Theorem lspun0 14846

Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspun0.v	|- V = ( Base ` W )
lspun0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspun0.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspun0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspun0.x	|- ( ph -> X C_ V )

Assertion

Ref	Expression
lspun0	|- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` X ) )

Proof of Theorem lspun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspun0.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspun0.x	. . 3 |- ( ph -> X C_ V )
3		lspun0.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
4		lspun0.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
5	3, 4	lmod0vcl 14738	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. V )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
7	6	snssd 3860	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ V )
8		lspun0.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
9	3, 8	lspun 14823	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V /\ { .0. } C_ V ) -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) )
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) )
11	4, 8	lspsn0 14843	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
12	1, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
13	12	uneq2d 3383	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) = ( ( N ` X ) u. { .0. } ) )
14		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
15	3, 14, 8	lspcl 14812	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	1, 2, 15	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) )
17	4, 14	lss0ss 14792	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> { .0. } C_ ( N ` X ) )
18	1, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> { .0. } C_ ( N ` X ) )
19		ssequn2 3402	. . . . . 6 |- ( { .0. } C_ ( N ` X ) <-> ( ( N ` X ) u. { .0. } ) = ( N ` X ) )
20	18, 19	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. { .0. } ) = ( N ` X ) )
21	13, 20	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) = ( N ` X ) )
22	21	fveq2d 5699	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) = ( N ` ( N ` X ) ) )
23	3, 8	lspidm 14822	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
24	1, 2, 23	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
25	22, 24	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) = ( N ` X ) )
26	10, 25	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   ` cfv 5377   Basecbs 13404   0gc0g 13663   LModclmod 14707   LSubSpclss 14773   LSpanclspn 14807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-sbg 13863  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-lmod 14709  df-lssm 14774  df-lsp 14808

This theorem is used by: (None)