ ( ( ( .1. ( .r ` F ) .1. ) .x. X ) = ( .1. .x. ( .1. .x. X ) ) /\ ( .1. .x. X ) = X ) ) )
14	13	simprrd 532	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( .1. .x. X ) = X )
15	1, 6, 6, 7, 7, 14	syl122anc 1258	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696  Scalarcsca 12698   .scvsca 12699   1rcur 13455   LModclmod 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-lmod 13785

This theorem is referenced by:  lmodfopne  13822  lmodvneg1  13826  lmodcom  13829  lssvacl  13861  islss3  13875  lspsn  13912