Theorem mndlid 13139

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	|- B = ( Base ` G )
mndlrid.p	|- .+ = ( +g ` G )
mndlrid.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndlid	|- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		mndlrid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3		mndlrid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	mndlrid 13138	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( .0. .+ X ) = X /\ ( X .+ .0. ) = X ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12705   +g cplusg 12782   0gc0g 12960   Mndcmnd 13120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121

This theorem is referenced by:  issubmnd  13146  ress0g  13147  mndinvmod  13149  prdsidlem  13151  imasmnd  13157  0subm  13188  0mhm  13190  gsumfzz  13199  dfgrp2  13231  grplid  13235  dfgrp3m  13303  mhmid  13323  mhmmnd  13324  mulgnn0p1  13341  mulgnn0z  13357  mulgnn0dir  13360  gsumfzmptfidmadd  13547