Theorem lmodvs0 13878

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs0.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs0.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs0.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvs0.z	|- .0. = ( 0g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs0	|- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem lmodvs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvs0.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodring 13851	. . . 4 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
3		lmodvs0.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
4		eqid 2196	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
5		eqid 2196	. . . . 5 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
6	3, 4, 5	ringrz 13600	. . . 4 |- ( ( F e. Ring /\ X e. K ) -> ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
7	2, 6	sylan 283	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
8	7	oveq1d 5937	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> W e. LMod )
10		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> X e. K )
11	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> F e. Ring )
12	3, 5	ring0cl 13577	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> ( 0g ` F ) e. K )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( 0g ` F ) e. K )
14		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
15		lmodvs0.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
16	14, 15	lmod0vcl 13873	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. ( Base ` W ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> .0. e. ( Base ` W ) )
18		lmodvs0.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
19	14, 1, 18, 3, 4	lmodvsass 13869	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. K /\ ( 0g ` F ) e. K /\ .0. e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) )
20	9, 10, 13, 17, 19	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) )
21	14, 1, 18, 5, 15	lmod0vs 13877	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ .0. e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) = .0. )
22	17, 21	syldan 282	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) = .0. )
23	22	oveq2d 5938	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) = ( X .x. .0. ) )
24	20, 23	eqtrd 2229	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. .0. ) )
25	8, 24, 22	3eqtr3d 2237	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   .rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   0gc0g 12927   Ringcrg 13552   LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-mgp 13477  df-ring 13554  df-lmod 13845

This theorem is referenced by:  lmodfopne  13882  lsssn0  13926