Theorem lmodvs1 14702

Description: Scalar product with the ring unity. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs1.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvs1.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs1.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs1.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs1	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Proof of Theorem lmodvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
2		lmodvs1.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
4		lmodvs1.u	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` F )
5	2, 3, 4	lmod1cl 14701	. . 3 |- ( W e. LMod -> .1. e. ( Base ` F ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` F ) )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
8		lmodvs1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
9		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
10		lmodvs1.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
11		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
13	8, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4	lmodlema 14677	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( .1. .x. X ) e. V /\ ( .1. .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) /\ ( ( .1. ( +g ` F ) .1. ) .x. X ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) ) /\ ( ( ( .1. ( .r ` F ) .1. ) .x. X ) = ( .1. .x. ( .1. .x. X ) ) /\ ( .1. .x. X ) = X ) ) )
14	13	simprrd 538	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( .1. .x. X ) = X )
15	1, 6, 6, 7, 7, 14	syl122anc 1287	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13401   +g cplusg 13480   .rcmulr 13481  Scalarcsca 13483   .scvsca 13484   1rcur 14311   LModclmod 14672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-sets 13408  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-sca 13496  df-vsca 13497  df-0g 13661  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-mgp 14267  df-ur 14312  df-ring 14351  df-lmod 14674

This theorem is used by:  lmodfopne  14712  lmodvneg1  14716  lmodcom  14719  lssvacl  14751  islss3  14765  lspsn  14802  ascl1  15077  assamulgscmlem1  15090