ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddneg Unicode version

Theorem ltaddneg 8150
Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltaddneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  0  <->  ( B  +  A )  <  B ) )

Proof of Theorem ltaddneg
StepHypRef Expression
1 0re 7730 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltadd2 8145 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  0  <->  ( B  +  A )  <  ( B  +  0 ) ) )
31, 2mp3an2 1286 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  0  <->  ( B  +  A )  <  ( B  + 
0 ) ) )
4 recn 7717 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54addid1d 7875 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  0 )  =  B )
65adantl 273 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
76breq2d 3909 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  +  A )  <  ( B  +  0 )  <-> 
( B  +  A
)  <  B )
)
83, 7bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  0  <->  ( B  +  A )  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584    + caddc 7587    < clt 7764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-i2m1 7689  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-ltxr 7769
This theorem is referenced by:  ltaddnegr  8151
  Copyright terms: Public domain W3C validator