Theorem flqaddz 10366

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqaddz	|- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Proof of Theorem flqaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10342	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	2	zred 9439	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
4		qre 9690	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. RR )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	6	zred 9439	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
8		flqle 10347	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
10	3, 5, 7, 9	leadd1dd 8578	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) )
11		1red 8034	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. RR )
12	3, 11	readdcld 8049	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		flqltp1 10348	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
15	5, 12, 7, 14	ltadd1dd 8575	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) )
16	2	zcnd 9440	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
17		1cnd 8035	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18	6	zcnd 9440	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. CC )
19	16, 17, 18	add32d 8187	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) = ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
20	15, 19	breqtrd 4055	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
21		zq 9691	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
22		qaddcl 9700	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( A + N ) e. QQ )
23	21, 22	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) e. QQ )
24		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. QQ )
25	24	flqcld 10346	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
26	25, 6	zaddcld 9443	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ )
27		flqbi 10359	. . 3 |- ( ( ( A + N ) e. QQ /\ ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
29	10, 20, 28	mpbir2and 946	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   ZZcz 9317   QQcq 9684   |_cfl 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339

This theorem is referenced by:  flqzadd  10367  modqcyc  10430  fldivp1  12486