Theorem difrp 9758

Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difrp	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. RR+ ) )

Proof of Theorem difrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posdif 8474	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
2		resubcl 8283	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
4		elrp 9721	. . . 4 |- ( ( B - A ) e. RR+ <-> ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) )
5	4	baib 920	. . 3 |- ( ( B - A ) e. RR -> ( ( B - A ) e. RR+ <-> 0 < ( B - A ) ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B - A ) e. RR+ <-> 0 < ( B - A ) ) )
7	1, 6	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. RR+ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   < clt 8054   - cmin 8190   RR+crp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  lincmb01cmp  10069  iccf1o  10070  recvguniq  11139  resqrexlemcalc2  11159  resqrexlemnmsq  11161  resqrexlemnm  11162  resqrexlemoverl  11165  fsumlt  11607  expcnvap0  11645  cvgratnnlemrate  11673  eflegeo  11844  blssps  14595  blss  14596  eflt  14910  cosordlem  14984  logdivlti  15016  apdifflemf  15536