Theorem recvguniqlem 10922

Description: Lemma for recvguniq 10923. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniqlem.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
recvguniqlem.a	|- ( ph -> A e. RR )
recvguniqlem.b	|- ( ph -> B e. RR )
recvguniqlem.k	|- ( ph -> K e. NN )
recvguniqlem.lt1	|- ( ph -> A < ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) )
recvguniqlem.lt2	|- ( ph -> ( F ` K ) < ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
recvguniqlem	|- ( ph -> F. )

Proof of Theorem recvguniqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniqlem.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		recvguniqlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> RR )
3		recvguniqlem.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN )
4	2, 3	ffvelrnd 5615	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR )
5		recvguniqlem.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
6	1, 5	resubcld 8270	. . . . 5 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )
7	6	rehalfcld 9094	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - B ) / 2 ) e. RR )
8	4, 7	readdcld 7919	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) e. RR )
9		recvguniqlem.lt1	. . 3 |- ( ph -> A < ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) )
10	5, 7	readdcld 7919	. . . . 5 |- ( ph -> ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) e. RR )
11		recvguniqlem.lt2	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` K ) < ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) )
12	4, 10, 7, 11	ltadd1dd 8445	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) < ( ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) )
13	5	recnd 7918	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
14	7	recnd 7918	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - B ) / 2 ) e. CC )
15	13, 14, 14	addassd 7912	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = ( B + ( ( ( A - B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) )
16	6	recnd 7918	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )
17	16	2halvesd 9093	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A - B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = ( A - B ) )
18	17	oveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ph -> ( B + ( ( ( A - B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( B + ( A - B ) ) )
19	1	recnd 7918	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
20	13, 19	pncan3d 8203	. . . . 5 |- ( ph -> ( B + ( A - B ) ) = A )
21	15, 18, 20	3eqtrd 2201	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A )
22	12, 21	breqtrd 4002	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) < A )
23	1, 8, 1, 9, 22	lttrd 8015	. 2 |- ( ph -> A < A )
24	1	ltnrd 8001	. 2 |- ( ph -> -. A < A )
25	23, 24	pm2.21fal 1362	1 |- ( ph -> F. )

Syntax hints:   -> wi 4   F. wfal 1347   e. wcel 2135   class class class wbr 3976   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   RRcr 7743   + caddc 7747   < clt 7924   - cmin 8060   / cdiv 8559   NNcn 8848   2c2 8899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-2 8907

This theorem is referenced by:  recvguniq  10923