Theorem ltaddpos 8408

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpos	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> B < ( B + A ) ) )

Proof of Theorem ltaddpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7956	. . 3 |- 0 e. RR
2		ltadd2 8375	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> ( B + 0 ) < ( B + A ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1324	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> ( B + 0 ) < ( B + A ) ) )
4		recn 7943	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5	4	addid1d 8105	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( B + 0 ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B + 0 ) = B )
7	6	breq1d 4013	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B + 0 ) < ( B + A ) <-> B < ( B + A ) ) )
8	3, 7	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> B < ( B + A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   + caddc 7813   < clt 7991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996

This theorem is referenced by:  ltaddpos2  8409  ltsubpos  8410  posdif  8411  ltaddposi  8453  ltaddposd  8485  ltp1  8800  recreclt  8856  ltaddrp  9690  ltoddhalfle  11897