Theorem ltaddneg 8571

Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < B ) )

Proof of Theorem ltaddneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8146	. . 3 |- 0 e. RR
2		ltadd2 8566	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < ( B + 0 ) ) )
3	1, 2	mp3an2 1359	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < ( B + 0 ) ) )
4		recn 8132	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5	4	addridd 8295	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( B + 0 ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B + 0 ) = B )
7	6	breq2d 4095	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B + A ) < ( B + 0 ) <-> ( B + A ) < B ) )
8	3, 7	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < 0 <-> ( B + A ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   + caddc 8002   < clt 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186

This theorem is referenced by:  ltaddnegr  8572