Theorem lspun0 13921

Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspun0.v	|- V = ( Base ` W )
lspun0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspun0.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspun0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspun0.x	|- ( ph -> X C_ V )

Assertion

Ref	Expression
lspun0	|- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` X ) )

Proof of Theorem lspun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspun0.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspun0.x	. . 3 |- ( ph -> X C_ V )
3		lspun0.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
4		lspun0.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
5	3, 4	lmod0vcl 13813	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. V )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
7	6	snssd 3763	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ V )
8		lspun0.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
9	3, 8	lspun 13898	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V /\ { .0. } C_ V ) -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) )
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) )
11	4, 8	lspsn0 13918	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
12	1, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
13	12	uneq2d 3313	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) = ( ( N ` X ) u. { .0. } ) )
14		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
15	3, 14, 8	lspcl 13887	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	1, 2, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) )
17	4, 14	lss0ss 13867	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> { .0. } C_ ( N ` X ) )
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> { .0. } C_ ( N ` X ) )
19		ssequn2 3332	. . . . . 6 |- ( { .0. } C_ ( N ` X ) <-> ( ( N ` X ) u. { .0. } ) = ( N ` X ) )
20	18, 19	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. { .0. } ) = ( N ` X ) )
21	13, 20	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) = ( N ` X ) )
22	21	fveq2d 5558	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) = ( N ` ( N ` X ) ) )
23	3, 8	lspidm 13897	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
24	1, 2, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
25	22, 24	eqtrd 2226	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) = ( N ` X ) )
26	10, 25	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   C_ wss 3153   {csn 3618   ` cfv 5254   Basecbs 12618   0gc0g 12867   LModclmod 13783   LSubSpclss 13848   LSpanclspn 13882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883

This theorem is referenced by: (None)