Theorem lmodvs0 14768

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs0.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvs0.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvs0.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvs0.z	|- .0. = ( 0g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodvs0	|- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem lmodvs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvs0.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodring 14740	. . . 4 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
3		lmodvs0.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
4		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
6	3, 4, 5	ringrz 14456	. . . 4 |- ( ( F e. Ring /\ X e. K ) -> ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
7	2, 6	sylan 283	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
8	7	oveq1d 6103	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> W e. LMod )
10		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> X e. K )
11	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> F e. Ring )
12	3, 5	ring0cl 14433	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> ( 0g ` F ) e. K )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( 0g ` F ) e. K )
14		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
15		lmodvs0.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
16	14, 15	lmod0vcl 14763	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. ( Base ` W ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> .0. e. ( Base ` W ) )
18		lmodvs0.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
19	14, 1, 18, 3, 4	lmodvsass 14759	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. K /\ ( 0g ` F ) e. K /\ .0. e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) )
20	9, 10, 13, 17, 19	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) )
21	14, 1, 18, 5, 15	lmod0vs 14767	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ .0. e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) = .0. )
22	17, 21	syldan 282	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) = .0. )
23	22	oveq2d 6104	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. ( ( 0g ` F ) .x. .0. ) ) = ( X .x. .0. ) )
24	20, 23	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( ( X ( .r ` F ) ( 0g ` F ) ) .x. .0. ) = ( X .x. .0. ) )
25	8, 24, 22	3eqtr3d 2279	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   .rcmulr 13491  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494   0gc0g 13669   Ringcrg 14407   LModclmod 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-mgp 14325  df-ring 14409  df-lmod 14734

This theorem is used by:  lmodfopne  14772  lsssn0  14816