Theorem ltaddneg 8210

Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < B ) )

Proof of Theorem ltaddneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7790	. . 3 |- 0 e. RR
2		ltadd2 8205	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < ( B + 0 ) ) )
3	1, 2	mp3an2 1304	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < ( B + 0 ) ) )
4		recn 7777	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5	4	addid1d 7935	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( B + 0 ) = B )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B + 0 ) = B )
7	6	breq2d 3949	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B + A ) < ( B + 0 ) <-> ( B + A ) < B ) )
8	3, 7	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   + caddc 7647   < clt 7824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829

This theorem is referenced by:  ltaddnegr  8211