Theorem lss0v 14704

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	|- X = ( W ↾s U )
lss0v.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lss0v.z	|- Z = ( 0g ` X )
lss0v.l	|- L = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss0v	|- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> Z = .0. )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3551	. . . . 5 |- (/) C_ U
2		lss0v.x	. . . . . 6 |- X = ( W ↾s U )
3		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( LSpan ` X ) = ( LSpan ` X )
5		lss0v.l	. . . . . 6 |- L = ( LSubSp ` W )
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 14703	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L /\ (/) C_ U ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) )
7	1, 6	mp3an3 1363	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) )
8	2, 5	lsslmod 14654	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> X e. LMod )
9		lss0v.z	. . . . . 6 |- Z = ( 0g ` X )
10	9, 4	lsp0 14697	. . . . 5 |- ( X e. LMod -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = { Z } )
11	8, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = { Z } )
12		lss0v.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
13	12, 3	lsp0 14697	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) = { .0. } )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) = { .0. } )
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2275	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> { Z } = { .0. } )
16	15	unieqd 3930	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { Z } = U. { .0. } )
17		eqid 2234	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
18	17, 9	lmod0vcl 14591	. . 3 |- ( X e. LMod -> Z e. ( Base ` X ) )
19		unisng 3936	. . 3 |- ( Z e. ( Base ` X ) -> U. { Z } = Z )
20	8, 18, 19	3syl 17	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { Z } = Z )
21		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
22	21, 12	lmod0vcl 14591	. . . 4 |- ( W e. LMod -> .0. e. ( Base ` W ) )
23		unisng 3936	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` W ) -> U. { .0. } = .0. )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. { .0. } = .0. )
25	24	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { .0. } = .0. )
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2275	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> Z = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   U.cuni 3919   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   ↾_s cress 13297   0gc0g 13553   LModclmod 14561   LSubSpclss 14626   LSpanclspn 14660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-subg 13923  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-ring 14241  df-lmod 14563  df-lssm 14627  df-lsp 14661

This theorem is referenced by: (None)