ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elincfzoext Unicode version
Theorem elincfzoext 10303
Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elincfzoext |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) )
Proof of Theorem elincfzoext
StepHypRef Expression
1 elfzole1 10260 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M <_ Z )
2 elfzoelz 10251 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z e. ZZ )
32zred 9477 . . . . . . . 8 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z e. RR )
43adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) -> Z e. RR )
5 nn0addge1 9323 . . . . . . 7 |- ( ( Z e. RR /\ I e. NN0 ) -> Z <_ ( Z + I ) )
64, 5sylan 283 . . . . . 6 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> Z <_ ( Z + I ) )
7 elfzoel1 10249 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
87zred 9477 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> M e. RR )
98adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M e. RR )
103adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z e. RR )
11 nn0re 9286 . . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
1211adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
1310, 12readdcld 8084 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. RR )
14 letr 8137 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ Z e. RR /\ ( Z + I ) e. RR ) -> ( ( M <_ Z /\ Z <_ ( Z + I ) ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
159, 10, 13, 14syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( M <_ Z /\ Z <_ ( Z + I ) ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
1615exp4b 367 . . . . . . . 8 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( I e. NN0 -> ( M <_ Z -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) ) ) )
1716com23 78 . . . . . . 7 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( M <_ Z -> ( I e. NN0 -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) ) ) )
1817imp31 256 . . . . . 6 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z <_ ( Z + I ) -> M <_ ( Z + I ) ) )
196, 18mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ M <_ Z ) /\ I e. NN0 ) -> M <_ ( Z + I ) )
2019exp31 364 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( M <_ Z -> ( I e. NN0 -> M <_ ( Z + I ) ) ) )
211, 20mpd 13 . . 3 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> ( I e. NN0 -> M <_ ( Z + I ) ) )
2221imp 124 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M <_ ( Z + I ) )
23 elfzoel2 10250 . . . . 5 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
2423zred 9477 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> N e. RR )
2524adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
26 elfzolt2 10261 . . . 4 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> Z < N )
2726adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z < N )
2810, 25, 12, 27ltadd1dd 8611 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) < ( N + I ) )
292adantr 276 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z e. ZZ )
30 nn0z 9374 . . . . 5 |- ( I e. NN0 -> I e. ZZ )
3130adantl 277 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> I e. ZZ )
3229, 31zaddcld 9481 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ZZ )
337adantr 276 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> M e. ZZ )
3423adantr 276 . . . 4 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> N e. ZZ )
3534, 31zaddcld 9481 . . 3 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( N + I ) e. ZZ )
36 elfzo 10253 . . 3 |- ( ( ( Z + I ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + I ) e. ZZ ) -> ( ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) <-> ( M <_ ( Z + I ) /\ ( Z + I ) < ( N + I ) ) ) )
3732, 33, 35, 36syl3anc 1249 . 2 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) <-> ( M <_ ( Z + I ) /\ ( Z + I ) < ( N + I ) ) ) )
3822, 28, 37mpbir2and 946 1 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> ( Z + I ) e. ( M..^ ( N + I ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934   RRcr 7906   + caddc 7910   < clt 8089   <_ cle 8090   NN0cn0 9277   ZZcz 9354  ..^cfzo 10246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator