Theorem lmodvs0 14401

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs0.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs0.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs0.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvs0.z	|- .0. = ( 0g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs0	|- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem lmodvs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvs0.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodring 14374	. . . 4 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
3		lmodvs0.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
6	3, 4, 5	ringrz 14121	. . . 4 |- ( ( F e. Ring /\ X e. K ) -> ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
7	2, 6	sylan 283	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
8	7	oveq1d 6043	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> W e. LMod )
10		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> X e. K )
11	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> F e. Ring )
12	3, 5	ring0cl 14098	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> ( 0g ` F ) e. K )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( 0g ` F ) e. K )
14		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
15		lmodvs0.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
16	14, 15	lmod0vcl 14396	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. ( Base ` W ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> .0. e. ( Base ` W ) )
18		lmodvs0.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
19	14, 1, 18, 3, 4	lmodvsass 14392	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. K /\ ( 0g ` F ) e. K /\ .0. e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) )
20	9, 10, 13, 17, 19	syl13anc 1276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) )
21	14, 1, 18, 5, 15	lmod0vs 14400	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ .0. e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) = .0. )
22	17, 21	syldan 282	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) = .0. )
23	22	oveq2d 6044	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) = ( X .x. .0. ) )
24	20, 23	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. .0. ) )
25	8, 24, 22	3eqtr3d 2272	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   .rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   .scvsca 13227   0gc0g 13402   Ringcrg 14073   LModclmod 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-mgp 13998  df-ring 14075  df-lmod 14368

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14405  lsssn0  14449