Theorem ltaddnegr 8604

Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddnegr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( A + B ) < B ) )

Proof of Theorem ltaddnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddneg 8603	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < B ) )
2		recn 8164	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		recn 8164	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		addcom 8315	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
6	5	breq1d 4098	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B + A ) < B <-> ( A + B ) < B ) )
7	1, 6	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( A + B ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   < clt 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10656  apdifflemf  16650