Theorem lmodvs1 14762

Description: Scalar product with the ring unity. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs1.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvs1.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs1.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs1.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs1	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Proof of Theorem lmodvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
2		lmodvs1.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
4		lmodvs1.u	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` F )
5	2, 3, 4	lmod1cl 14761	. . 3 |- ( W e. LMod -> .1. e. ( Base ` F ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` F ) )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
8		lmodvs1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
9		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
10		lmodvs1.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
11		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
13	8, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4	lmodlema 14737	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( .1. .x. X ) e. V /\ ( .1. .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) /\ ( ( .1. ( +g ` F ) .1. ) .x. X ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) ) /\ ( ( ( .1. ( .r ` F ) .1. ) .x. X ) = ( .1. .x. ( .1. .x. X ) ) /\ ( .1. .x. X ) = X ) ) )
14	13	simprrd 538	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( .1. .x. X ) = X )
15	1, 6, 6, 7, 7, 14	syl122anc 1287	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494   1rcur 14369   LModclmod 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734

This theorem is used by:  lmodfopne  14772  lmodvneg1  14776  lmodcom  14779  lssvacl  14811  islss3  14825  lspsn  14862  ascl1  15137  assamulgscmlem1  15150