Theorem flqaddz 10477

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqaddz	|- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Proof of Theorem flqaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10453	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	2	zred 9530	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
4		qre 9781	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. RR )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	6	zred 9530	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
8		flqle 10458	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
10	3, 5, 7, 9	leadd1dd 8667	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) )
11		1red 8122	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. RR )
12	3, 11	readdcld 8137	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		flqltp1 10459	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
15	5, 12, 7, 14	ltadd1dd 8664	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) )
16	2	zcnd 9531	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
17		1cnd 8123	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18	6	zcnd 9531	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. CC )
19	16, 17, 18	add32d 8275	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) = ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
20	15, 19	breqtrd 4085	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
21		zq 9782	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
22		qaddcl 9791	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( A + N ) e. QQ )
23	21, 22	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) e. QQ )
24		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. QQ )
25	24	flqcld 10457	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
26	25, 6	zaddcld 9534	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ )
27		flqbi 10470	. . 3 |- ( ( ( A + N ) e. QQ /\ ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
29	10, 20, 28	mpbir2and 947	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   ZZcz 9407   QQcq 9775   |_cfl 10448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-q 9776  df-rp 9811  df-fl 10450

This theorem is referenced by:  flqzadd  10478  modqcyc  10541  bitsmod  12382  fldivp1  12786