Theorem ltaddpos 8321

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpos	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> B < ( B + A ) ) )

Proof of Theorem ltaddpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7872	. . 3 |- 0 e. RR
2		ltadd2 8288	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> ( B + 0 ) < ( B + A ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1306	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> ( B + 0 ) < ( B + A ) ) )
4		recn 7859	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5	4	addid1d 8018	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( B + 0 ) = B )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B + 0 ) = B )
7	6	breq1d 3975	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B + 0 ) < ( B + A ) <-> B < ( B + A ) ) )
8	3, 7	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> B < ( B + A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RRcr 7725   0cc0 7726   + caddc 7729   < clt 7906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-i2m1 7831  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-iota 5134  df-fv 5177  df-ov 5824  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-ltxr 7911

This theorem is referenced by:  ltaddpos2  8322  ltsubpos  8323  posdif  8324  ltaddposi  8366  ltaddposd  8398  ltp1  8709  recreclt  8765  ltaddrp  9591  ltoddhalfle  11776