ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnegr GIF version

Theorem ltaddnegr 8317
Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnegr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnegr
StepHypRef Expression
1 ltaddneg 8316 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐵 + 𝐴) < 𝐵))
2 recn 7880 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 recn 7880 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 addcom 8029 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
52, 3, 4syl2anr 288 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
65breq1d 3989 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐵))
71, 6bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1342  wcel 2135   class class class wbr 3979  (class class class)co 5839  cc 7745  cr 7746  0cc0 7747   + caddc 7750   < clt 7927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-addcom 7847  ax-addass 7849  ax-i2m1 7852  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-pre-ltadd 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2726  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-br 3980  df-opab 4041  df-xp 4607  df-iota 5150  df-fv 5193  df-ov 5842  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-ltxr 7932
This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10324  apdifflemf  13818
  Copyright terms: Public domain W3C validator