Theorem mndlid 13076

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	|- B = ( Base ` G )
mndlrid.p	|- .+ = ( +g ` G )
mndlrid.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndlid	|- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		mndlrid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3		mndlrid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	mndlrid 13075	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( .0. .+ X ) = X /\ ( X .+ .0. ) = X ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Mndcmnd 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058

This theorem is referenced by:  issubmnd  13083  ress0g  13084  mndinvmod  13086  0subm  13116  0mhm  13118  gsumfzz  13127  dfgrp2  13159  grplid  13163  dfgrp3m  13231  mhmid  13245  mhmmnd  13246  mulgnn0p1  13263  mulgnn0z  13279  mulgnn0dir  13282  gsumfzmptfidmadd  13469