Theorem xmettri3 12532

Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettri3	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( B D C ) ) )

Proof of Theorem xmettri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmettri 12530	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
2		xmetsym 12526	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B D C ) = ( C D B ) )
3	2	3adant3r1 1190	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) = ( C D B ) )
4	3	oveq2d 5783	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D C ) +e ( B D C ) ) = ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
5	1, 4	breqtrrd 3951	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( B D C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   <_ cle 7794   +ecxad 9550   *Metcxmet 12138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-apti 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-xadd 9553  df-xmet 12146

This theorem is referenced by:  bldisj  12559  xmstri3  12632