Theorem mettri3 12746

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 13-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mettri3	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( B D C ) ) )

Proof of Theorem mettri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mettri 12744	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( C D B ) ) )
2		metsym 12742	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B D C ) = ( C D B ) )
3	2	3adant3r1 1194	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) = ( C D B ) )
4	3	oveq2d 5837	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D C ) + ( B D C ) ) = ( ( A D C ) + ( C D B ) ) )
5	1, 4	breqtrrd 3992	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( B D C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   + caddc 7729   <_ cle 7907   Metcmet 12352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1re 7820  ax-addrcl 7823  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-apti 7841

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-map 6592  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-xadd 9673  df-xmet 12359  df-met 12360

This theorem is referenced by:  mstri3  12846