ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lss0v Unicode version

Theorem lss0v 13706
Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0v.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lss0v.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lss0v.z  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
lss0v.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lss0v  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )

Proof of Theorem lss0v
StepHypRef Expression
1 0ss 3475 . . . . 5  |-  (/)  C_  U
2 lss0v.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Ws  U )
3 eqid 2188 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
4 eqid 2188 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
5 lss0v.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
62, 3, 4, 5lsslsp 13705 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  (/)  C_  U
)  ->  ( ( LSpan `  X ) `  (/) )  =  ( (
LSpan `  W ) `  (/) ) )
71, 6mp3an3 1336 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  X ) `  (/) )  =  ( ( LSpan `  W ) `  (/) ) )
82, 5lsslmod 13656 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  X  e.  LMod )
9 lss0v.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
109, 4lsp0 13699 . . . . 5  |-  ( X  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
118, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
12 lss0v.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1312, 3lsp0 13699 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
1413adantr 276 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
157, 11, 143eqtr3d 2229 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  { Z }  =  {  .0.  } )
1615unieqd 3834 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. { Z }  =  U. {  .0.  } )
17 eqid 2188 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
1817, 9lmod0vcl 13593 . . 3  |-  ( X  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  X
) )
19 unisng 3840 . . 3  |-  ( Z  e.  ( Base `  X
)  ->  U. { Z }  =  Z )
208, 18, 193syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. { Z }  =  Z
)
21 eqid 2188 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2221, 12lmod0vcl 13593 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  W )
)
23 unisng 3840 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  W
)  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2524adantr 276 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2616, 20, 253eqtr3d 2229 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2159    C_ wss 3143   (/)c0 3436   {csn 3606   U.cuni 3823   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   Basecbs 12479   ↾s cress 12480   0gc0g 12726   LModclmod 13563   LSubSpclss 13628   LSpanclspn 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-ltadd 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-iress 12487  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-minusg 12914  df-sbg 12915  df-subg 13074  df-mgp 13235  df-ur 13274  df-ring 13312  df-lmod 13565  df-lssm 13629  df-lsp 13663
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator