Theorem recvguniqlem 11005

Description: Lemma for recvguniq 11006. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniqlem.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
recvguniqlem.a	|- ( ph -> A e. RR )
recvguniqlem.b	|- ( ph -> B e. RR )
recvguniqlem.k	|- ( ph -> K e. NN )
recvguniqlem.lt1	|- ( ph -> A < ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) )
recvguniqlem.lt2	|- ( ph -> ( F ` K ) < ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
recvguniqlem	|- ( ph -> F. )

Proof of Theorem recvguniqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniqlem.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		recvguniqlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> RR )
3		recvguniqlem.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN )
4	2, 3	ffvelcdmd 5654	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR )
5		recvguniqlem.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
6	1, 5	resubcld 8340	. . . . 5 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )
7	6	rehalfcld 9167	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - B ) / 2 ) e. RR )
8	4, 7	readdcld 7989	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) e. RR )
9		recvguniqlem.lt1	. . 3 |- ( ph -> A < ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) )
10	5, 7	readdcld 7989	. . . . 5 |- ( ph -> ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) e. RR )
11		recvguniqlem.lt2	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` K ) < ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) )
12	4, 10, 7, 11	ltadd1dd 8515	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) < ( ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) )
13	5	recnd 7988	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
14	7	recnd 7988	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - B ) / 2 ) e. CC )
15	13, 14, 14	addassd 7982	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = ( B + ( ( ( A - B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) )
16	6	recnd 7988	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )
17	16	2halvesd 9166	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A - B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = ( A - B ) )
18	17	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( ph -> ( B + ( ( ( A - B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( B + ( A - B ) ) )
19	1	recnd 7988	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
20	13, 19	pncan3d 8273	. . . . 5 |- ( ph -> ( B + ( A - B ) ) = A )
21	15, 18, 20	3eqtrd 2214	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B + ( ( A - B ) / 2 ) ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A )
22	12, 21	breqtrd 4031	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` K ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) < A )
23	1, 8, 1, 9, 22	lttrd 8085	. 2 |- ( ph -> A < A )
24	1	ltnrd 8071	. 2 |- ( ph -> -. A < A )
25	23, 24	pm2.21fal 1373	1 |- ( ph -> F. )

Syntax hints:   -> wi 4   F. wfal 1358   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   + caddc 7816   < clt 7994   - cmin 8130   / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980

This theorem is referenced by:  recvguniq  11006