ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elincfzoext Unicode version
Theorem elincfzoext 10344
Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elincfzoext |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) )
Proof of Theorem elincfzoext
StepHypRef Expression
1 elfzole1 10298 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M <_ Z )
2 elfzoelz 10289 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z e. ZZ )
32zred 9515 . . . . . . . 8 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z e. RR )
43adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) -> Z e. RR )
5 nn0addge1 9361 . . . . . . 7 |- ( ( Z e. RR /\ I e. NN0 ) -> Z <_ ( Z + I ) )
64, 5sylan 283 . . . . . 6 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> Z <_ ( Z + I ) )
7 elfzoel1 10287 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
87zred 9515 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M e. RR )
98adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M e. RR )
103adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z e. RR )
11 nn0re 9324 . . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
1211adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
1310, 12readdcld 8122 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. RR )
14 letr 8175 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ Z e. RR /\ ( Z + I ) e. RR ) -> ( ( M <_ Z /\ Z <_ ( Z + I ) ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
159, 10, 13, 14syl3anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( M <_ Z /\ Z <_ ( Z + I ) ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
1615exp4b 367 . . . . . . . 8 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( I e. NN0 -> ( M <_ Z -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) ) ) )
1716com23 78 . . . . . . 7 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( M <_ Z -> ( I e. NN0 -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) ) ) )
1817imp31 256 . . . . . 6 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
196, 18mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> M <_ ( Z + I ) )
2019exp31 364 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( M <_ Z -> ( I e. NN0 -> M <_ ( Z + I ) ) ) )
211, 20mpd 13 . . 3 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( I e. NN0 -> M <_ ( Z + I ) ) )
2221imp 124 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M <_ ( Z + I ) )
23 elfzoel2 10288 . . . . 5 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
2423zred 9515 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> N e. RR )
2524adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
26 elfzolt2 10299 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z < N )
2726adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z < N )
2810, 25, 12, 27ltadd1dd 8649 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) < ( N + I ) )
292adantr 276 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z e. ZZ )
30 nn0z 9412 . . . . 5 |- ( I e. NN0 -> I e. ZZ )
3130adantl 277 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> I e. ZZ )
3229, 31zaddcld 9519 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ZZ )
337adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M e. ZZ )
3423adantr 276 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> N e. ZZ )
3534, 31zaddcld 9519 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( N + I ) e. ZZ )
36 elfzo 10291 . . 3 |- ( ( ( Z + I ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + I ) e. ZZ ) -> ( ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) <-> ( M <_ ( Z + I ) /\ ( Z + I ) < ( N + I ) ) ) )
3732, 33, 35, 36syl3anc 1250 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) <-> ( M <_ ( Z + I ) /\ ( Z + I ) < ( N + I ) ) ) )
3822, 28, 37mpbir2and 947 1 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   RRcr 7944   + caddc 7948   < clt 8127   <_ cle 8128   NN0cn0 9315   ZZcz 9392  ..^cfzo 10284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator