Theorem ltsubrp 9703

Description: Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ltsubrp	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( A - B ) < A )

Proof of Theorem ltsubrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 9668	. 2 |- ( B e. RR+ <-> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
2		ltsubpos 8424	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < B <-> ( A - B ) < A ) )
3	2	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < B -> ( A - B ) < A ) )
4	3	expcom 116	. . 3 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 < B -> ( A - B ) < A ) ) )
5	4	imp32 257	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A - B ) < A )
6	1, 5	sylan2b 287	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( A - B ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7823   0cc0 7824   < clt 8005   - cmin 8141   RR+crp 9666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-sub 8143  df-neg 8144  df-rp 9667

This theorem is referenced by:  ltsubrpd  9742  qdenre  11224