Theorem lmodvs1 13625

Description: Scalar product with the ring unity. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs1.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvs1.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs1.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs1.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs1	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Proof of Theorem lmodvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
2		lmodvs1.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
4		lmodvs1.u	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` F )
5	2, 3, 4	lmod1cl 13624	. . 3 |- ( W e. LMod -> .1. e. ( Base ` F ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` F ) )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
8		lmodvs1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
9		eqid 2189	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
10		lmodvs1.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
11		eqid 2189	. . . 4 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
12		eqid 2189	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
13	8, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4	lmodlema 13601	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( .1. .x. X ) e. V /\ ( .1. .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) /\ ( ( .1. ( +g ` F ) .1. ) .x. X ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) ) /\ ( ( ( .1. ( .r ` F ) .1. ) .x. X ) = ( .1. .x. ( .1. .x. X ) ) /\ ( .1. .x. X ) = X ) ) )
14	13	simprrd 532	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( .1. .x. X ) = X )
15	1, 6, 6, 7, 7, 14	syl122anc 1258	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   Basecbs 12507   +g cplusg 12582   .rcmulr 12583  Scalarcsca 12585   .scvsca 12586   1rcur 13306   LModclmod 13596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-sets 12514  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-0g 12756  df-mgm 12825  df-sgrp 12858  df-mnd 12871  df-mgp 13268  df-ur 13307  df-ring 13345  df-lmod 13598

This theorem is referenced by:  lmodfopne  13635  lmodvneg1  13639  lmodcom  13642  lssvacl  13674  islss3  13688  lspsn  13725