Theorem mettri 13766

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mettri	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mettri2 13755	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
2	1	expcom 116	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D e. ( Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) ) )
3	2	3coml 1210	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( D e. ( Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) ) )
4	3	impcom 125	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
5		metsym 13764	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) = ( C D A ) )
6	5	3adant3r2 1213	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) = ( C D A ) )
7	6	oveq1d 5889	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D C ) + ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
8	4, 7	breqtrrd 4031	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   + caddc 7813   <_ cle 7991   Metcmet 13332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-apti 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-xadd 9771  df-xmet 13339  df-met 13340

This theorem is referenced by:  mettri3  13768  metrtri  13770  mstri  13866