Theorem 4sqlem12 12437

Description: Lemma for 4sq 12445. For any odd prime P, there is a k < P such that k P - 1 is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sqlem11.5	|- A = { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) }
4sqlem11.6	|- F = ( v e. A |-> ( ( P - 1 ) - v ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem12	|- ( ph -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )

Distinct variable groups:   A, k, v   m, N, u   P, k, v, m, u   ph, k, v, m, u   n, N, v, m, u   P, n   k, m, n, u, ph

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   A( x, y, z, w, u, m, n)   P( x, y, z, w)   S( x, y, z, w, v, u, k, m, n)   F( x, y, z, w, v, u, k, m, n)   N( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem 4sqlem12

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem11.1	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		4sq.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
3		4sq.3	. . . 4 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4		4sq.4	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
5		4sqlem11.5	. . . 4 |- A = { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) }
6		4sqlem11.6	. . . 4 |- F = ( v e. A |-> ( ( P - 1 ) - v ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	4sqlem11 12436	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i ran F ) =/= (/) )
8		prmnn 12145	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN )
10	2, 9, 5, 6	4sqleminfi 12432	. . . 4 |- ( ph -> ( A i^i ran F ) e. Fin )
11		fin0 6914	. . . 4 |- ( ( A i^i ran F ) e. Fin -> ( ( A i^i ran F ) =/= (/) <-> E. j j e. ( A i^i ran F ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( A i^i ran F ) =/= (/) <-> E. j j e. ( A i^i ran F ) ) )
13	7, 12	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. j j e. ( A i^i ran F ) )
14		vex 2755	. . . . . . . 8 |- j e. _V
15		eqeq1 2196	. . . . . . . . 9 |- ( u = j -> ( u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) ) )
16	15	rexbidv 2491	. . . . . . . 8 |- ( u = j -> ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) ) )
17	14, 16, 5	elab2 2900	. . . . . . 7 |- ( j e. A <-> E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) )
18	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. A <-> E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) ) )
19		abid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } <-> E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) )
20	5	rexeqi 2691	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> E. v e. { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) } j = ( ( P - 1 ) - v ) )
21		oveq1 5904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( m ^ 2 ) = ( n ^ 2 ) )
22	21	oveq1d 5912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( n ^ 2 ) mod P ) )
23	22	eqeq2d 2201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
24	23	cbvrexvw 2723	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) )
25		eqeq1 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) <-> v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
26	25	rexbidv 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = v -> ( E. n e. ( 0 ... N ) u = ( ( n ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
27	24, 26	bitrid 192	. . . . . . . . . 10 |- ( u = v -> ( E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
28	27	rexab 2914	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. { u | E. m e. ( 0 ... N ) u = ( ( m ^ 2 ) mod P ) } j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
29	19, 20, 28	3bitri 206	. . . . . . . 8 |- ( j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
30	6	rnmpt 4893	. . . . . . . . 9 |- ran F = { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) }
31	30	eleq2i 2256	. . . . . . . 8 |- ( j e. ran F <-> j e. { j | E. v e. A j = ( ( P - 1 ) - v ) } )
32		rexcom4 2775	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
33		r19.41v 2646	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
34	33	exbii 1616	. . . . . . . . 9 |- ( E. v E. n e. ( 0 ... N ) ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
35	32, 34	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. v ( E. n e. ( 0 ... N ) v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
36	29, 31, 35	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( j e. ran F <-> E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) )
37		elfzelz 10057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. ZZ )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> n e. ZZ )
39		zsqcl 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( n ^ 2 ) e. ZZ )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( n ^ 2 ) e. ZZ )
41	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> P e. NN )
42	40, 41	zmodcld 10378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. NN0 )
43		oveq2 5905	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) -> ( ( P - 1 ) - v ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
44	43	eqeq2d 2201	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) -> ( j = ( ( P - 1 ) - v ) <-> j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
45	44	ceqsexgv 2881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. NN0 -> ( E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
46	42, 45	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
47	46	rexbidva 2487	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. n e. ( 0 ... N ) E. v ( v = ( ( n ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - v ) ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
48	36, 47	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ran F <-> E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
49	18, 48	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ j e. ran F ) <-> ( E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) ) )
50		elin 3333	. . . . 5 |- ( j e. ( A i^i ran F ) <-> ( j e. A /\ j e. ran F ) )
51		reeanv 2660	. . . . 5 |- ( E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) <-> ( E. m e. ( 0 ... N ) j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ E. n e. ( 0 ... N ) j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
52	49, 50, 51	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. ( A i^i ran F ) <-> E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) ) )
53		eqtr2 2208	. . . . . 6 |- ( ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
54	9	nnzd 9405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. ZZ )
55		peano2zm 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. ZZ )
57		zq 9658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( P - 1 ) e. QQ )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. QQ )
59	58	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. QQ )
60		zq 9658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
61	54, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. QQ )
62	61	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. QQ )
63	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. Prime )
64	63, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. NN )
65		nnm1nn0 9248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
67	66	nn0ge0d 9263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ ( P - 1 ) )
68	64	nnred 8963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. RR )
69	68	ltm1d 8920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) < P )
70		modqid 10382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P - 1 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( P - 1 ) /\ ( P - 1 ) < P ) ) -> ( ( P - 1 ) mod P ) = ( P - 1 ) )
71	59, 62, 67, 69, 70	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( P - 1 ) mod P ) = ( P - 1 ) )
72	71	oveq1d 5912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
73		simp2r 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. ( 0 ... N ) )
74	73	elfzelzd 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. ZZ )
75	74, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. ZZ )
76		zq 9658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n ^ 2 ) e. ZZ -> ( n ^ 2 ) e. QQ )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. QQ )
78	64	nngt0d 8994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < P )
79		modqlt 10366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( n ^ 2 ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P )
80	77, 62, 78, 79	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P )
81	75, 64	zmodcld 10378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. NN0 )
82	81	nn0zd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. ZZ )
83		prmz 12146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
84	63, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. ZZ )
85		zltlem1 9341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P <-> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) ) )
86	82, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) < P <-> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) ) )
87	80, 86	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( P - 1 ) )
88	87, 71	breqtrrd 4046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) )
89		modqsubdir 10426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P - 1 ) e. QQ /\ ( n ^ 2 ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) <-> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
90	59, 77, 62, 78, 89	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( n ^ 2 ) mod P ) <_ ( ( P - 1 ) mod P ) <-> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) )
91	88, 90	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) mod P ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
92		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) )
93	72, 91, 92	3eqtr4rd 2233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) )
94		simp2l 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
95	94	elfzelzd 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. ZZ )
96		zsqcl 10625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ZZ -> ( m ^ 2 ) e. ZZ )
97	95, 96	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. ZZ )
98	66	nn0zd 9404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
99	98, 75	zsubcld 9411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) e. ZZ )
100		moddvds 11841	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ ( m ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) <-> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
101	64, 97, 99, 100	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) mod P ) <-> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
102	93, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) )
103		zsqcl2 10632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ZZ -> ( m ^ 2 ) e. NN0 )
104	95, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. NN0 )
105	104	nn0cnd 9262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
106	66	nn0cnd 9262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
107		zsqcl2 10632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> ( n ^ 2 ) e. NN0 )
108	74, 107	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. NN0 )
109	108	nn0cnd 9262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
110	105, 106, 109	subsub3d 8329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) - ( P - 1 ) ) )
111	104, 108	nn0addcld 9264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. NN0 )
112	111	nn0cnd 9262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. CC )
113	64	nncnd 8964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P e. CC )
114		1cnd 8004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 e. CC )
115	112, 113, 114	subsub3d 8329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) - ( P - 1 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
116	110, 115	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( ( P - 1 ) - ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
117	102, 116	breqtrd 4044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) )
118		nn0p1nn 9246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. NN0 -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN )
119	111, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN )
120	119	nnzd 9405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
121		dvdssubr 11881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) ) )
122	84, 120, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) - P ) ) )
123	117, 122	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
124	64	nnne0d 8995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P =/= 0 )
125		dvdsval2 11832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ZZ /\ P =/= 0 /\ ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ ) )
126	84, 124, 120, 125	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P || ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ ) )
127	123, 126	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ )
128		nnrp 9695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR+ )
129		nnrp 9695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
130		rpdivcl 9711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR+ /\ P e. RR+ ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
131	128, 129, 130	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. NN /\ P e. NN ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
132	119, 64, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. RR+ )
133	132	rpgt0d 9731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) )
134		elnnz 9294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. NN <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) ) )
135	127, 133, 134	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. NN )
136	135	nnge1d 8993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) )
137	111	nn0red 9261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. RR )
138		2nn 9111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
139	2	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. NN )
140		nnmulcl 8971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
141	138, 139, 140	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
142	141	nnred 8963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
143	142	resqcld 10714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) e. RR )
144		nnmulcl 8971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 2 x. N ) e. NN ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
145	138, 141, 144	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
146	145	nnred 8963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. RR )
147	143, 146	readdcld 8018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) e. RR )
148		1red 8003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 1 e. RR )
149	139	nnsqcld 10709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. NN )
150		nnmulcl 8971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ ( N ^ 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. NN )
151	138, 149, 150	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. NN )
152	151	nnred 8963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) e. RR )
153	104	nn0red 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. RR )
154	108	nn0red 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) e. RR )
155	149	nnred 8963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. RR )
156	95	zred 9406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m e. RR )
157		elfzle1 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ m )
158	94, 157	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ m )
159	139	nnred 8963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. RR )
160		elfzle2 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m <_ N )
161	94, 160	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> m <_ N )
162		le2sq2 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) /\ ( N e. RR /\ m <_ N ) ) -> ( m ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
163	156, 158, 159, 161, 162	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
164	74	zred 9406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n e. RR )
165		elfzle1 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ n )
166	73, 165	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 <_ n )
167		elfzle2 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n <_ N )
168	73, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> n <_ N )
169		le2sq2 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. RR /\ 0 <_ n ) /\ ( N e. RR /\ n <_ N ) ) -> ( n ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
170	164, 166, 159, 168, 169	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( n ^ 2 ) <_ ( N ^ 2 ) )
171	153, 154, 155, 155, 163, 170	le2addd 8551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <_ ( ( N ^ 2 ) + ( N ^ 2 ) ) )
172	149	nncnd 8964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( N ^ 2 ) e. CC )
173	172	2timesd 9192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) = ( ( N ^ 2 ) + ( N ^ 2 ) ) )
174	171, 173	breqtrrd 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) )
175		2lt4 9123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 < 4
176		2re 9020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
177	176	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 2 e. RR )
178		4re 9027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
179	178	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 4 e. RR )
180	149	nngt0d 8994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> 0 < ( N ^ 2 ) )
181		ltmul1 8580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ 4 e. RR /\ ( ( N ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( N ^ 2 ) ) ) -> ( 2 < 4 <-> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
182	177, 179, 155, 180, 181	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 < 4 <-> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
183	175, 182	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
184		2cn 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
185	139	nncnd 8964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> N e. CC )
186		sqmul 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
187	184, 185, 186	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
188		sq2 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
189	188	oveq1i 5907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) )
190	187, 189	eqtrdi 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
191	183, 190	breqtrrd 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( N ^ 2 ) ) < ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) )
192	137, 152, 143, 174, 191	lelttrd 8113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) < ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) )
193	145	nnrpd 9726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) e. RR+ )
194	143, 193	ltaddrpd 9762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) < ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) )
195	137, 143, 147, 192, 194	lttrd 8114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) < ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) )
196	137, 147, 148, 195	ltadd1dd 8544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
197	3	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
198	197	oveq1d 5912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) )
199	113	sqvald 10685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
200	141	nncnd 8964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
201		binom21 10667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
202	200, 201	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
203	198, 199, 202	3eqtr3d 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( P x. P ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
204	196, 203	breqtrrd 4046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) )
205	119	nnred 8963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR )
206		ltdivmul 8864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. RR /\ P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P <-> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) ) )
207	205, 68, 68, 78, 206	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P <-> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) < ( P x. P ) ) )
208	204, 207	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P )
209		1z 9310	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
210		elfzm11 10123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) /\ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P ) ) )
211	209, 84, 210	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) /\ ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) < P ) ) )
212	127, 136, 208, 211	mpbir3and 1182	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
213		gzreim 12414	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] )
214	95, 74, 213	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] )
215		gzcn 12407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] -> ( m + ( _i x. n ) ) e. CC )
216	214, 215	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( m + ( _i x. n ) ) e. CC )
217	216	absvalsq2d 11227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
218	156, 164	crred 11020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) = m )
219	218	oveq1d 5912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( m ^ 2 ) )
220	156, 164	crimd 11021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) = n )
221	220	oveq1d 5912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( n ^ 2 ) )
222	219, 221	oveq12d 5915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( Re ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) )
223	217, 222	eqtrd 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) )
224	223	oveq1d 5912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
225	119	nncnd 8964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) e. CC )
226	64	nnap0d 8996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> P # 0 )
227	225, 113, 226	divcanap1d 8779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) )
228	224, 227	eqtr4d 2225	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) )
229		oveq1 5904	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) -> ( k x. P ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) )
230	229	eqeq2d 2201	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) -> ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) <-> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) )
231		fveq2 5534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( abs ` u ) = ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) )
232	231	oveq1d 5912	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) )
233	232	oveq1d 5912	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) )
234	233	eqeq1d 2198	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( m + ( _i x. n ) ) -> ( ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) <-> ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) )
235	230, 234	rspc2ev 2871	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( m + ( _i x. n ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( ( abs ` ( m + ( _i x. n ) ) ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) + 1 ) / P ) x. P ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )
236	212, 214, 228, 235	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )
237	236	3expia 1207	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( m ^ 2 ) mod P ) = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
238	53, 237	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
239	238	rexlimdvva 2615	. . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. ( 0 ... N ) E. n e. ( 0 ... N ) ( j = ( ( m ^ 2 ) mod P ) /\ j = ( ( P - 1 ) - ( ( n ^ 2 ) mod P ) ) ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
240	52, 239	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( j e. ( A i^i ran F ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
241	240	exlimdv 1830	. 2 |- ( ph -> ( E. j j e. ( A i^i ran F ) -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) ) )
242	13, 241	mpd 13	1 |- ( ph -> E. k e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) E. u e. ZZ[_i] ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) + 1 ) = ( k x. P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   {cab 2175   =/= wne 2360   E.wrex 2469   i^i cin 3143   (/)c0 3437   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   ran crn 4645   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Fincfn 6767   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   _ici 7844   + caddc 7845   x. cmul 7847   < clt 8023   <_ cle 8024   - cmin 8159   / cdiv 8660   NNcn 8950   2c2 9001   4c4 9003   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   QQcq 9651   RR+crp 9685   ...cfz 10040   mod cmo 10355   ^cexp 10553   Recre 10884   Imcim 10885   abscabs 11041   || cdvds 11829   Primecprime 12142   ZZ[_i]cgz 12404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830  df-gcd 11979  df-prm 12143  df-gz 12405

This theorem is referenced by:  4sqlem13m  12438