Theorem mettri 15255

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mettri	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mettri2 15244	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
2	1	expcom 116	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D e. ( Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) ) )
3	2	3coml 1237	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( D e. ( Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) ) )
4	3	impcom 125	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
5		metsym 15253	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) = ( C D A ) )
6	5	3adant3r2 1240	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) = ( C D A ) )
7	6	oveq1d 6067	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D C ) + ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
8	4, 7	breqtrrd 4139	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) + ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   + caddc 8132   <_ cle 8311   Metcmet 14702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-apti 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-xadd 10109  df-xmet 14709  df-met 14710

This theorem is referenced by:  mettri3  15257  metrtri  15259  mstri  15355