Theorem lss0v 13929

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	|- X = ( W ↾s U )
lss0v.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lss0v.z	|- Z = ( 0g ` X )
lss0v.l	|- L = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss0v	|- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> Z = .0. )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3486	. . . . 5 |- (/) C_ U
2		lss0v.x	. . . . . 6 |- X = ( W ↾s U )
3		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( LSpan ` X ) = ( LSpan ` X )
5		lss0v.l	. . . . . 6 |- L = ( LSubSp ` W )
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 13928	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L /\ (/) C_ U ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) )
7	1, 6	mp3an3 1337	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) )
8	2, 5	lsslmod 13879	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> X e. LMod )
9		lss0v.z	. . . . . 6 |- Z = ( 0g ` X )
10	9, 4	lsp0 13922	. . . . 5 |- ( X e. LMod -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = { Z } )
11	8, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = { Z } )
12		lss0v.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
13	12, 3	lsp0 13922	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) = { .0. } )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) = { .0. } )
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2234	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> { Z } = { .0. } )
16	15	unieqd 3847	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { Z } = U. { .0. } )
17		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
18	17, 9	lmod0vcl 13816	. . 3 |- ( X e. LMod -> Z e. ( Base ` X ) )
19		unisng 3853	. . 3 |- ( Z e. ( Base ` X ) -> U. { Z } = Z )
20	8, 18, 19	3syl 17	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { Z } = Z )
21		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
22	21, 12	lmod0vcl 13816	. . . 4 |- ( W e. LMod -> .0. e. ( Base ` W ) )
23		unisng 3853	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` W ) -> U. { .0. } = .0. )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. { .0. } = .0. )
25	24	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { .0. } = .0. )
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2234	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> Z = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619   U.cuni 3836   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   ↾_s cress 12622   0gc0g 12870   LModclmod 13786   LSubSpclss 13851   LSpanclspn 13885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-subg 13243  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-lmod 13788  df-lssm 13852  df-lsp 13886

This theorem is referenced by: (None)