Theorem ltaddposd 8387

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ltaddposd	|- ( ph -> ( 0 < A <-> B < ( B + A ) ) )

Proof of Theorem ltaddposd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		ltaddpos 8310	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> B < ( B + A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( 0 < A <-> B < ( B + A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818   RRcr 7714   0cc0 7715   + caddc 7718   < clt 7895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-i2m1 7820  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4589  df-iota 5132  df-fv 5175  df-ov 5821  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-ltxr 7900

This theorem is referenced by:  gt0add  8431  halfpos  9047  addlelt  9657  eluzgtdifelfzo  10078  cnopnap  12954