Theorem lmodvs1 14464

Description: Scalar product with the ring unity. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs1.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvs1.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs1.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs1.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs1	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Proof of Theorem lmodvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
2		lmodvs1.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
4		lmodvs1.u	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` F )
5	2, 3, 4	lmod1cl 14463	. . 3 |- ( W e. LMod -> .1. e. ( Base ` F ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` F ) )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
8		lmodvs1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
9		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
10		lmodvs1.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
11		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
12		eqid 2232	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
13	8, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4	lmodlema 14440	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( .1. .x. X ) e. V /\ ( .1. .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) /\ ( ( .1. ( +g ` F ) .1. ) .x. X ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) ) /\ ( ( ( .1. ( .r ` F ) .1. ) .x. X ) = ( .1. .x. ( .1. .x. X ) ) /\ ( .1. .x. X ) = X ) ) )
14	13	simprrd 534	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( .1. .x. X ) = X )
15	1, 6, 6, 7, 7, 14	syl122anc 1283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291  Scalarcsca 13293   .scvsca 13294   1rcur 14103   LModclmod 14435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-lmod 14437

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14474  lmodvneg1  14478  lmodcom  14481  lssvacl  14513  islss3  14527  lspsn  14564