Theorem ltaddnegr 8699

Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddnegr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddneg 8698	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐵 + 𝐴) < 𝐵))
2		recn 8260	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recn 8260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		addcom 8410	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	breq1d 4119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐵))
7	1, 6	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127   + caddc 8130   < clt 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10757  apdifflemf  16830