ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mettri3 GIF version

Theorem mettri3 12364
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 13-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
mettri3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐵𝐷𝐶)))

Proof of Theorem mettri3
StepHypRef Expression
1 mettri 12362 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐶𝐷𝐵)))
2 metsym 12360 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝐶𝐷𝐵))
323adant3r1 1173 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝐶𝐷𝐵))
43oveq2d 5744 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐶𝐷𝐵)))
51, 4breqtrrd 3921 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐵𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3895  cfv 5081  (class class class)co 5728   + caddc 7550  cle 7725  Metcmet 11993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1re 7639  ax-addrcl 7642  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-apti 7660
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-xadd 9453  df-xmet 12000  df-met 12001
This theorem is referenced by:  mstri3  12464
  Copyright terms: Public domain W3C validator