Theorem lss0v 13614

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	|- X = ( W ↾s U )
lss0v.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lss0v.z	|- Z = ( 0g ` X )
lss0v.l	|- L = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss0v	|- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> Z = .0. )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3473	. . . . 5 |- (/) C_ U
2		lss0v.x	. . . . . 6 |- X = ( W ↾s U )
3		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( LSpan ` X ) = ( LSpan ` X )
5		lss0v.l	. . . . . 6 |- L = ( LSubSp ` W )
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 13613	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L /\ (/) C_ U ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) )
7	1, 6	mp3an3 1336	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) )
8	2, 5	lsslmod 13564	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> X e. LMod )
9		lss0v.z	. . . . . 6 |- Z = ( 0g ` X )
10	9, 4	lsp0 13607	. . . . 5 |- ( X e. LMod -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = { Z } )
11	8, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` X ) ` (/) ) = { Z } )
12		lss0v.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
13	12, 3	lsp0 13607	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) = { .0. } )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> ( ( LSpan ` W ) ` (/) ) = { .0. } )
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2228	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> { Z } = { .0. } )
16	15	unieqd 3832	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { Z } = U. { .0. } )
17		eqid 2187	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
18	17, 9	lmod0vcl 13501	. . 3 |- ( X e. LMod -> Z e. ( Base ` X ) )
19		unisng 3838	. . 3 |- ( Z e. ( Base ` X ) -> U. { Z } = Z )
20	8, 18, 19	3syl 17	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { Z } = Z )
21		eqid 2187	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
22	21, 12	lmod0vcl 13501	. . . 4 |- ( W e. LMod -> .0. e. ( Base ` W ) )
23		unisng 3838	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` W ) -> U. { .0. } = .0. )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. { .0. } = .0. )
25	24	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> U. { .0. } = .0. )
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2228	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. L ) -> Z = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   C_ wss 3141   (/)c0 3434   {csn 3604   U.cuni 3821   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   ↾_s cress 12476   0gc0g 12722   LModclmod 13471   LSubSpclss 13536   LSpanclspn 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-subg 13061  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473  df-lssm 13537  df-lsp 13571

This theorem is referenced by: (None)