Theorem ltaddnegr 8457

Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddnegr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( A + B ) < B ) )

Proof of Theorem ltaddnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddneg 8456	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < B ) )
2		recn 8017	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		recn 8017	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		addcom 8168	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
6	5	breq1d 4044	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B + A ) < B <-> ( A + B ) < B ) )
7	1, 6	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( A + B ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7882   RRcr 7883   0cc0 7884   + caddc 7887   < clt 8066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-addcom 7984  ax-addass 7986  ax-i2m1 7989  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-pre-ltadd 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-ltxr 8071

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10492  apdifflemf  15740