Theorem flqaddz 10232

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqaddz	|- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Proof of Theorem flqaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10208	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	2	zred 9313	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
4		qre 9563	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. RR )
6		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	6	zred 9313	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
8		flqle 10213	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
9	8	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
10	3, 5, 7, 9	leadd1dd 8457	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) )
11		1red 7914	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. RR )
12	3, 11	readdcld 7928	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		flqltp1 10214	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
14	13	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
15	5, 12, 7, 14	ltadd1dd 8454	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) )
16	2	zcnd 9314	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
17		1cnd 7915	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18	6	zcnd 9314	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. CC )
19	16, 17, 18	add32d 8066	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) = ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
20	15, 19	breqtrd 4008	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
21		zq 9564	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
22		qaddcl 9573	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( A + N ) e. QQ )
23	21, 22	sylan2 284	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) e. QQ )
24		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. QQ )
25	24	flqcld 10212	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
26	25, 6	zaddcld 9317	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ )
27		flqbi 10225	. . 3 |- ( ( ( A + N ) e. QQ /\ ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
28	23, 26, 27	syl2anc 409	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
29	10, 20, 28	mpbir2and 934	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191   QQcq 9557   |_cfl 10203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205

This theorem is referenced by:  flqzadd  10233  modqcyc  10294  fldivp1  12278