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Mathbox for Jim Kingdon |
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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > apdifflemf | Unicode version |
Description: Lemma for apdiff 13416. Being apart from the point halfway between
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Ref | Expression |
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apdifflemf.a |
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apdifflemf.q |
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apdifflemf.r |
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apdifflemf.qr |
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apdifflemf.ap |
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Ref | Expression |
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apdifflemf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | apdifflemf.a |
. . . . . . 7
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2 | 1 | recnd 7818 |
. . . . . 6
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3 | apdifflemf.r |
. . . . . . 7
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4 | qcn 9453 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | syl 14 |
. . . . . 6
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6 | 2, 5 | subcld 8097 |
. . . . 5
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7 | 6 | adantr 274 |
. . . 4
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8 | 7 | abscld 10985 |
. . 3
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9 | apdifflemf.q |
. . . . . . 7
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10 | qcn 9453 |
. . . . . . 7
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11 | 9, 10 | syl 14 |
. . . . . 6
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12 | 2, 11 | subcld 8097 |
. . . . 5
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13 | 12 | abscld 10985 |
. . . 4
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14 | 13 | adantr 274 |
. . 3
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15 | qre 9444 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 9, 15 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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18 | 1 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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19 | qaddcl 9454 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 9, 3, 19 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | qre 9444 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | rehalfcld 8990 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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25 | apdifflemf.qr |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | qre 9444 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | avglt1 8982 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 16, 27, 28 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 25, 29 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 30 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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32 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 17, 24, 18, 31, 32 | lttrd 7912 |
. . . . . . . . 9
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34 | 17, 18, 33 | ltled 7905 |
. . . . . . . 8
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35 | 17, 18, 34 | abssubge0d 10980 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
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37 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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38 | 2 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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39 | 11 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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40 | 37, 38, 39 | subsub3d 8127 |
. . . . . 6
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41 | 37, 39 | addcomd 7937 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | oveq1d 5797 |
. . . . . 6
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43 | 36, 40, 42 | 3eqtrd 2177 |
. . . . 5
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44 | 22 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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45 | 2rp 9475 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 45 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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47 | 44, 18, 46 | ltdivmuld 9565 |
. . . . . . . 8
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48 | 32, 47 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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49 | 38 | 2timesd 8986 |
. . . . . . 7
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50 | 48, 49 | breqtrd 3962 |
. . . . . 6
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51 | 44, 18, 18 | ltsubaddd 8327 |
. . . . . 6
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52 | 50, 51 | mpbird 166 |
. . . . 5
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53 | 43, 52 | eqbrtrd 3958 |
. . . 4
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54 | 25 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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55 | 27 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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56 | difrp 9509 |
. . . . . . . 8
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57 | 17, 55, 56 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
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58 | 54, 57 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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59 | 18, 58 | ltaddrpd 9547 |
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60 | 35 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
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61 | 37, 38, 39 | addsub12d 8120 |
. . . . . 6
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62 | 60, 61 | eqtrd 2173 |
. . . . 5
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63 | 59, 62 | breqtrrd 3964 |
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64 | 18, 55, 14 | absdifltd 10982 |
. . . 4
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65 | 53, 63, 64 | mpbir2and 929 |
. . 3
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66 | 8, 14, 65 | gtapd 8423 |
. 2
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67 | 13 | adantr 274 |
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68 | 6 | adantr 274 |
. . . 4
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69 | 68 | abscld 10985 |
. . 3
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70 | 11, 5, 2 | subsubd 8125 |
. . . . . . 7
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71 | 16, 27 | sublt0d 8356 |
. . . . . . . . 9
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72 | 25, 71 | mpbird 166 |
. . . . . . . 8
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73 | 16, 27 | resubcld 8167 |
. . . . . . . . 9
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74 | ltaddnegr 8211 |
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75 | 73, 1, 74 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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76 | 72, 75 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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77 | 70, 76 | eqbrtrd 3958 |
. . . . . 6
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78 | 77 | adantr 274 |
. . . . 5
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79 | 1 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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80 | 22 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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81 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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82 | 79, 79, 80, 81, 81 | lt2halvesd 8991 |
. . . . . . 7
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83 | 79, 79, 80 | ltaddsub2d 8332 |
. . . . . . 7
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84 | 82, 83 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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85 | 11 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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86 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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87 | 2 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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88 | 85, 86, 87 | addsubassd 8117 |
. . . . . 6
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89 | 84, 88 | breqtrd 3962 |
. . . . 5
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90 | 16 | adantr 274 |
. . . . . 6
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91 | 27 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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92 | 91, 79 | resubcld 8167 |
. . . . . 6
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93 | 79, 90, 92 | absdifltd 10982 |
. . . . 5
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94 | 78, 89, 93 | mpbir2and 929 |
. . . 4
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95 | 23 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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96 | avglt2 8983 |
. . . . . . . . . 10
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97 | 16, 27, 96 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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98 | 25, 97 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
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99 | 98 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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100 | 79, 95, 91, 81, 99 | lttrd 7912 |
. . . . . 6
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101 | 79, 91, 100 | ltled 7905 |
. . . . 5
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102 | 79, 91, 101 | abssuble0d 10981 |
. . . 4
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103 | 94, 102 | breqtrrd 3964 |
. . 3
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104 | 67, 69, 103 | ltapd 8424 |
. 2
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105 | apdifflemf.ap |
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106 | reaplt 8374 |
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107 | 23, 1, 106 | syl2anc 409 |
. . 3
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108 | 105, 107 | mpbid 146 |
. 2
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109 | 66, 104, 108 | mpjaodan 788 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 |
This theorem is referenced by: apdiff 13416 |
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