Theorem lspun0 14057

Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspun0.v	|- V = ( Base ` W )
lspun0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspun0.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspun0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspun0.x	|- ( ph -> X C_ V )

Assertion

Ref	Expression
lspun0	|- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` X ) )

Proof of Theorem lspun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspun0.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspun0.x	. . 3 |- ( ph -> X C_ V )
3		lspun0.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
4		lspun0.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
5	3, 4	lmod0vcl 13949	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. V )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
7	6	snssd 3768	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ V )
8		lspun0.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
9	3, 8	lspun 14034	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V /\ { .0. } C_ V ) -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) )
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) )
11	4, 8	lspsn0 14054	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
12	1, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
13	12	uneq2d 3318	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) = ( ( N ` X ) u. { .0. } ) )
14		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
15	3, 14, 8	lspcl 14023	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	1, 2, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) )
17	4, 14	lss0ss 14003	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` X ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> { .0. } C_ ( N ` X ) )
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> { .0. } C_ ( N ` X ) )
19		ssequn2 3337	. . . . . 6 |- ( { .0. } C_ ( N ` X ) <-> ( ( N ` X ) u. { .0. } ) = ( N ` X ) )
20	18, 19	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. { .0. } ) = ( N ` X ) )
21	13, 20	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) = ( N ` X ) )
22	21	fveq2d 5565	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) = ( N ` ( N ` X ) ) )
23	3, 8	lspidm 14033	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
24	1, 2, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
25	22, 24	eqtrd 2229	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( ( N ` X ) u. ( N ` { .0. } ) ) ) = ( N ` X ) )
26	10, 25	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( N ` ( X u. { .0. } ) ) = ( N ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   C_ wss 3157   {csn 3623   ` cfv 5259   Basecbs 12703   0gc0g 12958   LModclmod 13919   LSubSpclss 13984   LSpanclspn 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-lsp 14019

This theorem is referenced by: (None)