Theorem mndlid 13801

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	|- B = ( Base ` G )
mndlrid.p	|- .+ = ( +g ` G )
mndlrid.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndlid	|- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		mndlrid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3		mndlrid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	mndlrid 13800	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( .0. .+ X ) = X /\ ( X .+ .0. ) = X ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484   0gc0g 13663   Mndcmnd 13782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783

This theorem is used by:  issubmnd  13808  ress0g  13809  mndinvmod  13811  imasmnd  13813  0subm  13844  0mhm  13846  dfgrp2  13885  grplid  13889  dfgrp3m  13957  mhmid  13971  mhmmnd  13972  mulgnn0p1  13989  mulgnn0z  14005  mulgnn0dir  14008  cntzsubm  14164  gzsumsplit0  14232  gsumzfi  14242  gsummptfidmadd  14245  prdsidlem  14277