Theorem lmodvs0 14159

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs0.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs0.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs0.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvs0.z	|- .0. = ( 0g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs0	|- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem lmodvs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvs0.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodring 14132	. . . 4 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
3		lmodvs0.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
4		eqid 2206	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
5		eqid 2206	. . . . 5 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
6	3, 4, 5	ringrz 13881	. . . 4 |- ( ( F e. Ring /\ X e. K ) -> ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
7	2, 6	sylan 283	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
8	7	oveq1d 5972	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> W e. LMod )
10		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> X e. K )
11	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> F e. Ring )
12	3, 5	ring0cl 13858	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> ( 0g ` F ) e. K )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( 0g ` F ) e. K )
14		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
15		lmodvs0.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
16	14, 15	lmod0vcl 14154	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. ( Base ` W ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> .0. e. ( Base ` W ) )
18		lmodvs0.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
19	14, 1, 18, 3, 4	lmodvsass 14150	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. K /\ ( 0g ` F ) e. K /\ .0. e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) )
20	9, 10, 13, 17, 19	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) )
21	14, 1, 18, 5, 15	lmod0vs 14158	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ .0. e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) = .0. )
22	17, 21	syldan 282	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) = .0. )
23	22	oveq2d 5973	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) = ( X .x. .0. ) )
24	20, 23	eqtrd 2239	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. .0. ) )
25	8, 24, 22	3eqtr3d 2247	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   .rcmulr 12985  Scalarcsca 12987   .scvsca 12988   0gc0g 13163   Ringcrg 13833   LModclmod 14124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-mgp 13758  df-ring 13835  df-lmod 14126

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14163  lsssn0  14207