ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elincfzoext Unicode version
Theorem elincfzoext 10628
Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elincfzoext |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) )
Proof of Theorem elincfzoext
StepHypRef Expression
1 elfzole1 10580 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M <_ Z )
2 elfzoelz 10571 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z e. ZZ )
32zred 9779 . . . . . . . 8 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z e. RR )
43adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) -> Z e. RR )
5 nn0addge1 9620 . . . . . . 7 |- ( ( Z e. RR /\ I e. NN0 ) -> Z <_ ( Z + I ) )
64, 5sylan 283 . . . . . 6 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> Z <_ ( Z + I ) )
7 elfzoel1 10569 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
87zred 9779 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M e. RR )
98adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M e. RR )
103adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z e. RR )
11 nn0re 9583 . . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
1211adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
1310, 12readdcld 8361 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. RR )
14 letr 8414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ Z e. RR /\ ( Z + I ) e. RR ) -> ( ( M <_ Z /\ Z <_ ( Z + I ) ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
159, 10, 13, 14syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( M <_ Z /\ Z <_ ( Z + I ) ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
1615exp4b 367 . . . . . . . 8 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( I e. NN0 -> ( M <_ Z -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) ) ) )
1716com23 78 . . . . . . 7 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( M <_ Z -> ( I e. NN0 -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) ) ) )
1817imp31 256 . . . . . 6 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
196, 18mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> M <_ ( Z + I ) )
2019exp31 364 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( M <_ Z -> ( I e. NN0 -> M <_ ( Z + I ) ) ) )
211, 20mpd 13 . . 3 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( I e. NN0 -> M <_ ( Z + I ) ) )
2221imp 124 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M <_ ( Z + I ) )
23 elfzoel2 10570 . . . . 5 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
2423zred 9779 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> N e. RR )
2524adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
26 elfzolt2 10581 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z < N )
2726adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z < N )
2810, 25, 12, 27ltadd1dd 8891 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) < ( N + I ) )
292adantr 276 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z e. ZZ )
30 nn0z 9675 . . . . 5 |- ( I e. NN0 -> I e. ZZ )
3130adantl 277 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> I e. ZZ )
3229, 31zaddcld 9783 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ZZ )
337adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M e. ZZ )
3423adantr 276 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> N e. ZZ )
3534, 31zaddcld 9783 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( N + I ) e. ZZ )
36 elfzo 10573 . . 3 |- ( ( ( Z + I ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + I ) e. ZZ ) -> ( ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) <-> ( M <_ ( Z + I ) /\ ( Z + I ) < ( N + I ) ) ) )
3732, 33, 35, 36syl3anc 1278 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) <-> ( M <_ ( Z + I ) /\ ( Z + I ) < ( N + I ) ) ) )
3822, 28, 37mpbir2and 957 1 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   NN0cn0 9574   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567
This theorem is used by:  ccatalpha  11403
  Copyright terms: Public domain W3C validator