ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd1dd Unicode version

Theorem ltadd1dd 8532
Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem ltadd1dd
StepHypRef Expression
1 ltadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ltadd1d 8514 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  C )  <  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 147 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   RRcr 7829    + caddc 7833    < clt 8011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-iota 5193  df-fv 5239  df-ov 5894  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016
This theorem is referenced by:  fzoaddel  10211  flqaddz  10316  cvg1nlemres  11013  recvguniqlem  11022  4sqlem12  12416  exmidunben  12451
  Copyright terms: Public domain W3C validator