Theorem ltaddnegr 8743

Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddnegr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( A + B ) < B ) )

Proof of Theorem ltaddnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddneg 8742	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < B ) )
2		recn 8302	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		recn 8302	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		addcom 8453	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
6	5	breq1d 4135	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B + A ) < B <-> ( A + B ) < B ) )
7	1, 6	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( A + B ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10810  apdifflemf  17000