Theorem ltaddrp 9928

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> A < ( A + B ) )

Proof of Theorem ltaddrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 9892	. 2 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
2		ltaddpos 8634	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < B <-> A < ( A + B ) ) )
3	2	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < B -> A < ( A + B ) ) )
4	3	expcom 116	. . 3 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 < B -> A < ( A + B ) ) ) )
5	4	imp32 257	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> A < ( A + B ) )
6	1, 5	sylan2b 287	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> A < ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2201   class class class wbr 4087  (class class class)co 6020   RRcr 8033   0cc0 8034   + caddc 8037   < clt 8216   RR+crp 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-i2m1 8139  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-br 4088  df-opab 4150  df-xp 4730  df-iota 5285  df-fv 5333  df-ov 6023  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-ltxr 8221  df-rp 9891

This theorem is referenced by:  ltaddrpd  9967  lswccatn0lsw  11194  qdenre  11782  efgt1  12278  perfectlem2  15750