Theorem lmod0vcl 14355

Description: The zero vector is a vector. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vcl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmod0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14332	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	grpidcl 13635	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  Basecbs 13105  0_gc0g 13362  Grpcgrp 13606  LModclmod 14325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-lmod 14327

This theorem is referenced by:  lmodvs0  14360  lmodfopne  14364  lss1  14400  lsssn0  14408  lssintclm  14422  lspuni0  14462  lspun0  14463  lss0v  14468