Theorem lspun0 13924

Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspun0.v	|- V = ( Base ` W )
lspun0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspun0.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspun0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspun0.x	|- ( ph -> X C_ V )

Assertion

Ref	Expression
lspun0	|- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` X ) )

Proof of Theorem lspun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspun0.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspun0.x	. . 3 |- ( ph -> X C_ V )
3		lspun0.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
4		lspun0.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
5	3, 4	lmod0vcl 13816	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. V )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
7	6	snssd 3764	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ V )
8		lspun0.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
9	3, 8	lspun 13901	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V /\ { .0. } C_ V ) -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) )
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) )
11	4, 8	lspsn0 13921	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
12	1, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
13	12	uneq2d 3314	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) = ( ( N ` X ) u. { .0. } ) )
14		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
15	3, 14, 8	lspcl 13890	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	1, 2, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) )
17	4, 14	lss0ss 13870	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> { .0. } C_ ( N ` X ) )
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> { .0. } C_ ( N ` X ) )
19		ssequn2 3333	. . . . . 6 |- ( { .0. } C_ ( N ` X ) <-> ( ( N ` X ) u. { .0. } ) = ( N ` X ) )
20	18, 19	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. { .0. } ) = ( N ` X ) )
21	13, 20	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) = ( N ` X ) )
22	21	fveq2d 5559	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) = ( N ` ( N ` X ) ) )
23	3, 8	lspidm 13900	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
24	1, 2, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
25	22, 24	eqtrd 2226	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) = ( N ` X ) )
26	10, 25	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   C_ wss 3154   {csn 3619   ` cfv 5255   Basecbs 12621   0gc0g 12870   LModclmod 13786   LSubSpclss 13851   LSpanclspn 13885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-lmod 13788  df-lssm 13852  df-lsp 13886

This theorem is referenced by: (None)