ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddpos Unicode version

Theorem ltaddpos 8408
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 7956 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltadd2 8375 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <  A  <->  ( B  +  0 )  < 
( B  +  A
) ) )
31, 2mp3an1 1324 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  ( B  +  0 )  <  ( B  +  A ) ) )
4 recn 7943 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54addid1d 8105 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  0 )  =  B )
65adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
76breq1d 4013 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  + 
0 )  <  ( B  +  A )  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
83, 7bitrd 188 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810    + caddc 7813    < clt 7991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  8409  ltsubpos  8410  posdif  8411  ltaddposi  8453  ltaddposd  8485  ltp1  8800  recreclt  8856  ltaddrp  9690  ltoddhalfle  11897
  Copyright terms: Public domain W3C validator