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Mathbox for Jim Kingdon |
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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > apdifflemf | Unicode version |
Description: Lemma for apdiff 13560. Being apart from the point halfway between
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Ref | Expression |
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apdifflemf.a |
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apdifflemf.q |
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apdifflemf.r |
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apdifflemf.qr |
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apdifflemf.ap |
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Ref | Expression |
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apdifflemf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | apdifflemf.a |
. . . . . . 7
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2 | 1 | recnd 7885 |
. . . . . 6
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3 | apdifflemf.r |
. . . . . . 7
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4 | qcn 9521 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | syl 14 |
. . . . . 6
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6 | 2, 5 | subcld 8165 |
. . . . 5
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7 | 6 | adantr 274 |
. . . 4
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8 | 7 | abscld 11058 |
. . 3
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9 | apdifflemf.q |
. . . . . . 7
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10 | qcn 9521 |
. . . . . . 7
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11 | 9, 10 | syl 14 |
. . . . . 6
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12 | 2, 11 | subcld 8165 |
. . . . 5
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13 | 12 | abscld 11058 |
. . . 4
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14 | 13 | adantr 274 |
. . 3
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15 | qre 9512 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 9, 15 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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18 | 1 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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19 | qaddcl 9522 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 9, 3, 19 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | qre 9512 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | rehalfcld 9058 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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25 | apdifflemf.qr |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | qre 9512 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | avglt1 9050 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 16, 27, 28 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 25, 29 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 30 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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32 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 17, 24, 18, 31, 32 | lttrd 7980 |
. . . . . . . . 9
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34 | 17, 18, 33 | ltled 7973 |
. . . . . . . 8
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35 | 17, 18, 34 | abssubge0d 11053 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | oveq2d 5830 |
. . . . . 6
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37 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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38 | 2 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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39 | 11 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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40 | 37, 38, 39 | subsub3d 8195 |
. . . . . 6
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41 | 37, 39 | addcomd 8005 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | oveq1d 5829 |
. . . . . 6
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43 | 36, 40, 42 | 3eqtrd 2191 |
. . . . 5
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44 | 22 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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45 | 2rp 9543 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 45 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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47 | 44, 18, 46 | ltdivmuld 9633 |
. . . . . . . 8
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48 | 32, 47 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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49 | 38 | 2timesd 9054 |
. . . . . . 7
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50 | 48, 49 | breqtrd 3986 |
. . . . . 6
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51 | 44, 18, 18 | ltsubaddd 8395 |
. . . . . 6
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52 | 50, 51 | mpbird 166 |
. . . . 5
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53 | 43, 52 | eqbrtrd 3982 |
. . . 4
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54 | 25 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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55 | 27 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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56 | difrp 9577 |
. . . . . . . 8
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57 | 17, 55, 56 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
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58 | 54, 57 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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59 | 18, 58 | ltaddrpd 9615 |
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60 | 35 | oveq2d 5830 |
. . . . . 6
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61 | 37, 38, 39 | addsub12d 8188 |
. . . . . 6
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62 | 60, 61 | eqtrd 2187 |
. . . . 5
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63 | 59, 62 | breqtrrd 3988 |
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64 | 18, 55, 14 | absdifltd 11055 |
. . . 4
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65 | 53, 63, 64 | mpbir2and 929 |
. . 3
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66 | 8, 14, 65 | gtapd 8491 |
. 2
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67 | 13 | adantr 274 |
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68 | 6 | adantr 274 |
. . . 4
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69 | 68 | abscld 11058 |
. . 3
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70 | 11, 5, 2 | subsubd 8193 |
. . . . . . 7
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71 | 16, 27 | sublt0d 8424 |
. . . . . . . . 9
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72 | 25, 71 | mpbird 166 |
. . . . . . . 8
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73 | 16, 27 | resubcld 8235 |
. . . . . . . . 9
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74 | ltaddnegr 8279 |
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75 | 73, 1, 74 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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76 | 72, 75 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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77 | 70, 76 | eqbrtrd 3982 |
. . . . . 6
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78 | 77 | adantr 274 |
. . . . 5
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79 | 1 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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80 | 22 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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81 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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82 | 79, 79, 80, 81, 81 | lt2halvesd 9059 |
. . . . . . 7
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83 | 79, 79, 80 | ltaddsub2d 8400 |
. . . . . . 7
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84 | 82, 83 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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85 | 11 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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86 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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87 | 2 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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88 | 85, 86, 87 | addsubassd 8185 |
. . . . . 6
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89 | 84, 88 | breqtrd 3986 |
. . . . 5
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90 | 16 | adantr 274 |
. . . . . 6
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91 | 27 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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92 | 91, 79 | resubcld 8235 |
. . . . . 6
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93 | 79, 90, 92 | absdifltd 11055 |
. . . . 5
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94 | 78, 89, 93 | mpbir2and 929 |
. . . 4
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95 | 23 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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96 | avglt2 9051 |
. . . . . . . . . 10
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97 | 16, 27, 96 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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98 | 25, 97 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
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99 | 98 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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100 | 79, 95, 91, 81, 99 | lttrd 7980 |
. . . . . 6
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101 | 79, 91, 100 | ltled 7973 |
. . . . 5
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102 | 79, 91, 101 | abssuble0d 11054 |
. . . 4
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103 | 94, 102 | breqtrrd 3988 |
. . 3
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104 | 67, 69, 103 | ltapd 8492 |
. 2
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105 | apdifflemf.ap |
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106 | reaplt 8442 |
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107 | 23, 1, 106 | syl2anc 409 |
. . 3
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108 | 105, 107 | mpbid 146 |
. 2
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109 | 66, 104, 108 | mpjaodan 788 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1481 ax-10 1482 ax-11 1483 ax-i12 1484 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-17 1503 ax-i9 1507 ax-ial 1511 ax-i5r 1512 ax-13 2127 ax-14 2128 ax-ext 2136 ax-coll 4075 ax-sep 4078 ax-nul 4086 ax-pow 4130 ax-pr 4164 ax-un 4388 ax-setind 4490 ax-iinf 4541 ax-cnex 7802 ax-resscn 7803 ax-1cn 7804 ax-1re 7805 ax-icn 7806 ax-addcl 7807 ax-addrcl 7808 ax-mulcl 7809 ax-mulrcl 7810 ax-addcom 7811 ax-mulcom 7812 ax-addass 7813 ax-mulass 7814 ax-distr 7815 ax-i2m1 7816 ax-0lt1 7817 ax-1rid 7818 ax-0id 7819 ax-rnegex 7820 ax-precex 7821 ax-cnre 7822 ax-pre-ltirr 7823 ax-pre-ltwlin 7824 ax-pre-lttrn 7825 ax-pre-apti 7826 ax-pre-ltadd 7827 ax-pre-mulgt0 7828 ax-pre-mulext 7829 ax-arch 7830 ax-caucvg 7831 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1740 df-eu 2006 df-mo 2007 df-clab 2141 df-cleq 2147 df-clel 2150 df-nfc 2285 df-ne 2325 df-nel 2420 df-ral 2437 df-rex 2438 df-reu 2439 df-rmo 2440 df-rab 2441 df-v 2711 df-sbc 2934 df-csb 3028 df-dif 3100 df-un 3102 df-in 3104 df-ss 3111 df-nul 3391 df-if 3502 df-pw 3541 df-sn 3562 df-pr 3563 df-op 3565 df-uni 3769 df-int 3804 df-iun 3847 df-br 3962 df-opab 4022 df-mpt 4023 df-tr 4059 df-id 4248 df-po 4251 df-iso 4252 df-iord 4321 df-on 4323 df-ilim 4324 df-suc 4326 df-iom 4544 df-xp 4585 df-rel 4586 df-cnv 4587 df-co 4588 df-dm 4589 df-rn 4590 df-res 4591 df-ima 4592 df-iota 5128 df-fun 5165 df-fn 5166 df-f 5167 df-f1 5168 df-fo 5169 df-f1o 5170 df-fv 5171 df-riota 5770 df-ov 5817 df-oprab 5818 df-mpo 5819 df-1st 6078 df-2nd 6079 df-recs 6242 df-frec 6328 df-pnf 7893 df-mnf 7894 df-xr 7895 df-ltxr 7896 df-le 7897 df-sub 8027 df-neg 8028 df-reap 8429 df-ap 8436 df-div 8525 df-inn 8813 df-2 8871 df-3 8872 df-4 8873 df-n0 9070 df-z 9147 df-uz 9419 df-q 9507 df-rp 9539 df-seqfrec 10323 df-exp 10397 df-cj 10719 df-re 10720 df-im 10721 df-rsqrt 10875 df-abs 10876 |
This theorem is referenced by: apdiff 13560 |
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