ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lss0v Unicode version

Theorem lss0v 13555
Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0v.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lss0v.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lss0v.z  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
lss0v.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lss0v  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )

Proof of Theorem lss0v
StepHypRef Expression
1 0ss 3463 . . . . 5  |-  (/)  C_  U
2 lss0v.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Ws  U )
3 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
4 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
5 lss0v.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
62, 3, 4, 5lsslsp 13554 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  (/)  C_  U
)  ->  ( ( LSpan `  X ) `  (/) )  =  ( (
LSpan `  W ) `  (/) ) )
71, 6mp3an3 1326 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  X ) `  (/) )  =  ( ( LSpan `  W ) `  (/) ) )
82, 5lsslmod 13505 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  X  e.  LMod )
9 lss0v.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
109, 4lsp0 13548 . . . . 5  |-  ( X  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
118, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
12 lss0v.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1312, 3lsp0 13548 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
1413adantr 276 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
157, 11, 143eqtr3d 2218 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  { Z }  =  {  .0.  } )
1615unieqd 3822 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. { Z }  =  U. {  .0.  } )
17 eqid 2177 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
1817, 9lmod0vcl 13445 . . 3  |-  ( X  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  X
) )
19 unisng 3828 . . 3  |-  ( Z  e.  ( Base `  X
)  ->  U. { Z }  =  Z )
208, 18, 193syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. { Z }  =  Z
)
21 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2221, 12lmod0vcl 13445 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  W )
)
23 unisng 3828 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  W
)  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2524adantr 276 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2616, 20, 253eqtr3d 2218 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   U.cuni 3811   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   Basecbs 12465   ↾s cress 12466   0gc0g 12711   LModclmod 13415   LSubSpclss 13480   LSpanclspn 13511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-iress 12473  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-0g 12713  df-mgm 12782  df-sgrp 12815  df-mnd 12826  df-grp 12888  df-minusg 12889  df-sbg 12890  df-subg 13044  df-mgp 13147  df-ur 13181  df-ring 13219  df-lmod 13417  df-lssm 13481  df-lsp 13512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator