Theorem flqaddz 10299

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqaddz	|- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Proof of Theorem flqaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10275	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	2	zred 9377	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
4		qre 9627	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. RR )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	6	zred 9377	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
8		flqle 10280	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
10	3, 5, 7, 9	leadd1dd 8518	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) )
11		1red 7974	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. RR )
12	3, 11	readdcld 7989	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		flqltp1 10281	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
15	5, 12, 7, 14	ltadd1dd 8515	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) )
16	2	zcnd 9378	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
17		1cnd 7975	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18	6	zcnd 9378	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. CC )
19	16, 17, 18	add32d 8127	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) = ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
20	15, 19	breqtrd 4031	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
21		zq 9628	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
22		qaddcl 9637	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( A + N ) e. QQ )
23	21, 22	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) e. QQ )
24		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. QQ )
25	24	flqcld 10279	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
26	25, 6	zaddcld 9381	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ )
27		flqbi 10292	. . 3 |- ( ( ( A + N ) e. QQ /\ ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
29	10, 20, 28	mpbir2and 944	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   <_ cle 7995   ZZcz 9255   QQcq 9621   |_cfl 10270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272

This theorem is referenced by:  flqzadd  10300  modqcyc  10361  fldivp1  12348