ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddpos Unicode version

Theorem ltaddpos 8412
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 7960 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltadd2 8379 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <  A  <->  ( B  +  0 )  < 
( B  +  A
) ) )
31, 2mp3an1 1324 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  ( B  +  0 )  <  ( B  +  A ) ) )
4 recn 7947 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54addid1d 8109 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  0 )  =  B )
65adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
76breq1d 4015 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  + 
0 )  <  ( B  +  A )  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
83, 7bitrd 188 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   RRcr 7813   0cc0 7814    + caddc 7817    < clt 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5881  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  8413  ltsubpos  8414  posdif  8415  ltaddposi  8457  ltaddposd  8489  ltp1  8804  recreclt  8860  ltaddrp  9694  ltoddhalfle  11901
  Copyright terms: Public domain W3C validator