Theorem lss0v 13986

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	|- X = ( W ↾s U )
lss0v.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lss0v.z	|- Z = ( 0g ` X )
lss0v.l	|- L = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss0v	|- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> Z = .0. )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3489	. . . . 5 |- (/) C_ U
2		lss0v.x	. . . . . 6 |- X = ( W ↾s U )
3		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( LSpan ` X ) = ( LSpan ` X )
5		lss0v.l	. . . . . 6 |- L = ( LSubSp ` W )
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 13985	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L /\ (/) C_ U ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) )
7	1, 6	mp3an3 1337	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) )
8	2, 5	lsslmod 13936	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> X e. LMod )
9		lss0v.z	. . . . . 6 |- Z = ( 0g ` X )
10	9, 4	lsp0 13979	. . . . 5 |- ( X e. LMod -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = { Z } )
11	8, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = { Z } )
12		lss0v.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
13	12, 3	lsp0 13979	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) = { .0. } )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) = { .0. } )
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2237	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> { Z } = { .0. } )
16	15	unieqd 3850	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { Z } = U. { .0. } )
17		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
18	17, 9	lmod0vcl 13873	. . 3 |- ( X e. LMod -> Z e. ( Base ` X ) )
19		unisng 3856	. . 3 |- ( Z e. ( Base ` X ) -> U. { Z } = Z )
20	8, 18, 19	3syl 17	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { Z } = Z )
21		eqid 2196	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
22	21, 12	lmod0vcl 13873	. . . 4 |- ( W e. LMod -> .0. e. ( Base ` W ) )
23		unisng 3856	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` W ) -> U. { .0. } = .0. )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. { .0. } = .0. )
25	24	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { .0. } = .0. )
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2237	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> Z = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   U.cuni 3839   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679   0gc0g 12927   LModclmod 13843   LSubSpclss 13908   LSpanclspn 13942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-subg 13300  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943

This theorem is referenced by: (None)