Theorem lmod0vcl 13630

Description: The zero vector is a vector. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vcl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmod0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 13607	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	grpidcl 12970	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5235  Basecbs 12511  0_gc0g 12758  Grpcgrp 12942  LModclmod 13600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-lmod 13602

This theorem is referenced by:  lmodvs0  13635  lmodfopne  13639  lss1  13675  lsssn0  13683  lssintclm  13697  lspuni0  13737  lspun0  13738  lss0v  13743