Theorem halfpos 9363

Description: A positive number is greater than its half. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
halfpos	|- ( A e. RR -> ( 0 < A <-> ( A / 2 ) < A ) )

Proof of Theorem halfpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpos2 9362	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 < A <-> 0 < ( A / 2 ) ) )
2		rehalfcl 9359	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
3	2, 2	ltaddposd 8697	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( A / 2 ) <-> ( A / 2 ) < ( ( A / 2 ) + ( A / 2 ) ) ) )
4		recn 8153	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
5		2halves 9361	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) + ( A / 2 ) ) = A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( A / 2 ) + ( A / 2 ) ) = A )
7	6	breq2d 4096	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( A / 2 ) < ( ( A / 2 ) + ( A / 2 ) ) <-> ( A / 2 ) < A ) )
8	1, 3, 7	3bitrd 214	1 |- ( A e. RR -> ( 0 < A <-> ( A / 2 ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4084  (class class class)co 6011   CCcc 8018   RRcr 8019   0cc0 8020   + caddc 8023   < clt 8202   / cdiv 8840   2c2 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-mulext 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-div 8841  df-2 9190

This theorem is referenced by:  nominpos  9370  rphalflt  9906  ssblex  15142