Theorem 4sqlem12 12925

Description: Lemma for 4sq 12933. For any odd prime P, there is a k < P such that k P - 1 is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sqlem11.5	|- A = { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) }
4sqlem11.6	|- F = ( v e. A |-> ( ( P - 1 ) - v ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem12	|- ( ph -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )

Distinct variable groups:   A, k, v   m, N, u   P, k, v, m, u   ph, k, v, m, u   n, N, v, m, u   P, n   k, m, n, u, ph

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, u, m, n)   P( x, y, z, w)   S( x, y, z, w, v, u, k, m, n)   F( x, y, z, w, v, u, k, m, n)   N( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem 4sqlem12

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem11.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		4sq.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
3		4sq.3	. . . 4 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4		4sq.4	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
5		4sqlem11.5	. . . 4 |- A = { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) }
6		4sqlem11.6	. . . 4 |- F = ( v e. A |-> ( ( P - 1 ) - v ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	4sqlem11 12924	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i ran F ) =/= (/) )
8		prmnn 12632	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN )
10	2, 9, 5, 6	4sqleminfi 12920	. . . 4 |- ( ph -> ( A i^i ran F ) e. Fin )
11		fin0 7047	. . . 4 |- ( ( A i^i ran F ) e. Fin -> ( ( A i^i ran F ) =/= (/) <-> E. j j e. ( A i^i ran F ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( A i^i ran F ) =/= (/) <-> E. j j e. ( A i^i ran F ) ) )
13	7, 12	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. j j e. ( A i^i ran F ) )
14		vex 2802	. . . . . . . 8 |- j e. _V
15		eqeq1 2236	. . . . . . . . 9 |- ( u = j -> ( u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) ) )
16	15	rexbidv 2531	. . . . . . . 8 |- ( u = j -> ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) ) )
17	14, 16, 5	elab2 2951	. . . . . . 7 |- ( j e. A <-> E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) )
18	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. A <-> E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) ) )
19		abid 2217	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } <-> E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) )
20	5	rexeqi 2733	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> E. v e. { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) } j = ( ( P - 1 ) - v ) )
21		oveq1 6008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( m ^ 2 ) = ( n ^ 2 ) )
22	21	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( n ^ 2 ) mod P ) )
23	22	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
24	23	cbvrexvw 2770	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) )
25		eqeq1 2236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) <-> v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
26	25	rexbidv 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = v -> ( E. n e. ( 0 ... N ) u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
27	24, 26	bitrid 192	. . . . . . . . . 10 |- ( u = v -> ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
28	27	rexab 2965	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) } j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
29	19, 20, 28	3bitri 206	. . . . . . . 8 |- ( j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
30	6	rnmpt 4972	. . . . . . . . 9 |- ran F = { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) }
31	30	eleq2i 2296	. . . . . . . 8 |- ( j e. ran F <-> j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } )
32		rexcom4 2823	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
33		r19.41v 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
34	33	exbii 1651	. . . . . . . . 9 |- ( E. v E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
35	32, 34	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
36	29, 31, 35	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( j e. ran F <-> E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
37		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. ZZ )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> n e. ZZ )
39		zsqcl 10832	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( n ^ 2 ) e. ZZ )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( n ^ 2 ) e. ZZ )
41	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> P e. NN )
42	40, 41	zmodcld 10567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. NN0 )
43		oveq2 6009	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) -> ( ( P - 1 ) - v ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
44	43	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) -> ( j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
45	44	ceqsexgv 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. NN0 -> ( E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
46	42, 45	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
47	46	rexbidva 2527	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
48	36, 47	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ran F <-> E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
49	18, 48	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ j e. ran F ) <-> ( E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) ) )
50		elin 3387	. . . . 5 |- ( j e. ( A i^i ran F ) <-> ( j e. A /\ j e. ran F ) )
51		reeanv 2701	. . . . 5 |- ( E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) <-> ( E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
52	49, 50, 51	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. ( A i^i ran F ) <-> E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) ) )
53		eqtr2 2248	. . . . . 6 |- ( ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
54	9	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. ZZ )
55		peano2zm 9484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. ZZ )
57		zq 9821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( P - 1 ) e. QQ )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. QQ )
59	58	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. QQ )
60		zq 9821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
61	54, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. QQ )
62	61	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. QQ )
63	4	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. Prime )
64	63, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. NN )
65		nnm1nn0 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
67	66	nn0ge0d 9425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ ( P - 1 ) )
68	64	nnred 9123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. RR )
69	68	ltm1d 9079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) < P )
70		modqid 10571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P - 1 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( P - 1 ) /\ ( P - 1 ) < P ) ) -> ( ( P - 1 ) mod P ) = ( P - 1 ) )
71	59, 62, 67, 69, 70	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( P - 1 ) mod P ) = ( P - 1 ) )
72	71	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
73		simp2r 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. ( 0 ... N ) )
74	73	elfzelzd 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. ZZ )
75	74, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. ZZ )
76		zq 9821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n ^ 2 ) e. ZZ -> ( n ^ 2 ) e. QQ )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. QQ )
78	64	nngt0d 9154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < P )
79		modqlt 10555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( n ^ 2 ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P )
80	77, 62, 78, 79	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P )
81	75, 64	zmodcld 10567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. NN0 )
82	81	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. ZZ )
83		prmz 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
84	63, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. ZZ )
85		zltlem1 9504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P <-> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) ) )
86	82, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P <-> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) ) )
87	80, 86	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) )
88	87, 71	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) )
89		modqsubdir 10615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P - 1 ) e. QQ /\ ( n ^ 2 ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) <-> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
90	59, 77, 62, 78, 89	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) <-> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
91	88, 90	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
92		simp3 1023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
93	72, 91, 92	3eqtr4rd 2273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) )
94		simp2l 1047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
95	94	elfzelzd 10222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. ZZ )
96		zsqcl 10832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ZZ -> ( m ^ 2 ) e. ZZ )
97	95, 96	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. ZZ )
98	66	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
99	98, 75	zsubcld 9574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) e. ZZ )
100		moddvds 12310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ ( m ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) <-> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
101	64, 97, 99, 100	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) <-> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
102	93, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) )
103		zsqcl2 10839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ZZ -> ( m ^ 2 ) e. NN0 )
104	95, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. NN0 )
105	104	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
106	66	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
107		zsqcl2 10839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> ( n ^ 2 ) e. NN0 )
108	74, 107	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. NN0 )
109	108	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
110	105, 106, 109	subsub3d 8487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) - ( P - 1 ) ) )
111	104, 108	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. NN0 )
112	111	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. CC )
113	64	nncnd 9124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. CC )
114		1cnd 8162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 e. CC )
115	112, 113, 114	subsub3d 8487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) - ( P - 1 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
116	110, 115	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
117	102, 116	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
118		nn0p1nn 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. NN0 -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN )
119	111, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN )
120	119	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
121		dvdssubr 12350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) ) )
122	84, 120, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) ) )
123	117, 122	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
124	64	nnne0d 9155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P =/= 0 )
125		dvdsval2 12301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ZZ /\ P =/= 0 /\ ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ ) )
126	84, 124, 120, 125	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ ) )
127	123, 126	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ )
128		nnrp 9859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR+ )
129		nnrp 9859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
130		rpdivcl 9875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR+ /\ P e. RR+ ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
131	128, 129, 130	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN /\ P e. NN ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
132	119, 64, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
133	132	rpgt0d 9895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) )
134		elnnz 9456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. NN <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) ) )
135	127, 133, 134	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. NN )
136	135	nnge1d 9153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) )
137	111	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. RR )
138		2nn 9272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
139	2	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. NN )
140		nnmulcl 9131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
141	138, 139, 140	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
142	141	nnred 9123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
143	142	resqcld 10921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) e. RR )
144		nnmulcl 9131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 2 x. N ) e. NN ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
145	138, 141, 144	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
146	145	nnred 9123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. RR )
147	143, 146	readdcld 8176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) e. RR )
148		1red 8161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 e. RR )
149	139	nnsqcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. NN )
150		nnmulcl 9131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ ( N ^ 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. NN )
151	138, 149, 150	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. NN )
152	151	nnred 9123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. RR )
153	104	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. RR )
154	108	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. RR )
155	149	nnred 9123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. RR )
156	95	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. RR )
157		elfzle1 10223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ m )
158	94, 157	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ m )
159	139	nnred 9123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. RR )
160		elfzle2 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m <_ N )
161	94, 160	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m <_ N )
162		le2sq2 10837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) /\ ( N e. RR /\ m <_ N ) ) -> ( m ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
163	156, 158, 159, 161, 162	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
164	74	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. RR )
165		elfzle1 10223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ n )
166	73, 165	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ n )
167		elfzle2 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n <_ N )
168	73, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n <_ N )
169		le2sq2 10837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. RR /\ 0 <_ n ) /\ ( N e. RR /\ n <_ N ) ) -> ( n ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
170	164, 166, 159, 168, 169	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
171	153, 154, 155, 155, 163, 170	le2addd 8710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <_ ( ( N ^ 2 ) + ( N ^ 2 ) ) )
172	149	nncnd 9124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. CC )
173	172	2timesd 9354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) = ( ( N ^ 2 ) + ( N ^ 2 ) ) )
174	171, 173	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) )
175		2lt4 9284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 < 4
176		2re 9180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
177	176	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 2 e. RR )
178		4re 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
179	178	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 4 e. RR )
180	149	nngt0d 9154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < ( N ^ 2 ) )
181		ltmul1 8739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ 4 e. RR /\ ( ( N ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( N ^ 2 ) ) ) -> ( 2 < 4 <-> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
182	177, 179, 155, 180, 181	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 < 4 <-> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
183	175, 182	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
184		2cn 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
185	139	nncnd 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. CC )
186		sqmul 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
187	184, 185, 186	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
188		sq2 10857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
189	188	oveq1i 6011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) )
190	187, 189	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
191	183, 190	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) )
192	137, 152, 143, 174, 191	lelttrd 8271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) < ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) )
193	145	nnrpd 9890	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. RR+ )
194	143, 193	ltaddrpd 9926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) )
195	137, 143, 147, 192, 194	lttrd 8272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) < ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) )
196	137, 147, 148, 195	ltadd1dd 8703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
197	3	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
198	197	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) )
199	113	sqvald 10892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
200	141	nncnd 9124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
201		binom21 10874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
202	200, 201	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
203	198, 199, 202	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P x. P ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
204	196, 203	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) )
205	119	nnred 9123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR )
206		ltdivmul 9023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR /\ P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P <-> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) ) )
207	205, 68, 68, 78, 206	syl112anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P <-> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) ) )
208	204, 207	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P )
209		1z 9472	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
210		elfzm11 10287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) /\ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P ) ) )
211	209, 84, 210	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) /\ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P ) ) )
212	127, 136, 208, 211	mpbir3and 1204	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
213		gzreim 12902	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] )
214	95, 74, 213	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] )
215		gzcn 12895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] -> ( m + ( _i x. n ) ) e. CC )
216	214, 215	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. CC )
217	216	absvalsq2d 11694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
218	156, 164	crred 11487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) = m )
219	218	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( m ^ 2 ) )
220	156, 164	crimd 11488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) = n )
221	220	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( n ^ 2 ) )
222	219, 221	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) )
223	217, 222	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) )
224	223	oveq1d 6016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
225	119	nncnd 9124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. CC )
226	64	nnap0d 9156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P # 0 )
227	225, 113, 226	divcanap1d 8938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
228	224, 227	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) )
229		oveq1 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) -> ( k x. P ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) )
230	229	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) -> ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) <-> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) )
231		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( abs ` u ) = ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) )
232	231	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) )
233	232	oveq1d 6016	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) )
234	233	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) <-> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) )
235	230, 234	rspc2ev 2922	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )
236	212, 214, 228, 235	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )
237	236	3expia 1229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
238	53, 237	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
239	238	rexlimdvva 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
240	52, 239	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( j e. ( A i^i ran F ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
241	240	exlimdv 1865	. 2 |- ( ph -> ( E. j j e. ( A i^i ran F ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
242	13, 241	mpd 13	1 |- ( ph -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   =/= wne 2400   E.wrex 2509   i^i cin 3196   (/)c0 3491   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ran crn 4720   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   _ici 8001   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   4c4 9163   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   QQcq 9814   RR+crp 9849   ...cfz 10204   mod cmo 10544   ^cexp 10760   Recre 11351   Imcim 11352   abscabs 11508   || cdvds 12298   Primecprime 12629   ZZ[_i]cgz 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-sup 7151  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-dvds 12299  df-gcd 12475  df-prm 12630  df-gz 12893

This theorem is referenced by:  4sqlem13m  12926