Theorem ltaddrp 9899

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> A < ( A + B ) )

Proof of Theorem ltaddrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 9863	. 2 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
2		ltaddpos 8610	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < B <-> A < ( A + B ) ) )
3	2	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < B -> A < ( A + B ) ) )
4	3	expcom 116	. . 3 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 < B -> A < ( A + B ) ) ) )
5	4	imp32 257	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> A < ( A + B ) )
6	1, 5	sylan2b 287	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> A < ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   + caddc 8013   < clt 8192   RR+crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  ltaddrpd  9938  lswccatn0lsw  11159  qdenre  11728  efgt1  12223  perfectlem2  15689