Theorem mettri 12301

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mettri	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mettri2 12290	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
2	1	expcom 115	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D e. ( Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) ) )
3	2	3coml 1156	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( D e. ( Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) ) )
4	3	impcom 124	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
5		metsym 12299	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) = ( C D A ) )
6	5	3adant3r2 1159	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) = ( C D A ) )
7	6	oveq1d 5721	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D C ) + ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
8	4, 7	breqtrrd 3901	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   + caddc 7503   <_ cle 7673   Metcmet 11932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1re 7589  ax-addrcl 7592  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-apti 7610

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-xadd 9401  df-xmet 11939  df-met 11940

This theorem is referenced by:  mettri3  12303  metrtri  12305  mstri  12401