ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lss0v Unicode version

Theorem lss0v 13614
Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0v.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lss0v.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lss0v.z  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
lss0v.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lss0v  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )

Proof of Theorem lss0v
StepHypRef Expression
1 0ss 3473 . . . . 5  |-  (/)  C_  U
2 lss0v.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Ws  U )
3 eqid 2187 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
4 eqid 2187 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
5 lss0v.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
62, 3, 4, 5lsslsp 13613 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  (/)  C_  U
)  ->  ( ( LSpan `  X ) `  (/) )  =  ( (
LSpan `  W ) `  (/) ) )
71, 6mp3an3 1336 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  X ) `  (/) )  =  ( ( LSpan `  W ) `  (/) ) )
82, 5lsslmod 13564 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  X  e.  LMod )
9 lss0v.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( 0g `  X
)
109, 4lsp0 13607 . . . . 5  |-  ( X  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
118, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  X ) `  (/) )  =  { Z } )
12 lss0v.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1312, 3lsp0 13607 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (
LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
1413adantr 276 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  (
( LSpan `  W ) `  (/) )  =  {  .0.  } )
157, 11, 143eqtr3d 2228 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  { Z }  =  {  .0.  } )
1615unieqd 3832 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. { Z }  =  U. {  .0.  } )
17 eqid 2187 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
1817, 9lmod0vcl 13501 . . 3  |-  ( X  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  X
) )
19 unisng 3838 . . 3  |-  ( Z  e.  ( Base `  X
)  ->  U. { Z }  =  Z )
208, 18, 193syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. { Z }  =  Z
)
21 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2221, 12lmod0vcl 13501 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  W )
)
23 unisng 3838 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  W
)  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2524adantr 276 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  U. {  .0.  }  =  .0.  )
2616, 20, 253eqtr3d 2228 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  ->  Z  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158    C_ wss 3141   (/)c0 3434   {csn 3604   U.cuni 3821   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   ↾s cress 12476   0gc0g 12722   LModclmod 13471   LSubSpclss 13536   LSpanclspn 13570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-subg 13061  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473  df-lssm 13537  df-lsp 13571
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator