ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddpos Unicode version

Theorem ltaddpos 8133
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 7690 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltadd2 8100 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <  A  <->  ( B  +  0 )  < 
( B  +  A
) ) )
31, 2mp3an1 1285 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  ( B  +  0 )  <  ( B  +  A ) ) )
4 recn 7677 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54addid1d 7834 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  0 )  =  B )
65adantl 273 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
76breq1d 3905 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  + 
0 )  <  ( B  +  A )  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
83, 7bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547    + caddc 7550    < clt 7724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-i2m1 7650  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-iota 5046  df-fv 5089  df-ov 5731  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-ltxr 7729
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  8134  ltsubpos  8135  posdif  8136  ltaddposi  8178  ltaddposd  8209  ltp1  8512  recreclt  8568  ltaddrp  9378  ltoddhalfle  11438
  Copyright terms: Public domain W3C validator